Bài học

Hình thang và hình thang cân

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu đúng định nghĩa hình thang và hình thang cân, giải thích được vì sao hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau và hai đường chéo bằng nhau, và vận dụng hai tính chất đó để tính góc hoặc kiểm tra một hình thang có cân hay không.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần nhớ lại tứ giác lồi và tổng bốn góc $360°$ vừa học ở bài trước, cùng kiến thức về hai đường thẳng song song (khoảng cách giữa chúng không đổi, hai góc trong cùng phía bù nhau) và các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông đã học ở lớp 7. Bài này ghép cả hai mảng kiến thức đó lại để chứng minh tính chất của một hình thang đặc biệt.

Khởi động

Một chiếc bàn học có mặt bàn hình thang, hai cạnh bên đo được dài bằng nhau y hệt. Không cần đo góc bằng thước đo độ, em có đoán được hai góc kề cạnh đáy dài của mặt bàn có bằng nhau hay không không, và vì sao?

Kiến thức trọng tâm

Hình thang là tứ giác có ít nhất một cặp cạnh đối song song. Hai cạnh song song đó gọi là hai đáy (đáy lớn và đáy nhỏ), hai cạnh còn lại gọi là hai cạnh bên. Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau — đây là định nghĩa, không phải điều cần chứng minh.

Từ định nghĩa đó, hình thang cân còn có thêm hai tính chất đáng nhớ mà đề bài thường dùng: hai cạnh bên bằng nhau, và hai đường chéo bằng nhau. Cả hai tính chất đều suy ra được bằng cách dựng thêm đường phụ và so sánh hai tam giác, đúng như chứng minh dưới đây — em không cần học thuộc lòng, chỉ cần hiểu vì sao, vì đề thi có thể hỏi ngược lại theo chiều dấu hiệu nhận biết.

Lời giải có hình

Hai cạnh bên và hai đường chéo của hình thang cân bằng nhau

Bước 1

Cho hình thang cân $ABCD$ ( $AB\parallel CD$ , $AB$ là đáy lớn). Theo định nghĩa, hai góc kề đáy $AB$ bằng nhau: $\hat A=\hat B$ .Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB\parallel CD$, $AB$ là đáy lớn). Theo định nghĩa, hai góc kề đáy $AB$ bằng nhau: $\hat A=\hat B$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tìm góc còn lại của hình thang cân khi biết một góc đáy

1
Hình thang cân $ABCD$ có $AB\parallel CD$ , góc đáy $\hat A=70°$ . Tính $\hat B$ và $\hat D$ .
Hình thang cân $ABCD$ có $AB\parallel CD$, góc đáy $\hat A=70°$. Tính $\hat B$ và $\hat D$.
2
Theo định nghĩa hình thang cân, hai góc kề đáy $AB$ bằng nhau, nên $\hat B=\hat A=70°$ .
Theo định nghĩa hình thang cân, hai góc kề đáy $AB$ bằng nhau, nên $\hat B=\hat A=70°$.
3
Vì $AB\parallel CD$ , $\hat A$ và $\hat D$ là hai góc trong cùng phía (kề cạnh bên $AD$ ), nên $\hat A+\hat D=180°$ . Suy ra $\hat D=180°-70°=110°$ .
Vì $AB\parallel CD$, $\hat A$ và $\hat D$ là hai góc trong cùng phía (kề cạnh bên $AD$), nên $\hat A+\hat D=180°$. Suy ra $\hat D=180°-70°=110°$.
4
Vậy $\hat B=70°$ và $\hat D=110°$ ; theo tính chất hình thang cân, $\hat C=\hat D=110°$ (hai góc kề đáy $CD$ cũng bằng nhau).
Vậy $\hat B=70°$ và $\hat D=110°$; theo tính chất hình thang cân, $\hat C=\hat D=110°$ (hai góc kề đáy $CD$ cũng bằng nhau).

Ví dụ

Kiểm tra một hình thang có cân hay không bằng đường chéo (dạng thi)

1
Một khung cửa sổ hình thang $ABCD$ ( $AB\parallel CD$ ) do người thợ đo được hai đường chéo $AC=2,4$ m và $BD=2,4$ m bằng nhau. Khung cửa này có phải hình thang cân không?
Một khung cửa sổ hình thang $ABCD$ ($AB\parallel CD$) do người thợ đo được hai đường chéo $AC=2,4$ m và $BD=2,4$ m bằng nhau. Khung cửa này có phải hình thang cân không?
2
Một hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân — đây là dấu hiệu ngược lại của tính chất vừa chứng minh, dùng để nhận biết khi không đo được góc trực tiếp.
3
Khung cửa có $AC=BD=2,4$ m, thỏa đúng điều kiện hai đường chéo bằng nhau.
Khung cửa có $AC=BD=2,4$ m, thỏa đúng điều kiện hai đường chéo bằng nhau.
4
Vậy khung cửa sổ này là hình thang cân — người thợ đã dựng đúng kỹ thuật mà không cần đo trực tiếp góc đáy.

Ví dụ

Tính chu vi hình thang cân

1
Hình thang cân $ABCD$ ( $AB\parallel CD$ ) có đáy lớn $AB=12$ cm, đáy nhỏ $CD=6$ cm, cạnh bên $AD=5$ cm. Tính chu vi hình thang.
Hình thang cân $ABCD$ ($AB\parallel CD$) có đáy lớn $AB=12$ cm, đáy nhỏ $CD=6$ cm, cạnh bên $AD=5$ cm. Tính chu vi hình thang.
2
Theo tính chất hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau, nên $BC=AD=5$ cm — không cần đo thêm.
Theo tính chất hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau, nên $BC=AD=5$ cm — không cần đo thêm.
3
Chu vi $=AB+BC+CD+DA=12+5+6+5=28$ cm.
Chu vi $=AB+BC+CD+DA=12+5+6+5=28$ cm.
4
Vậy chu vi hình thang cân đó bằng 28 cm.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn nghĩ MỌI hình thang đều có hai cạnh bên bằng nhau — sai, tính chất đó chỉ đúng riêng cho hình thang CÂN. Một lỗi khác là khi tính góc trong cùng phía, lại lấy $360°$ trừ thay vì $180°$ trừ — hai góc trong cùng phía kề một cạnh bên chỉ bù nhau ( $180°$ ), không phải bù nhau theo tổng tứ giác.

Nhiều bạn nghĩ MỌI hình thang đều có hai cạnh bên bằng nhau — sai, tính chất đó chỉ đúng riêng cho hình thang CÂN. Một lỗi khác là khi tính góc trong cùng phía, lại lấy $360°$ trừ thay vì $180°$ trừ — hai góc trong cùng phía kề một cạnh bên chỉ bù nhau ($180°$), không phải bù nhau theo tổng tứ giác.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Hình thang: tứ giác có ít nhất một cặp cạnh đối song song. Hình thang cân: hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau (định nghĩa) — từ đó suy ra hai cạnh bên bằng nhau và hai đường chéo bằng nhau (tính chất), còn hai đường chéo bằng nhau ngược lại cũng là dấu hiệu nhận biết hình thang cân.

Hình thang chỉ đòi hỏi MỘT cặp cạnh song song. Bài tiếp theo nâng lên một bậc: hình bình hành — tứ giác có CẢ HAI cặp cạnh đối song song — với một loạt tính chất và dấu hiệu nhận biết phong phú hơn nhiều.