Bài học

Tính chất của hàm số y = ax²

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nêu đúng dạng hàm số $y=ax^2$ ( $a\ne0$ ), lập được bảng giá trị của một hàm số như vậy, và xác định được hàm số đồng biến hay nghịch biến trên từng khoảng dựa vào dấu của a và dấu của x.

Sau bài này, em nêu đúng dạng hàm số $y=ax^2$ ($a\ne0$), lập được bảng giá trị của một hàm số như vậy, và xác định được hàm số đồng biến hay nghịch biến trên từng khoảng dựa vào dấu của a và dấu của x.

Kiến thức nền cần nhớ

Lớp 8 đã cho em khái niệm hàm số bậc nhất $y=ax+b$ : đồ thị là một đường thẳng, và tính đồng biến, nghịch biến chỉ phụ thuộc vào dấu của hệ số a, không phụ thuộc x nằm ở đâu trên trục số. Bài này giới thiệu một dạng hàm số hoàn toàn khác — biến x xuất hiện dưới dạng bình phương — nên quy luật tăng giảm sẽ không còn đơn giản như vậy nữa. Em cũng cần nhớ cách tính giá trị của một biểu thức khi thay số cụ thể vào, và một điều cơ bản: bình phương của một số âm luôn cho kết quả không âm.

Lớp 8 đã cho em khái niệm hàm số bậc nhất $y=ax+b$: đồ thị là một đường thẳng, và tính đồng biến, nghịch biến chỉ phụ thuộc vào dấu của hệ số a, không phụ thuộc x nằm ở đâu trên trục số. Bài này giới thiệu một dạng hàm số hoàn toàn khác — biến x xuất hiện dưới dạng bình phương — nên quy luật tăng giảm sẽ không còn đơn giản như vậy nữa. Em cũng cần nhớ cách tính giá trị của một biểu thức khi thay số cụ thể vào, và một điều cơ bản: bình phương của một số âm luôn cho kết quả không âm.

Khởi động

Diện tích một hình vuông cạnh x là $S=x^2$ . Khi x tăng dần từ 1 lên 2 rồi lên 3, diện tích tăng theo tỉ lệ 1, 4, 9 — không tăng đều như chu vi (vốn tăng đều 4, 8, 12). Quy luật tăng của S theo x là gì, và điều gì xảy ra nếu x là một số âm, chẳng hạn một tọa độ nằm bên trái trục tung? Diện tích có còn tăng theo cùng cách hay không?

Diện tích một hình vuông cạnh x là $S=x^2$. Khi x tăng dần từ 1 lên 2 rồi lên 3, diện tích tăng theo tỉ lệ 1, 4, 9 — không tăng đều như chu vi (vốn tăng đều 4, 8, 12). Quy luật tăng của S theo x là gì, và điều gì xảy ra nếu x là một số âm, chẳng hạn một tọa độ nằm bên trái trục tung? Diện tích có còn tăng theo cùng cách hay không?

Kiến thức trọng tâm

Hàm số dạng $y=ax^2$ với a là một hằng số khác 0 được gọi là hàm số bậc hai một biến (dạng đơn giản nhất, chưa có số hạng bx và c). Hàm số này xác định với mọi giá trị của x — khác với căn thức hay phân thức, ở đây không có điều kiện gì phải đặt ra. Điều làm nên sự khác biệt so với hàm bậc nhất là một giá trị y có thể ứng với HAI giá trị x trái dấu nhau. Chẳng hạn với $y=2x^2$ , cả $x=3$ và $x=-3$ đều cho cùng một kết quả $y=18$ , vì $(-3)^2=3^2=9$ .

Hàm số dạng $y=ax^2$ với a là một hằng số khác 0 được gọi là hàm số bậc hai một biến (dạng đơn giản nhất, chưa có số hạng bx và c). Hàm số này xác định với mọi giá trị của x — khác với căn thức hay phân thức, ở đây không có điều kiện gì phải đặt ra. Điều làm nên sự khác biệt so với hàm bậc nhất là một giá trị y có thể ứng với HAI giá trị x trái dấu nhau. Chẳng hạn với $y=2x^2$, cả $x=3$ và $x=-3$ đều cho cùng một kết quả $y=18$, vì $(-3)^2=3^2=9$.

