Phần

Tham số trong hàm số bậc hai — tiếp xúc, biện luận dấu nghiệm và Viète mở rộng

Em sẽ làm được gì?

Vận dụng đúng kỹ thuật của Bài 1 khi tham số nằm trong chính hàm số bậc hai (không phải trong đường thẳng), đồng thời mở rộng Viète sang cả tọa độ $y$ của giao điểm khi đường thẳng không nằm ngang, và tập biện luận theo từng khoảng giá trị của $m$ — một kỹ năng lý luận cấp cao hơn so với chỉ giải một phương trình/bất phương trình.

Vận dụng đúng kỹ thuật của Bài 1 khi tham số nằm **trong chính hàm số bậc hai** (không phải trong đường thẳng), đồng thời mở rộng Viète sang **cả tọa độ $y$** của giao điểm khi đường thẳng không nằm ngang, và tập **biện luận theo từng khoảng giá trị của $m$** — một kỹ năng lý luận cấp cao hơn so với chỉ giải một phương trình/bất phương trình.

Cần nhớ trước

Bài này dùng lại toàn bộ kỹ thuật Bài 1 (phương trình hoành độ giao điểm, $\Delta$ , Viète); điều cần nhớ thêm là phương trình hoành độ giao điểm luôn lập được theo cùng một cách, dù tham số nằm ở đâu trong hai hàm số.

Bài này dùng lại toàn bộ kỹ thuật Bài 1 (phương trình hoành độ giao điểm, $\Delta$, Viète); điều cần nhớ thêm là phương trình hoành độ giao điểm luôn lập được theo cùng một cách, dù tham số nằm ở đâu trong hai hàm số.

Bài toán chuẩn lớp 9 thường đặt tham số trong đường thẳng. Đề nâng cao đa dạng hơn: tham số có thể nằm trong chính parabol, ví dụ khi một hàm số mô tả một họ đồ thị dịch chuyển theo phương thẳng đứng. Vị trí của tham số không thay đổi bản chất kỹ thuật — vẫn là lập phương trình hoành độ giao điểm rồi dùng $\Delta$ , Viète — nhưng đòi hỏi học sinh nhận diện được cấu trúc bài toán thay vì học thuộc một dạng bài cố định.

**Bài toán chuẩn lớp 9** thường đặt tham số trong đường thẳng. Đề nâng cao đa dạng hơn: tham số có thể nằm **trong chính parabol**, ví dụ khi một hàm số mô tả một họ đồ thị dịch chuyển theo phương thẳng đứng. Vị trí của tham số không thay đổi bản chất kỹ thuật — vẫn là lập phương trình hoành độ giao điểm rồi dùng $\Delta$, Viète — nhưng đòi hỏi học sinh nhận diện được cấu trúc bài toán thay vì học thuộc một dạng bài cố định.

Lập phương trình khi tham số nằm trong hàm số bậc hai

Cho họ parabol $(P_m): y=x^2-4x+m$ (tham số $m$ dịch chuyển đồ thị lên/xuống) và đường thẳng cố định $(d): y=x$ . Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2-4x+m=x \iff x^2-5x+m=0 \quad (2)$ có $\Delta=25-4m$ . Vì $(d): y=x$ đi qua gốc tọa độ với hệ số góc $1$ , nên với mọi giao điểm, tung độ bằng chính hoành độ: $y_i=x_i$ — một tính chất riêng có của đường thẳng này, giúp mọi điều kiện về $y$ quy trực tiếp về điều kiện trên $x$ .

2 giao điểm phân biệt $\iff \Delta>0 \iff m<\dfrac{25}{4}$ .
Tiếp xúc $\iff m=\dfrac{25}{4}$ .

Khi có 2 nghiệm: $S=x_1+x_2=5$ , $P=x_1x_2=m$ .

Cho họ parabol $(P_m): y=x^2-4x+m$ (tham số $m$ dịch chuyển đồ thị lên/xuống) và đường thẳng cố định $(d): y=x$. Phương trình hoành độ giao điểm: $$x^2-4x+m=x \iff x^2-5x+m=0 \quad (2)$$ có $\Delta=25-4m$. Vì $(d): y=x$ đi qua gốc tọa độ với hệ số góc $1$, nên với mọi giao điểm, **tung độ bằng chính hoành độ**: $y_i=x_i$ — một tính chất riêng có của đường thẳng này, giúp mọi điều kiện về $y$ quy trực tiếp về điều kiện trên $x$. - 2 giao điểm phân biệt $\iff \Delta>0 \iff m<\dfrac{25}{4}$. - Tiếp xúc $\iff m=\dfrac{25}{4}$. Khi có 2 nghiệm: $S=x_1+x_2=5$, $P=x_1x_2=m$.

