Bài học

Đồ thị hàm số y = ax² và cách vẽ

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em vẽ được đồ thị hàm số $y=ax^2$ bằng bảng giá trị, chỉ ra đúng đỉnh và trục đối xứng của parabol, và xác định được một điểm cho trước có thuộc đồ thị hay không.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã cho em bảng giá trị và tính đồng biến, nghịch biến của $y=ax^2$ . Bài này nối các điểm trong bảng giá trị đó lại thành một đường cong — nên em cần nhớ cách biểu diễn một cặp (x;y) thành một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy, kỹ năng đã học từ lớp 7. Em cũng cần nhớ khái niệm trục đối xứng của một hình: một đường thẳng chia hình thành hai phần đối xứng nhau như gương soi.

Bài trước đã cho em bảng giá trị và tính đồng biến, nghịch biến của $y=ax^2$. Bài này nối các điểm trong bảng giá trị đó lại thành một đường cong — nên em cần nhớ cách biểu diễn một cặp (x;y) thành một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy, kỹ năng đã học từ lớp 7. Em cũng cần nhớ khái niệm trục đối xứng của một hình: một đường thẳng chia hình thành hai phần đối xứng nhau như gương soi.

Khởi động

Nhìn lại bảng giá trị $y=2x^2$ ở bài trước: $x=-2$ và $x=2$ cùng cho $y=8$ ; $x=-1$ và $x=1$ cùng cho $y=2$ . Nếu đánh dấu các điểm này lên mặt phẳng tọa độ rồi nối lại, đường cong tạo ra có hình dạng gì, và vì sao cặp điểm đối xứng như vậy lại xuất hiện đều đặn đến thế?

Nhìn lại bảng giá trị $y=2x^2$ ở bài trước: $x=-2$ và $x=2$ cùng cho $y=8$; $x=-1$ và $x=1$ cùng cho $y=2$. Nếu đánh dấu các điểm này lên mặt phẳng tọa độ rồi nối lại, đường cong tạo ra có hình dạng gì, và vì sao cặp điểm đối xứng như vậy lại xuất hiện đều đặn đến thế?

Kiến thức trọng tâm

Đồ thị của hàm số $y=ax^2$ ( $a\ne0$ ) là một đường cong gọi là parabol, nhận gốc tọa độ O làm đỉnh — điểm thấp nhất nếu a>0 (parabol quay bề lõm lên trên), hoặc điểm cao nhất nếu a<0 (parabol quay bề lõm xuống dưới). Đây chính là hình ảnh trực quan của tính chất 'giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất tại x=0' đã học ở bài trước.

Đồ thị của hàm số $y=ax^2$ ($a\ne0$) là một đường cong gọi là parabol, nhận gốc tọa độ O làm đỉnh — điểm thấp nhất nếu a>0 (parabol quay bề lõm lên trên), hoặc điểm cao nhất nếu a<0 (parabol quay bề lõm xuống dưới). Đây chính là hình ảnh trực quan của tính chất 'giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất tại x=0' đã học ở bài trước.

Parabol nhận trục Oy làm trục đối xứng: vì $(-x)^2=x^2$ với mọi x, hai điểm có hoành độ đối nhau luôn cho cùng một tung độ, nên nửa bên trái và nửa bên phải của đồ thị là ảnh phản chiếu của nhau qua trục Oy. Nhờ tính chất này, khi vẽ đồ thị em chỉ cần tính giá trị y với x≥0 rồi lấy đối xứng qua Oy để có nửa còn lại — giảm một nửa khối lượng tính toán.

Độ 'mở' của parabol phụ thuộc vào $|a|$ : $|a|$ càng lớn, parabol càng hẹp (áp sát trục Oy); $|a|$ càng nhỏ, parabol càng rộng (thoải ra hai bên). Cách vẽ gồm bốn bước: lập bảng giá trị với vài cặp x đối xứng qua 0, biểu diễn các điểm lên mặt phẳng tọa độ, nối chúng thành một đường cong trơn (không phải các đoạn thẳng gấp khúc), rồi kiểm tra hình dạng có đúng lõm lên hay lõm xuống theo dấu của a hay không.

