Bài học

Phương trình hoành độ giao điểm và điều kiện có 0, 1, 2 nghiệm (Viète nâng cao)

Em sẽ làm được gì?

Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa một parabol và một đường thẳng chứa tham số, dùng $\Delta$ để biện luận số giao điểm, rồi kết hợp thêm hệ thức Viète để giải các điều kiện nâng cao về dấu nghiệm, tổng bình phương hoành độ, và bất đẳng thức chứa tham số — chứ không dừng lại ở việc tìm $m$ để có 2 giao điểm.

Lập **phương trình hoành độ giao điểm** giữa một parabol và một đường thẳng chứa tham số, dùng $\Delta$ để biện luận số giao điểm, rồi kết hợp thêm **hệ thức Viète** để giải các điều kiện nâng cao về dấu nghiệm, tổng bình phương hoành độ, và bất đẳng thức chứa tham số — chứ không dừng lại ở việc tìm $m$ để có 2 giao điểm.

Cần nhớ trước

Trước khi vào bài, em cần vững phương trình hoành độ giao điểm (thế $y$ của đường thẳng vào $y$ của parabol), công thức nghiệm và $\Delta$ , và hệ thức Viète cho phương trình bậc hai $x^2+px+q=0$ : $x_1+x_2=-p$ , $x_1x_2=q$ (Toán 9, chương phương trình bậc hai một ẩn).

Trước khi vào bài, em cần vững phương trình hoành độ giao điểm (thế $y$ của đường thẳng vào $y$ của parabol), công thức nghiệm và $\Delta$, và hệ thức Viète cho phương trình bậc hai $x^2+px+q=0$: $x_1+x_2=-p$, $x_1x_2=q$ (Toán 9, chương phương trình bậc hai một ẩn).

So với mức chuẩn lớp 9: đề bài thông thường chỉ dừng ở "tìm $m$ để đường thẳng $d$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt" — chỉ cần xét dấu $\Delta$ và dừng lại. Đề học sinh giỏi đi xa hơn: sau khi có $\Delta>0$ , đề còn đòi hỏi hai giao điểm thỏa thêm một điều kiện phụ biểu diễn qua tổng và tích hai nghiệm (Viète) — trái dấu, tổng bình phương bằng một số cho trước, hay một bất đẳng thức. Đây là điểm khác biệt cốt lõi giữa bài chuẩn và bài nâng cao ở cùng một chủ đề.

**So với mức chuẩn lớp 9:** đề bài thông thường chỉ dừng ở "tìm $m$ để đường thẳng $d$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt" — chỉ cần xét dấu $\Delta$ và dừng lại. Đề học sinh giỏi đi xa hơn: sau khi có $\Delta>0$, đề còn đòi hỏi hai giao điểm thỏa thêm một **điều kiện phụ** biểu diễn qua tổng và tích hai nghiệm (Viète) — trái dấu, tổng bình phương bằng một số cho trước, hay một bất đẳng thức. Đây là điểm khác biệt cốt lõi giữa bài chuẩn và bài nâng cao ở cùng một chủ đề.

Lập phương trình hoành độ giao điểm và biện luận theo $\Delta$

Cho $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=2x+m$ với $m$ là tham số. Hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là nghiệm của phương trình: $x^2 = 2x+m \iff x^2-2x-m=0 \quad (1)$ Đây là phương trình bậc hai ẩn $x$ với $a=1, b=-2, c=-m$ , có $\Delta' = 1+m$ (dùng $\Delta'$ vì $b$ chẵn). Số giao điểm của $(d)$ và $(P)$ chính là số nghiệm của (1):

$(d)$ và $(P)$ không cắt nhau $\iff \Delta'<0 \iff m<-1$ .
$(d)$ và $(P)$ tiếp xúc (1 điểm chung) $\iff \Delta'=0 \iff m=-1$ .
$(d)$ và $(P)$ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt $\iff \Delta'>0 \iff m>-1$ .