Chính vì lý do đó, đồng biến, nghịch biến của $y=ax^2$ không còn là một tính chất xuyên suốt cả trục số như hàm bậc nhất, mà chia làm hai khoảng riêng theo dấu của x. Với $a>0$ : hàm số nghịch biến khi $x<0$ (x tăng thì y giảm) và đồng biến khi $x>0$ (x tăng thì y cũng tăng); giá trị nhỏ nhất của y là 0, đạt tại $x=0$ . Với $a<0$ : chiều ngược lại hoàn toàn — hàm số đồng biến khi $x<0$ , nghịch biến khi $x>0$ ; giá trị lớn nhất của y là 0, cũng đạt tại $x=0$ . Nói ngắn gọn: $x=0$ luôn là điểm 'gãy' của quy luật tăng giảm, và dấu của a quyết định gãy theo chiều nào.

Chính vì lý do đó, đồng biến, nghịch biến của $y=ax^2$ không còn là một tính chất xuyên suốt cả trục số như hàm bậc nhất, mà chia làm hai khoảng riêng theo dấu của x. Với $a>0$: hàm số nghịch biến khi $x<0$ (x tăng thì y giảm) và đồng biến khi $x>0$ (x tăng thì y cũng tăng); giá trị nhỏ nhất của y là 0, đạt tại $x=0$. Với $a<0$: chiều ngược lại hoàn toàn — hàm số đồng biến khi $x<0$, nghịch biến khi $x>0$; giá trị lớn nhất của y là 0, cũng đạt tại $x=0$. Nói ngắn gọn: $x=0$ luôn là điểm 'gãy' của quy luật tăng giảm, và dấu của a quyết định gãy theo chiều nào.

Cách chắc chắn nhất để kiểm chứng điều này với một hàm cụ thể là lập bảng giá trị: chọn vài giá trị x đối xứng qua 0, tính y tương ứng, rồi quan sát y tăng hay giảm khi x tăng dần qua từng khoảng. Hai ví dụ đầu dưới đây làm đúng như vậy, với hai dấu của a trái ngược nhau để em thấy rõ sự đối lập.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Lập bảng giá trị và xét tính đồng biến, nghịch biến của

y=2x^2

Lập bảng giá trị và xét tính đồng biến, nghịch biến của $y=2x^2$

1
Lập bảng giá trị của hàm số $y=2x^2$ tại $x=-2,-1,0,1,2$ rồi nhận xét tính đồng biến, nghịch biến.
Lập bảng giá trị của hàm số $y=2x^2$ tại $x=-2,-1,0,1,2$ rồi nhận xét tính đồng biến, nghịch biến.
2
Với $a=2>0$ : $x=-2\Rightarrow y=2\cdot4=8$ ; $x=-1\Rightarrow y=2$ ; $x=0\Rightarrow y=0$ ; $x=1\Rightarrow y=2$ ; $x=2\Rightarrow y=8$ .
Với $a=2>0$: $x=-2\Rightarrow y=2\cdot4=8$; $x=-1\Rightarrow y=2$; $x=0\Rightarrow y=0$; $x=1\Rightarrow y=2$; $x=2\Rightarrow y=8$.
3
Khi x tăng từ −2 đến 0, y giảm dần 8 → 2 → 0: hàm số nghịch biến trên khoảng này. Khi x tăng từ 0 đến 2, y tăng dần 0 → 2 → 8: hàm số đồng biến trên khoảng này.
4
Vậy với $a=2>0$ , hàm số $y=2x^2$ nghịch biến khi $x<0$ , đồng biến khi $x>0$ , và đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 tại $x=0$ — đúng như tính chất chung đã nêu.
Vậy với $a=2>0$, hàm số $y=2x^2$ nghịch biến khi $x<0$, đồng biến khi $x>0$, và đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 tại $x=0$ — đúng như tính chất chung đã nêu.