Độ 'mở' của parabol phụ thuộc vào $|a|$: $|a|$ càng lớn, parabol càng hẹp (áp sát trục Oy); $|a|$ càng nhỏ, parabol càng rộng (thoải ra hai bên). Cách vẽ gồm bốn bước: lập bảng giá trị với vài cặp x đối xứng qua 0, biểu diễn các điểm lên mặt phẳng tọa độ, nối chúng thành một đường cong trơn (không phải các đoạn thẳng gấp khúc), rồi kiểm tra hình dạng có đúng lõm lên hay lõm xuống theo dấu của a hay không.

Parabol càng thoải vì

|a|=0,5

nhỏ hơn 1.Parabol càng thoải vì $|a|=0,5$ nhỏ hơn 1.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Lập bảng giá trị và mô tả đồ thị của

y=\dfrac{x^2}{2}

Lập bảng giá trị và mô tả đồ thị của $y=\dfrac{x^2}{2}$

1
Lập bảng giá trị và mô tả hình dạng đồ thị của hàm số $y=\dfrac{x^2}{2}$ .
Lập bảng giá trị và mô tả hình dạng đồ thị của hàm số $y=\dfrac{x^2}{2}$.
2
$x=0\Rightarrow y=0$ ; $x=1\Rightarrow y=0,5$ ; $x=2\Rightarrow y=2$ ; $x=3\Rightarrow y=4,5$ ; $x=4\Rightarrow y=8$ . Vì đồ thị đối xứng qua Oy nên $x=-1,-2,-3,-4$ cho lần lượt cùng các giá trị y trên.
$x=0\Rightarrow y=0$; $x=1\Rightarrow y=0,5$; $x=2\Rightarrow y=2$; $x=3\Rightarrow y=4,5$; $x=4\Rightarrow y=8$. Vì đồ thị đối xứng qua Oy nên $x=-1,-2,-3,-4$ cho lần lượt cùng các giá trị y trên.
3
Vì $a=\dfrac12>0$ , parabol có bề lõm quay lên trên, đỉnh tại gốc O(0;0), nhận Oy làm trục đối xứng, và khá 'rộng' vì $|a|=0,5$ nhỏ hơn 1.
Vì $a=\dfrac12>0$, parabol có bề lõm quay lên trên, đỉnh tại gốc O(0;0), nhận Oy làm trục đối xứng, và khá 'rộng' vì $|a|=0,5$ nhỏ hơn 1.
4
Vậy đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2}{2}$ là một parabol đỉnh O, quay bề lõm lên trên, đi qua các điểm như (2;2) và (4;8).
Vậy đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2}{2}$ là một parabol đỉnh O, quay bề lõm lên trên, đi qua các điểm như (2;2) và (4;8).

Ví dụ

Kiểm tra một điểm có thuộc đồ thị hay không

1
Điểm $A(4;8)$ có thuộc đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2}{2}$ hay không?
Điểm $A(4;8)$ có thuộc đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2}{2}$ hay không?
2
Tại $x=4$ : $y=\dfrac{4^2}{2}=\dfrac{16}{2}=8$ .
Tại $x=4$: $y=\dfrac{4^2}{2}=\dfrac{16}{2}=8$.
3
Giá trị tính được y=8 đúng bằng tung độ của điểm A.
4
Vậy điểm $A(4;8)$ thuộc đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2}{2}$ .
Vậy điểm $A(4;8)$ thuộc đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2}{2}$.

Ví dụ

Xác định hệ số a khi biết một điểm thuộc parabol

1
Xác định hệ số a để parabol $(P):y=ax^2$ đi qua điểm $M(-2;12)$ .
Xác định hệ số a để parabol $(P):y=ax^2$ đi qua điểm $M(-2;12)$.
2
Vì M thuộc (P) nên tọa độ của M thỏa mãn phương trình: $12=a\cdot(-2)^2=4a$ .
Vì M thuộc (P) nên tọa độ của M thỏa mãn phương trình: $12=a\cdot(-2)^2=4a$.
3
$4a=12 \iff a=3$ .
$4a=12 \iff a=3$.
4
Vậy $a=3$ , tức $(P):y=3x^2$ . (Kiểm tra lại: $3\cdot(-2)^2=3\cdot4=12$ , đúng bằng tung độ của M — TMĐK.)
Vậy $a=3$, tức $(P):y=3x^2$. (Kiểm tra lại: $3\cdot(-2)^2=3\cdot4=12$, đúng bằng tung độ của M — TMĐK.)

