Bài học

Bài toán tổng hợp parabol – đường thẳng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải được bài toán tìm tham số khi biết một điều kiện đặt lên tổng hoặc hiệu hai hoành độ giao điểm của (P) và d, và tính được khoảng cách giữa hai giao điểm khi biết tọa độ cụ thể.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã cho em công cụ lập phương trình hoành độ giao điểm và dùng delta để đếm số giao điểm. Bài này khai thác thêm chính công thức nghiệm của phương trình bậc hai: với $Ax^2+Bx+C=0$ có hai nghiệm $x_1=\dfrac{-B+\sqrt\Delta}{2A}$ và $x_2=\dfrac{-B-\sqrt\Delta}{2A}$ , cộng trực tiếp hai biểu thức này lại, phần chứa căn triệt tiêu và chỉ còn $x_1+x_2=\dfrac{-2B}{2A}=\dfrac{-B}{A}$ — một cách tính tổng hai nghiệm không cần biết giá trị cụ thể của từng nghiệm. Em cũng cần nhớ công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ .

Bài trước đã cho em công cụ lập phương trình hoành độ giao điểm và dùng delta để đếm số giao điểm. Bài này khai thác thêm chính công thức nghiệm của phương trình bậc hai: với $Ax^2+Bx+C=0$ có hai nghiệm $x_1=\dfrac{-B+\sqrt\Delta}{2A}$ và $x_2=\dfrac{-B-\sqrt\Delta}{2A}$, cộng trực tiếp hai biểu thức này lại, phần chứa căn triệt tiêu và chỉ còn $x_1+x_2=\dfrac{-2B}{2A}=\dfrac{-B}{A}$ — một cách tính tổng hai nghiệm không cần biết giá trị cụ thể của từng nghiệm. Em cũng cần nhớ công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

Khởi động

Ở bài trước, $(P):y=x^2$ và $d:y=2x+3$ cắt nhau tại hai điểm có hoành độ 3 và −1. Cộng hai số này lại: 3+(−1)=2. Con số 2 này có liên hệ trực tiếp nào với hệ số của phương trình $x^2-2x-3=0$ hay không — hay chỉ là một sự trùng hợp của riêng ví dụ này?

Kiến thức trọng tâm

Xét phương trình hoành độ giao điểm dạng chuẩn $x^2+Bx+C=0$ (hệ số của $x^2$ bằng 1, thường gặp khi (P) có dạng $y=x^2$ hoặc $y=-x^2$ ). Theo công thức vừa nêu ở trên, tổng hai nghiệm $x_1+x_2=-B$ — không cần giải phương trình ra từng nghiệm cụ thể, chỉ cần đọc hệ số B là có ngay tổng. Đây là công cụ mạnh để giải ngược: đề cho sẵn giá trị của $x_1+x_2$ , yêu cầu tìm tham số ẩn trong B.

Xét phương trình hoành độ giao điểm dạng chuẩn $x^2+Bx+C=0$ (hệ số của $x^2$ bằng 1, thường gặp khi (P) có dạng $y=x^2$ hoặc $y=-x^2$). Theo công thức vừa nêu ở trên, tổng hai nghiệm $x_1+x_2=-B$ — không cần giải phương trình ra từng nghiệm cụ thể, chỉ cần đọc hệ số B là có ngay tổng. Đây là công cụ mạnh để giải ngược: đề cho sẵn giá trị của $x_1+x_2$, yêu cầu tìm tham số ẩn trong B.

Bằng lập luận tương tự, hiệu hai nghiệm (giả sử $x_1>x_2$ ) là $x_1-x_2=\dfrac{\sqrt\Delta}{A}$ — vì phần $\dfrac{-B}{2A}$ ở tử số của cả hai nghiệm triệt tiêu khi trừ, chỉ còn phần chứa căn. Công thức này dùng khi đề cho điều kiện về ĐỘ CHÊNH LỆCH giữa hai hoành độ, thay vì tổng của chúng.

Bằng lập luận tương tự, hiệu hai nghiệm (giả sử $x_1>x_2$) là $x_1-x_2=\dfrac{\sqrt\Delta}{A}$ — vì phần $\dfrac{-B}{2A}$ ở tử số của cả hai nghiệm triệt tiêu khi trừ, chỉ còn phần chứa căn. Công thức này dùng khi đề cho điều kiện về ĐỘ CHÊNH LỆCH giữa hai hoành độ, thay vì tổng của chúng.