Ví dụ

Lập bảng giá trị và xét tính đồng biến, nghịch biến của

y=-x^2

Lập bảng giá trị và xét tính đồng biến, nghịch biến của $y=-x^2$

1
Lập bảng giá trị của hàm số $y=-x^2$ tại $x=-2,-1,0,1,2$ rồi nhận xét tính đồng biến, nghịch biến.
Lập bảng giá trị của hàm số $y=-x^2$ tại $x=-2,-1,0,1,2$ rồi nhận xét tính đồng biến, nghịch biến.
2
Với $a=-1<0$ : $x=-2\Rightarrow y=-4$ ; $x=-1\Rightarrow y=-1$ ; $x=0\Rightarrow y=0$ ; $x=1\Rightarrow y=-1$ ; $x=2\Rightarrow y=-4$ .
Với $a=-1<0$: $x=-2\Rightarrow y=-4$; $x=-1\Rightarrow y=-1$; $x=0\Rightarrow y=0$; $x=1\Rightarrow y=-1$; $x=2\Rightarrow y=-4$.
3
Khi x tăng từ −2 đến 0, y tăng dần −4 → −1 → 0: hàm số đồng biến trên khoảng này. Khi x tăng từ 0 đến 2, y giảm dần 0 → −1 → −4: hàm số nghịch biến trên khoảng này.
4
Vậy với $a=-1<0$ , hàm số $y=-x^2$ đồng biến khi $x<0$ , nghịch biến khi $x>0$ , và đạt giá trị lớn nhất bằng 0 tại $x=0$ — đúng ngược lại với ví dụ trên, vì a đổi dấu.
Vậy với $a=-1<0$, hàm số $y=-x^2$ đồng biến khi $x<0$, nghịch biến khi $x>0$, và đạt giá trị lớn nhất bằng 0 tại $x=0$ — đúng ngược lại với ví dụ trên, vì a đổi dấu.

Ví dụ

Tìm điều kiện của tham số để hàm số nghịch biến trên một khoảng cho trước

1
Cho hàm số $y=(m-3)x^2$ . Tìm điều kiện của m để hàm số nghịch biến khi x>0.
Cho hàm số $y=(m-3)x^2$. Tìm điều kiện của m để hàm số nghịch biến khi x>0.
2
Đây là hàm số dạng $y=ax^2$ với $a=m-3$ .
Đây là hàm số dạng $y=ax^2$ với $a=m-3$.
3
Theo tính chất đã học, hàm số nghịch biến khi $x>0$ xảy ra đúng khi $a<0$ , tức $m-3<0$ .
Theo tính chất đã học, hàm số nghịch biến khi $x>0$ xảy ra đúng khi $a<0$, tức $m-3<0$.
4
$m-3<0 \iff m<3$ .
$m-3<0 \iff m<3$.
5
Vậy với $m<3$ thì hàm số nghịch biến khi $x>0$ (điều kiện $a\ne0$ , tức $m\ne3$ , đã tự động được thỏa mãn trong tập nghiệm này).
Vậy với $m<3$ thì hàm số nghịch biến khi $x>0$ (điều kiện $a\ne0$, tức $m\ne3$, đã tự động được thỏa mãn trong tập nghiệm này).