Ví dụ

Ứng dụng đồ thị parabol vào một cổng hình vòm

1
Một cổng vào công viên có hình dạng một parabol. Đặt hệ trục tọa độ Oxy sao cho gốc O trùng với đỉnh cổng (điểm cao nhất), trục Oy hướng thẳng xuống dưới, đơn vị tính bằng mét. Biết cổng rộng 8 m ở chân cổng và cao 4 m. Hỏi tại vị trí cách trục đối xứng 2 m, cổng còn cách mặt đất bao nhiêu mét?
2
Vì gốc O đặt tại đỉnh (điểm cao nhất) và Oy hướng xuống, y ở đây đo 'độ sâu tính từ đỉnh xuống', luôn không âm khi đi ra khỏi đỉnh, nên (P) có dạng y=ax² với a>0.
3
Chân cổng cách trục đối xứng $\dfrac82=4$ (m), và sâu hơn đỉnh đúng 4 m (chiều cao cổng), nên (P) đi qua điểm $(4;4)$ : $4=a\cdot4^2=16a \Rightarrow a=0,25$ .
Chân cổng cách trục đối xứng $\dfrac82=4$ (m), và sâu hơn đỉnh đúng 4 m (chiều cao cổng), nên (P) đi qua điểm $(4;4)$: $4=a\cdot4^2=16a \Rightarrow a=0,25$.
4
Tại $x=2$ : $y=0,25\cdot2^2=1$ (m) — đây là độ sâu tính từ đỉnh cổng xuống vị trí đó.
Tại $x=2$: $y=0,25\cdot2^2=1$ (m) — đây là độ sâu tính từ đỉnh cổng xuống vị trí đó.
5
Chiều cao so với mặt đất $=4-1=3$ (m). (1)
Chiều cao so với mặt đất $=4-1=3$ (m). (1)
6
Vậy từ (1), tại vị trí cách trục đối xứng 2 m, cổng còn cách mặt đất 3 m.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Một số bạn nghĩ rằng khi a<0, parabol 'không có đỉnh' hoặc đỉnh nằm ở một vị trí khác gốc tọa độ. Thực ra dấu của a chỉ đổi HƯỚNG bề lõm — lên trên khi a>0, xuống dưới khi a<0 — chứ không hề làm dịch chuyển đỉnh. Với mọi $a\ne0$ , đỉnh của $y=ax^2$ luôn là gốc tọa độ O(0;0) và trục đối xứng luôn là Oy. Một lỗi khác: nối các điểm trong bảng giá trị bằng các đoạn thẳng gấp khúc thay vì một đường cong trơn — parabol không có góc nhọn ở bất kỳ điểm nào ngoài đỉnh.

Một số bạn nghĩ rằng khi a<0, parabol 'không có đỉnh' hoặc đỉnh nằm ở một vị trí khác gốc tọa độ. Thực ra dấu của a chỉ đổi HƯỚNG bề lõm — lên trên khi a>0, xuống dưới khi a<0 — chứ không hề làm dịch chuyển đỉnh. Với mọi $a\ne0$, đỉnh của $y=ax^2$ luôn là gốc tọa độ O(0;0) và trục đối xứng luôn là Oy. Một lỗi khác: nối các điểm trong bảng giá trị bằng các đoạn thẳng gấp khúc thay vì một đường cong trơn — parabol không có góc nhọn ở bất kỳ điểm nào ngoài đỉnh.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Đồ thị $y=ax^2$ ( $a\ne0$ ) là một parabol đỉnh O, trục đối xứng Oy, bề lõm quay lên khi a>0 và quay xuống khi a<0; $|a|$ càng lớn thì parabol càng hẹp. Muốn kiểm tra một điểm có thuộc đồ thị hay không, chỉ cần thay hoành độ vào hàm số rồi so sánh kết quả với tung độ đã cho.

Đồ thị $y=ax^2$ ($a\ne0$) là một parabol đỉnh O, trục đối xứng Oy, bề lõm quay lên khi a>0 và quay xuống khi a<0; $|a|$ càng lớn thì parabol càng hẹp. Muốn kiểm tra một điểm có thuộc đồ thị hay không, chỉ cần thay hoành độ vào hàm số rồi so sánh kết quả với tung độ đã cho.

Hai bài vừa rồi mới xét MỘT parabol riêng lẻ. Chương tiếp theo đặt thêm một đường thẳng bên cạnh parabol đó, và trả lời câu hỏi mà bất kỳ đề thi nào cũng hỏi: hai đồ thị này cắt nhau tại bao nhiêu điểm?