Một dạng bài toán khác không hỏi về tổng hay hiệu, mà hỏi trực tiếp khoảng cách giữa hai giao điểm A, B trên mặt phẳng tọa độ — lúc này cần có TỌA ĐỘ cụ thể của cả hai điểm (cả hoành độ lẫn tung độ), rồi áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm đã nhắc ở trên. Ba kỹ thuật — tổng nghiệm, hiệu nghiệm, khoảng cách hai điểm — đều bắt nguồn từ cùng một phương trình hoành độ giao điểm, chỉ khác nhau ở việc bài toán hỏi về đại lượng nào.

Chú ý: trong mọi ví dụ ở bài này, hệ số của $x^2$ trong phương trình hoành độ giao điểm luôn bằng 1, vì (P) ở đây đều có dạng $y=x^2$ hoặc $y=-x^2$ . Khi (P) có dạng $y=ax^2$ với $|a|\ne1$ (ví dụ $y=2x^2$ ), phương trình hoành độ giao điểm sẽ có hệ số bậc hai $A=a$ khác 1, và công thức tổng hai nghiệm tổng quát trở thành $x_1+x_2=\dfrac{-B}{A}$ thay vì chỉ $-B$ — vẫn cùng một ý tưởng, chỉ cần chia thêm cho A.

Chú ý: trong mọi ví dụ ở bài này, hệ số của $x^2$ trong phương trình hoành độ giao điểm luôn bằng 1, vì (P) ở đây đều có dạng $y=x^2$ hoặc $y=-x^2$. Khi (P) có dạng $y=ax^2$ với $|a|\ne1$ (ví dụ $y=2x^2$), phương trình hoành độ giao điểm sẽ có hệ số bậc hai $A=a$ khác 1, và công thức tổng hai nghiệm tổng quát trở thành $x_1+x_2=\dfrac{-B}{A}$ thay vì chỉ $-B$ — vẫn cùng một ý tưởng, chỉ cần chia thêm cho A.

Trường hợp cụ thể m=4 của bài toán tìm m để |x₁−x₂|=6.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tìm tham số từ điều kiện tổng hai hoành độ giao điểm

1
Tìm m để $d:y=mx+1$ cắt $(P):y=x^2$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$ thỏa $x_1+x_2=4$ .
Tìm m để $d:y=mx+1$ cắt $(P):y=x^2$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$ thỏa $x_1+x_2=4$.
2
$x^2=mx+1 \iff x^2-mx-1=0$ .
$x^2=mx+1 \iff x^2-mx-1=0$.
3
$\Delta=(-m)^2-4\cdot1\cdot(-1)=m^2+4$ . Vì $m^2\ge0$ với mọi m nên $\Delta\ge4>0$ luôn đúng — d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với MỌI giá trị của m, không cần đặt thêm điều kiện.
$\Delta=(-m)^2-4\cdot1\cdot(-1)=m^2+4$. Vì $m^2\ge0$ với mọi m nên $\Delta\ge4>0$ luôn đúng — d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với MỌI giá trị của m, không cần đặt thêm điều kiện.
4
Với $A=1,B=-m$ : $x_1+x_2=-B=m$ .
Với $A=1,B=-m$: $x_1+x_2=-B=m$.
5
$x_1+x_2=4 \iff m=4$ .
$x_1+x_2=4 \iff m=4$.
6
Vậy $m=4$ .
Vậy $m=4$.

Ví dụ

Tìm tham số khi phải kiểm tra thêm điều kiện có nghiệm

1
Tìm m để $d:y=mx-3$ cắt $(P):y=x^2$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$ thỏa $x_1+x_2=5$ .
Tìm m để $d:y=mx-3$ cắt $(P):y=x^2$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$ thỏa $x_1+x_2=5$.
2
$x^2=mx-3 \iff x^2-mx+3=0$ .
$x^2=mx-3 \iff x^2-mx+3=0$.
3
$x_1+x_2=-B=m$ .
$x_1+x_2=-B=m$.
4
$x_1+x_2=5 \iff m=5$ .
$x_1+x_2=5 \iff m=5$.
5
$\Delta=m^2-12$ . Tại $m=5$ : $\Delta=25-12=13>0$ — TMĐK, hai giao điểm thực sự tồn tại và phân biệt.
$\Delta=m^2-12$. Tại $m=5$: $\Delta=25-12=13>0$ — TMĐK, hai giao điểm thực sự tồn tại và phân biệt.
6
Vậy m=5 thỏa mãn đầy đủ yêu cầu đề bài.