Ví dụ

Áp dụng tính chất của y = at² vào một tình huống thực tế

1
Quãng đường rơi tự do của một vật (bỏ qua sức cản không khí) được tính gần đúng bởi công thức $s=5t^2$ , trong đó s tính bằng mét và t tính bằng giây, $t\ge0$ . Tính quãng đường vật rơi được trong giây thứ ba (tức từ thời điểm t=2 đến t=3).
Quãng đường rơi tự do của một vật (bỏ qua sức cản không khí) được tính gần đúng bởi công thức $s=5t^2$, trong đó s tính bằng mét và t tính bằng giây, $t\ge0$. Tính quãng đường vật rơi được trong giây thứ ba (tức từ thời điểm t=2 đến t=3).
2
Công thức $s=5t^2$ có đúng dạng $y=at^2$ với $a=5>0$ , nên s đồng biến theo t khi $t>0$ — quãng đường rơi luôn tăng khi thời gian tăng, đúng với thực tế vật lý.
Công thức $s=5t^2$ có đúng dạng $y=at^2$ với $a=5>0$, nên s đồng biến theo t khi $t>0$ — quãng đường rơi luôn tăng khi thời gian tăng, đúng với thực tế vật lý.
3
$s(2)=5\cdot2^2=20$ (mét); $s(3)=5\cdot3^2=45$ (mét).
$s(2)=5\cdot2^2=20$ (mét); $s(3)=5\cdot3^2=45$ (mét).
4
Quãng đường rơi trong giây thứ ba $=s(3)-s(2)=45-20=25$ (mét). (1)
Quãng đường rơi trong giây thứ ba $=s(3)-s(2)=45-20=25$ (mét). (1)
5
Vậy từ (1), vật rơi được 25 m trong giây thứ ba — nhiều hơn cả 20 m đã rơi trong hai giây đầu cộng lại, dù thời gian chỉ thêm đúng 1 giây. Đó là hệ quả của việc y tăng theo $t^2$ chứ không tăng đều như một hàm bậc nhất.
Vậy từ (1), vật rơi được 25 m trong giây thứ ba — nhiều hơn cả 20 m đã rơi trong hai giây đầu cộng lại, dù thời gian chỉ thêm đúng 1 giây. Đó là hệ quả của việc y tăng theo $t^2$ chứ không tăng đều như một hàm bậc nhất.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn nhớ nhầm rằng $y=ax^2$ luôn đồng biến khi $a>0$ , giống hệt hàm bậc nhất $y=ax+b$ . Thực ra tính đồng biến, nghịch biến của $y=ax^2$ CHIA THEO HAI KHOẢNG x<0 và x>0, không phải một quy luật xuyên suốt cả trục số. Một hàm số với a>0 vừa nghịch biến (trên x<0) vừa đồng biến (trên x>0) — hai điều này không mâu thuẫn nhau, vì chúng nói về hai khoảng x khác nhau. Khi đề bài hỏi 'hàm số đồng biến khi nào', luôn phải trả lời kèm khoảng giá trị của x, không được trả lời trống không chỉ bằng 'có' hay 'không'.

Nhiều bạn nhớ nhầm rằng $y=ax^2$ luôn đồng biến khi $a>0$, giống hệt hàm bậc nhất $y=ax+b$. Thực ra tính đồng biến, nghịch biến của $y=ax^2$ CHIA THEO HAI KHOẢNG x<0 và x>0, không phải một quy luật xuyên suốt cả trục số. Một hàm số với a>0 vừa nghịch biến (trên x<0) vừa đồng biến (trên x>0) — hai điều này không mâu thuẫn nhau, vì chúng nói về hai khoảng x khác nhau. Khi đề bài hỏi 'hàm số đồng biến khi nào', luôn phải trả lời kèm khoảng giá trị của x, không được trả lời trống không chỉ bằng 'có' hay 'không'.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Hàm số $y=ax^2$ ( $a\ne0$ ) xác định với mọi x. Với $a>0$ : nghịch biến khi $x<0$ , đồng biến khi $x>0$ , giá trị nhỏ nhất là 0 tại $x=0$ . Với $a<0$ : chiều ngược lại, giá trị lớn nhất là 0 tại $x=0$ . Khi gặp tham số trong hệ số a, luôn quy về xét dấu của a trước khi kết luận.

Hàm số $y=ax^2$ ($a\ne0$) xác định với mọi x. Với $a>0$: nghịch biến khi $x<0$, đồng biến khi $x>0$, giá trị nhỏ nhất là 0 tại $x=0$. Với $a<0$: chiều ngược lại, giá trị lớn nhất là 0 tại $x=0$. Khi gặp tham số trong hệ số a, luôn quy về xét dấu của a trước khi kết luận.

Bảng giá trị hôm nay mới cho em từng điểm rời rạc. Bài sau nối các điểm đó lại thành một đường cong hoàn chỉnh — đồ thị của $y=ax^2$ — và em sẽ thấy hình dạng đường cong đó phản ánh đúng những gì bảng giá trị hôm nay đã hé lộ.