Khi có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ , theo Viète: $S=x_1+x_2=2, \qquad P=x_1x_2=-m$

Cho $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=2x+m$ với $m$ là tham số. Hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là nghiệm của phương trình: $$x^2 = 2x+m \iff x^2-2x-m=0 \quad (1)$$ Đây là phương trình bậc hai ẩn $x$ với $a=1, b=-2, c=-m$, có $\Delta' = 1+m$ (dùng $\Delta'$ vì $b$ chẵn). Số giao điểm của $(d)$ và $(P)$ chính là số nghiệm của (1): - $(d)$ và $(P)$ **không cắt nhau** $\iff \Delta'<0 \iff m<-1$. - $(d)$ và $(P)$ **tiếp xúc** (1 điểm chung) $\iff \Delta'=0 \iff m=-1$. - $(d)$ và $(P)$ **cắt nhau tại 2 điểm phân biệt** $\iff \Delta'>0 \iff m>-1$. Khi có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2$, theo Viète: $$S=x_1+x_2=2, \qquad P=x_1x_2=-m$$

Mở rộng dành cho HSG — kết hợp Viète với điều kiện về dấu nghiệm

Ý tưởng cốt lõi (key idea): một khi đã có $S$ và $P$ theo $m$ , mọi đại lượng đối xứng của $x_1, x_2$ (như $x_1x_2$ , $x_1^2+x_2^2$ , $(x_1-x_2)^2$ …) đều viết được qua $S$ và $P$ mà không cần giải riêng từng nghiệm. Học sinh giỏi luôn hỏi: "đại lượng đề bài cho có phải là một biểu thức đối xứng của $x_1,x_2$ không? Nếu có, biểu diễn nó qua $S,P$ ngay." Riêng khi điều kiện là dấu của $P$ (ví dụ $x_1x_2<0$ ), ta còn được một mẹo quý: nếu $P<0$ thì phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu, tức luôn có $\Delta>0$ — không cần xét $\Delta$ riêng nữa, vì hai nghiệm trái dấu chắc chắn phân biệt.

**Ý tưởng cốt lõi (key idea):** một khi đã có $S$ và $P$ theo $m$, mọi đại lượng đối xứng của $x_1, x_2$ (như $x_1x_2$, $x_1^2+x_2^2$, $(x_1-x_2)^2$…) đều viết được qua $S$ và $P$ mà **không cần giải riêng từng nghiệm**. Học sinh giỏi luôn hỏi: "đại lượng đề bài cho có phải là một biểu thức đối xứng của $x_1,x_2$ không? Nếu có, biểu diễn nó qua $S,P$ ngay." Riêng khi điều kiện là **dấu của $P$** (ví dụ $x_1x_2<0$), ta còn được một mẹo quý: nếu $P<0$ thì phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu, tức luôn có $\Delta>0$ — **không cần xét $\Delta$ riêng nữa**, vì hai nghiệm trái dấu chắc chắn phân biệt.

Ví dụ

Ví dụ 1 — Hai giao điểm nằm về hai phía trục tung

1
Tìm $m$ để $(d): y=2x+m$ cắt $(P): y=x^2$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu.
Tìm $m$ để $(d): y=2x+m$ cắt $(P): y=x^2$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu.
2
"Hoành độ trái dấu" nghĩa là $x_1x_2<0$ , tức $P<0$ . Đây là điều kiện về tích nên dùng ngay Viète, không cần giải nghiệm cụ thể.
"Hoành độ trái dấu" nghĩa là $x_1x_2<0$, tức $P<0$. Đây là điều kiện về **tích** nên dùng ngay Viète, không cần giải nghiệm cụ thể.
3
Từ (1): $P=x_1x_2=-m$ . Yêu cầu $P<0 \iff -m<0 \iff m>0$ .
Từ (1): $P=x_1x_2=-m$. Yêu cầu $P<0 \iff -m<0 \iff m>0$.
4
Vì $m>0>-1$ nên $\Delta'=1+m>1>0$ luôn đúng — điều kiện $m>0$ đã tự động đảm bảo có 2 nghiệm phân biệt, đúng như mẹo đã nêu ở trên.
Vì $m>0>-1$ nên $\Delta'=1+m>1>0$ luôn đúng — điều kiện $m>0$ đã tự động đảm bảo có 2 nghiệm phân biệt, đúng như mẹo đã nêu ở trên.
5
Vậy $m>0$ .
Vậy $m>0$.
6
Ta có phương trình hoành độ giao điểm $x^2-2x-m=0$ (1), với $S=x_1+x_2=2$ , $P=x_1x_2=-m$ theo hệ thức Viète cho (1). Xét yêu cầu $x_1x_2<0$ : đó chính là điều kiện $P<0 \iff -m<0 \iff m>0$ . Do $P<0$ nên hai nghiệm trái dấu, kéo theo chúng chắc chắn phân biệt, tức $\Delta'>0$ tự động thỏa — không cần xét riêng. Vậy $m>0$ .
Ta có phương trình hoành độ giao điểm $x^2-2x-m=0$ (1), với $S=x_1+x_2=2$, $P=x_1x_2=-m$ theo hệ thức Viète cho (1). Xét yêu cầu $x_1x_2<0$: đó chính là điều kiện $P<0 \iff -m<0 \iff m>0$. Do $P<0$ nên hai nghiệm trái dấu, kéo theo chúng chắc chắn phân biệt, tức $\Delta'>0$ tự động thỏa — không cần xét riêng. Vậy $m>0$.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Tổng bình phương hai hoành độ bằng một số cho trước