Ví dụ

Ví dụ 1 — Điều kiện tiếp xúc và tọa độ tiếp điểm

1
Tìm $m$ để $(P_m): y=x^2-4x+m$ tiếp xúc với $(d): y=x$ , và tìm tọa độ tiếp điểm.
Tìm $m$ để $(P_m): y=x^2-4x+m$ tiếp xúc với $(d): y=x$, và tìm tọa độ tiếp điểm.
2
$\Delta=0 \iff 25-4m=0 \iff m=\dfrac{25}{4}$ .
$\Delta=0 \iff 25-4m=0 \iff m=\dfrac{25}{4}$.
3
Nghiệm kép $x=\dfrac{5}{2}$ (vì $x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{5}{2}$ ), và $y=x=\dfrac{5}{2}$ (do nằm trên $(d)$ ).
Nghiệm kép $x=\dfrac{5}{2}$ (vì $x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{5}{2}$), và $y=x=\dfrac{5}{2}$ (do nằm trên $(d)$).
4
$m=\dfrac{25}{4}$ , tiếp điểm $\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{5}{2}\right)$ .
$m=\dfrac{25}{4}$, tiếp điểm $\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{5}{2}\right)$.
5
Ta có phương trình hoành độ giao điểm $x^2-5x+m=0$ (2) với $\Delta=25-4m$ . Đường thẳng tiếp xúc parabol khi và chỉ khi $\Delta=0$ , suy ra $m=\dfrac{25}{4}$ . Khi đó nghiệm kép $x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac52$ , và vì tiếp điểm thuộc $(d): y=x$ nên $y=\dfrac52$ . Vậy $m=\dfrac{25}{4}$ và tiếp điểm là $\left(\dfrac52;\dfrac52\right)$ .
Ta có phương trình hoành độ giao điểm $x^2-5x+m=0$ (2) với $\Delta=25-4m$. Đường thẳng tiếp xúc parabol khi và chỉ khi $\Delta=0$, suy ra $m=\dfrac{25}{4}$. Khi đó nghiệm kép $x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac52$, và vì tiếp điểm thuộc $(d): y=x$ nên $y=\dfrac52$. Vậy $m=\dfrac{25}{4}$ và tiếp điểm là $\left(\dfrac52;\dfrac52\right)$.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Tổng bình phương hoành độ (Viète không đổi cách làm dù tham số ở vị trí khác)

1
Tìm $m$ để $(P_m): y=x^2-4x+m$ cắt $(d): y=x$ tại 2 điểm phân biệt có $x_1^2+x_2^2=21$ .
Tìm $m$ để $(P_m): y=x^2-4x+m$ cắt $(d): y=x$ tại 2 điểm phân biệt có $x_1^2+x_2^2=21$.
2
$x_1^2+x_2^2=S^2-2P=5^2-2m=25-2m$ .
$x_1^2+x_2^2=S^2-2P=5^2-2m=25-2m$.
3
$25-2m=21 \iff m=2$ .
$25-2m=21 \iff m=2$.
4
$\Delta=25-4(2)=17>0$ — thỏa mãn.
$\Delta=25-4(2)=17>0$ — thỏa mãn.
5
$m=2$ .
$m=2$.
6
Ta có $S=x_1+x_2=5$ , $P=x_1x_2=m$ theo Viète cho (2). Suy ra $x_1^2+x_2^2=S^2-2P=25-2m$ . Theo giả thiết, $25-2m=21 \iff m=2$ ; kiểm tra $\Delta=25-8=17>0$ (TMĐK). Vậy $m=2$ .
Ta có $S=x_1+x_2=5$, $P=x_1x_2=m$ theo Viète cho (2). Suy ra $x_1^2+x_2^2=S^2-2P=25-2m$. Theo giả thiết, $25-2m=21 \iff m=2$; kiểm tra $\Delta=25-8=17>0$ (TMĐK). Vậy $m=2$.

Mở rộng dành cho HSG — biện luận dấu nghiệm theo từng khoảng của $m$

Biện luận (xét đầy đủ các trường hợp của $m$ ) là một kỹ năng bậc cao hơn "giải một phương trình": thay vì tìm một giá trị $m$ cụ thể, ta mô tả toàn bộ cách nghiệm thay đổi khi $m$ chạy trên $\mathbb{R}$ . Đây là kiểu lập luận thường gặp trong đề học sinh giỏi khi đề không cho sẵn điều kiện, mà yêu cầu "biện luận theo $m$ ".

**Biện luận** (xét đầy đủ các trường hợp của $m$) là một kỹ năng bậc cao hơn "giải một phương trình": thay vì tìm một giá trị $m$ cụ thể, ta mô tả **toàn bộ** cách nghiệm thay đổi khi $m$ chạy trên $\mathbb{R}$. Đây là kiểu lập luận thường gặp trong đề học sinh giỏi khi đề không cho sẵn điều kiện, mà yêu cầu "biện luận theo $m$".