Ví dụ

Tính khoảng cách giữa hai giao điểm

1
Với $(P):y=x^2$ và $d:y=2x+3$ ở bài trước, hai giao điểm là $A(3;9)$ và $B(-1;1)$ . Tính độ dài đoạn AB.
Với $(P):y=x^2$ và $d:y=2x+3$ ở bài trước, hai giao điểm là $A(3;9)$ và $B(-1;1)$. Tính độ dài đoạn AB.
2
$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(-1-3)^2+(1-9)^2}$ .
$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(-1-3)^2+(1-9)^2}$.
3
$AB=\sqrt{(-4)^2+(-8)^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}$ .
$AB=\sqrt{(-4)^2+(-8)^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}$.
4
$\sqrt{80}=\sqrt{16\times5}=4\sqrt5$ .
$\sqrt{80}=\sqrt{16\times5}=4\sqrt5$.
5
Vậy $AB=4\sqrt5$ (đơn vị độ dài).
Vậy $AB=4\sqrt5$ (đơn vị độ dài).

Ví dụ

Tìm tham số từ điều kiện hiệu hai hoành độ giao điểm

1
Tìm m để $d:y=mx+5$ cắt $(P):y=x^2$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ hơn kém nhau 6 đơn vị (tức $|x_1-x_2|=6$ ).
Tìm m để $d:y=mx+5$ cắt $(P):y=x^2$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ hơn kém nhau 6 đơn vị (tức $|x_1-x_2|=6$).
2
$x^2=mx+5 \iff x^2-mx-5=0$ .
$x^2=mx+5 \iff x^2-mx-5=0$.
3
$\Delta=m^2+20\ge20>0$ với mọi m — luôn có hai giao điểm phân biệt.
$\Delta=m^2+20\ge20>0$ với mọi m — luôn có hai giao điểm phân biệt.
4
Với $A=1$ : $|x_1-x_2|=\dfrac{\sqrt\Delta}{A}=\sqrt{m^2+20}$ .
Với $A=1$: $|x_1-x_2|=\dfrac{\sqrt\Delta}{A}=\sqrt{m^2+20}$.
5
$\sqrt{m^2+20}=6 \iff m^2+20=36 \iff m^2=16 \iff m=\pm4$ .
$\sqrt{m^2+20}=6 \iff m^2+20=36 \iff m^2=16 \iff m=\pm4$.
6
Vậy $m=4$ hoặc $m=-4$ . (Với $m=4$ , phương trình $x^2-4x-5=0$ cho hai nghiệm $x=5$ và $x=-1$ , đúng hơn kém nhau 6 đơn vị — khớp kết quả.)
Vậy $m=4$ hoặc $m=-4$. (Với $m=4$, phương trình $x^2-4x-5=0$ cho hai nghiệm $x=5$ và $x=-1$, đúng hơn kém nhau 6 đơn vị — khớp kết quả.)

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Công thức $x_1+x_2=-B$ (khi A=1) chỉ đúng SAU KHI đã chuyển phương trình về đúng dạng $x^2+Bx+C=0$ — rất nhiều bạn quên chuyển vế cẩn thận từ $ax^2=mx+n$ mà lấy nhầm dấu của B, dẫn đến tổng nghiệm bị sai dấu hoàn toàn. Một lỗi khác: dùng công thức tổng nghiệm mà quên kiểm tra delta>0 trước — nếu phương trình vô nghiệm thì 'hai hoành độ giao điểm' đó không hề tồn tại, và bài toán yêu cầu tìm m coi như vô nghĩa dù công thức vẫn cho ra một con số m cụ thể.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Với phương trình hoành độ giao điểm dạng $x^2+Bx+C=0$ : tổng hai nghiệm $x_1+x_2=-B$ , hiệu hai nghiệm (khi $\Delta>0$ ) $|x_1-x_2|=\sqrt\Delta$ . Luôn kiểm tra $\Delta>0$ trước khi dùng các công thức này. Khoảng cách giữa hai giao điểm cụ thể dùng công thức khoảng cách hai điểm $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ .

Với phương trình hoành độ giao điểm dạng $x^2+Bx+C=0$: tổng hai nghiệm $x_1+x_2=-B$, hiệu hai nghiệm (khi $\Delta>0$) $|x_1-x_2|=\sqrt\Delta$. Luôn kiểm tra $\Delta>0$ trước khi dùng các công thức này. Khoảng cách giữa hai giao điểm cụ thể dùng công thức khoảng cách hai điểm $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

Tổng và hiệu hai nghiệm hôm nay mới là bước khởi đầu. Khóa sau formalize đầy đủ hệ thức giữa nghiệm và hệ số của mọi phương trình bậc hai — kể cả tích hai nghiệm — dưới tên hệ thức Vi-ét, mở ra nhiều dạng bài toán tổng hợp hơn nữa.