1
Tìm $m$ để $(d): y=2x+m$ cắt $(P): y=x^2$ tại hai điểm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_1^2+x_2^2=10$ .
Tìm $m$ để $(d): y=2x+m$ cắt $(P): y=x^2$ tại hai điểm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_1^2+x_2^2=10$.
2
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=S^2-2P=2^2-2(-m)=4+2m$
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=S^2-2P=2^2-2(-m)=4+2m$$
3
$4+2m=10 \iff 2m=6 \iff m=3$ .
$4+2m=10 \iff 2m=6 \iff m=3$.
4
Với $m=3$ : $\Delta'=1+3=4>0$ — thỏa mãn, hai giao điểm thực sự phân biệt.
Với $m=3$: $\Delta'=1+3=4>0$ — thỏa mãn, hai giao điểm thực sự phân biệt.
5
$m=3$ .
$m=3$.
6
Ta có $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=S^2-2P$ theo hệ thức Viète cho (1). Thay $S=2$ , $P=-m$ : $x_1^2+x_2^2=4+2m$ . Theo giả thiết $x_1^2+x_2^2=10$ , suy ra $4+2m=10 \iff m=3$ . Kiểm tra điều kiện tồn tại: $\Delta'=1+m=4>0$ (TMĐK). Vậy $m=3$ .
Ta có $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=S^2-2P$ theo hệ thức Viète cho (1). Thay $S=2$, $P=-m$: $x_1^2+x_2^2=4+2m$. Theo giả thiết $x_1^2+x_2^2=10$, suy ra $4+2m=10 \iff m=3$. Kiểm tra điều kiện tồn tại: $\Delta'=1+m=4>0$ (TMĐK). Vậy $m=3$.

Mở rộng dành cho HSG — bất đẳng thức kết hợp miền tham số

Bẫy thường gặp ở dạng nâng cao: khi điều kiện phụ là một bất đẳng thức theo $m$ , học sinh hay quên rằng nghiệm của bất đẳng thức phụ phải giao với miền $\Delta'>0$ đã tìm được ở bước đầu — không được lấy trực tiếp nghiệm của bất đẳng thức làm đáp số cuối cùng.

**Bẫy thường gặp ở dạng nâng cao:** khi điều kiện phụ là một **bất đẳng thức** theo $m$, học sinh hay quên rằng nghiệm của bất đẳng thức phụ phải **giao** với miền $\Delta'>0$ đã tìm được ở bước đầu — không được lấy trực tiếp nghiệm của bất đẳng thức làm đáp số cuối cùng.

Ví dụ

Ví dụ 3 — Bất đẳng thức chứa tham số (giao hai miền điều kiện)

1
Tìm tất cả $m$ để $(d): y=2x+m$ cắt $(P): y=x^2$ tại hai điểm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_1^2+x_2^2 < 2(x_1+x_2)$ .
Tìm tất cả $m$ để $(d): y=2x+m$ cắt $(P): y=x^2$ tại hai điểm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_1^2+x_2^2 < 2(x_1+x_2)$.
2
$x_1^2+x_2^2=4+2m$ (tính như Ví dụ 2); $2(x_1+x_2)=2S=2\cdot2=4$ .
$x_1^2+x_2^2=4+2m$ (tính như Ví dụ 2); $2(x_1+x_2)=2S=2\cdot2=4$.
3
$4+2m<4 \iff 2m<0 \iff m<0$ .
$4+2m<4 \iff 2m<0 \iff m<0$.
4
Điều kiện để có 2 giao điểm phân biệt là $m>-1$ (từ $\Delta'>0$ ). Kết hợp với $m<0$ vừa tìm: $-1<m<0$
Điều kiện để có 2 giao điểm phân biệt là $m>-1$ (từ $\Delta'>0$). Kết hợp với $m<0$ vừa tìm: $$-1<m<0$$
5
Tập nghiệm là $-1<m<0$ . Nếu chỉ lấy $m<0$ mà quên giao với $m>-1$ , đáp số sẽ sai vì khi $m\le-1$ phương trình (1) không còn 2 nghiệm phân biệt để nói đến $x_1,x_2$ .
Tập nghiệm là $-1<m<0$. Nếu chỉ lấy $m<0$ mà quên giao với $m>-1$, đáp số sẽ sai vì khi $m\le-1$ phương trình (1) không còn 2 nghiệm phân biệt để nói đến $x_1,x_2$.
6
Ta có $x_1^2+x_2^2=S^2-2P=4+2m$ và $2(x_1+x_2)=2S=4$ theo Viète cho (1). Xét bất phương trình đề bài: $4+2m<4 \iff m<0$ (1'). Mặt khác, điều kiện để (1) có hai nghiệm phân biệt là $\Delta'=1+m>0 \iff m>-1$ (2'). Kết hợp (1') và (2'): $-1<m<0$ . Vậy tập giá trị cần tìm là $-1<m<0$ .
Ta có $x_1^2+x_2^2=S^2-2P=4+2m$ và $2(x_1+x_2)=2S=4$ theo Viète cho (1). Xét bất phương trình đề bài: $4+2m<4 \iff m<0$ (1'). Mặt khác, điều kiện để (1) có hai nghiệm phân biệt là $\Delta'=1+m>0 \iff m>-1$ (2'). Kết hợp (1') và (2'): $-1<m<0$. Vậy tập giá trị cần tìm là $-1<m<0$.

Bẫy thường gặp

Bẫy hay gặp: giải xong bất phương trình/phương trình phụ theo Viète, phải luôn quay lại kiểm tra với điều kiện $\Delta$ (hoặc $\Delta'$ ) đã lập ở bước đầu. Quên bước giao miền là lỗi phổ biến nhất ở dạng toán này — đáp số "đẹp" theo Viète có thể rơi vào vùng $m$ không hề cho 2 giao điểm phân biệt.

**Bẫy hay gặp:** giải xong bất phương trình/phương trình phụ theo Viète, phải luôn **quay lại kiểm tra** với điều kiện $\Delta$ (hoặc $\Delta'$) đã lập ở bước đầu. Quên bước giao miền là lỗi phổ biến nhất ở dạng toán này — đáp số "đẹp" theo Viète có thể rơi vào vùng $m$ không hề cho 2 giao điểm phân biệt.

Luyện tập có hướng dẫn

Ghi nhớ: mọi điều kiện đối xứng của $x_1, x_2$ (tổng bình phương, tích, dấu…) đều quy về biểu thức theo $S=x_1+x_2$ và $P=x_1x_2$ — không bao giờ cần giải phương trình để tìm từng nghiệm riêng lẻ. Sau khi giải xong điều kiện phụ theo $m$ , luôn giao với miền $\Delta$ (hoặc $\Delta'$ ) đã lập ở bước đầu.

**Ghi nhớ:** mọi điều kiện đối xứng của $x_1, x_2$ (tổng bình phương, tích, dấu…) đều quy về biểu thức theo $S=x_1+x_2$ và $P=x_1x_2$ — không bao giờ cần giải phương trình để tìm từng nghiệm riêng lẻ. Sau khi giải xong điều kiện phụ theo $m$, luôn giao với miền $\Delta$ (hoặc $\Delta'$) đã lập ở bước đầu.

Tóm tắt: kỹ thuật của bài này gồm ba bước — (1) lập phương trình hoành độ giao điểm và tính $\Delta$ ; (2) biểu diễn điều kiện đề bài qua Viète $S, P$ ; (3) giải và giao với miền $\Delta$ hợp lệ. Đây là bộ khung sẽ lặp lại xuyên suốt cả chương, kể cả khi tham số nằm ở vị trí khác trong phương trình.

**Tóm tắt:** kỹ thuật của bài này gồm ba bước — (1) lập phương trình hoành độ giao điểm và tính $\Delta$; (2) biểu diễn điều kiện đề bài qua Viète $S, P$; (3) giải và **giao** với miền $\Delta$ hợp lệ. Đây là bộ khung sẽ lặp lại xuyên suốt cả chương, kể cả khi tham số nằm ở vị trí khác trong phương trình.

Bài tiếp theo giữ nguyên bộ khung này nhưng chuyển tham số vào chính hàm số bậc hai (thay vì đường thẳng), và mở rộng Viète sang cả tọa độ $y$ của giao điểm.

Lập phương trình hoành độ giao điểm và biện luận theo Δ\DeltaΔ

Mở rộng dành cho HSG — kết hợp Viète với điều kiện về dấu nghiệm

Mở rộng dành cho HSG — bất đẳng thức kết hợp miền tham số

Luyện tập có hướng dẫn

Lập phương trình hoành độ giao điểm và biện luận theo $\Delta$