Ví dụ

Ví dụ 3 — Biện luận dấu hoành độ giao điểm theo

m

1
Biện luận dấu của $x_1, x_2$ (nghiệm của (2)) theo giá trị của tham số $m$ .
Biện luận dấu của $x_1, x_2$ (nghiệm của (2)) theo giá trị của tham số $m$.
2
$P=x_1x_2=m<0$ : tích âm nên $x_1, x_2$ trái dấu. Vì trái dấu nên chắc chắn phân biệt (không cần xét $\Delta$ riêng), và vì $\Delta=25-4m>25>0$ khi $m<0$ nên điều này khớp.
$P=x_1x_2=m<0$: tích âm nên $x_1, x_2$ **trái dấu**. Vì trái dấu nên chắc chắn phân biệt (không cần xét $\Delta$ riêng), và vì $\Delta=25-4m>25>0$ khi $m<0$ nên điều này khớp.
3
Phương trình (2) trở thành $x^2-5x=0 \iff x(x-5)=0$ , cho nghiệm $x=0$ và $x=5$ — một nghiệm bằng 0, nghiệm còn lại dương.
Phương trình (2) trở thành $x^2-5x=0 \iff x(x-5)=0$, cho nghiệm $x=0$ và $x=5$ — một nghiệm bằng 0, nghiệm còn lại dương.
4
$P=m>0$ và $S=5>0$ nên cả hai nghiệm đều dương (tích dương, tổng dương $\Rightarrow$ cả hai cùng dấu dương); đồng thời $\Delta=25-4m>0$ nên hai nghiệm này phân biệt.
$P=m>0$ và $S=5>0$ nên **cả hai nghiệm đều dương** (tích dương, tổng dương $\Rightarrow$ cả hai cùng dấu dương); đồng thời $\Delta=25-4m>0$ nên hai nghiệm này phân biệt.
5
$m=\dfrac{25}{4}$ : nghiệm kép $x=2{,}5$ (dương). $m>\dfrac{25}{4}$ : $\Delta<0$ , phương trình vô nghiệm, $(P_m)$ và $(d)$ không cắt nhau.
$m=\dfrac{25}{4}$: nghiệm kép $x=2{,}5$ (dương). $m>\dfrac{25}{4}$: $\Delta<0$, phương trình vô nghiệm, $(P_m)$ và $(d)$ không cắt nhau.
6
Xét dấu của $P=x_1x_2=m$ và $S=x_1+x_2=5$ theo Viète cho (2) trên từng khoảng của $m$ . Với $m<0$ : $P<0$ nên hai nghiệm trái dấu, do đó luôn phân biệt; với $m=0$ : phương trình trở thành $x(x-5)=0$ nên một nghiệm bằng $0$ ; với $0<m<\dfrac{25}{4}$ : $P>0, S>0$ nên cả hai nghiệm cùng dương; với $m=\dfrac{25}{4}$ : nghiệm kép dương; với $m>\dfrac{25}{4}$ : $\Delta<0$ , vô nghiệm. Vậy dấu của $x_1, x_2$ đổi đúng tại hai mốc $m=0$ và $m=\dfrac{25}{4}$ , chia $\mathbb{R}$ thành bốn khoảng lập luận như trên.
Xét dấu của $P=x_1x_2=m$ và $S=x_1+x_2=5$ theo Viète cho (2) trên từng khoảng của $m$. Với $m<0$: $P<0$ nên hai nghiệm trái dấu, do đó luôn phân biệt; với $m=0$: phương trình trở thành $x(x-5)=0$ nên một nghiệm bằng $0$; với $0<m<\dfrac{25}{4}$: $P>0, S>0$ nên cả hai nghiệm cùng dương; với $m=\dfrac{25}{4}$: nghiệm kép dương; với $m>\dfrac{25}{4}$: $\Delta<0$, vô nghiệm. Vậy dấu của $x_1, x_2$ đổi đúng tại hai mốc $m=0$ và $m=\dfrac{25}{4}$, chia $\mathbb{R}$ thành bốn khoảng lập luận như trên.

Trạng thái đổi theo từng bước biện luận: khi m tăng từ âm qua 0 rồi dương, giao điểm chuyển từ trái dấu (Bước 1) → một nghiệm bằng 0 (Bước 2) → cùng dương (Bước 3), đúng như lập luận theo dấu của S, P.

Bẫy thường gặp

Bẫy khi biện luận: quên xét trường hợp "biên" ( $m=0$ hoặc $m=\dfrac{25}{4}$ trong ví dụ trên) — đây thường là nơi nghiệm suy biến (bằng 0, hoặc nghiệm kép) và học sinh hay nhầm gộp chung với khoảng bên cạnh. Luôn liệt kê đủ các mốc mà tại đó dấu của $S$ , $P$ , hoặc $\Delta$ đổi dấu.

**Bẫy khi biện luận:** quên xét trường hợp "biên" ($m=0$ hoặc $m=\dfrac{25}{4}$ trong ví dụ trên) — đây thường là nơi nghiệm suy biến (bằng 0, hoặc nghiệm kép) và học sinh hay nhầm gộp chung với khoảng bên cạnh. Luôn liệt kê đủ các mốc mà tại đó dấu của $S$, $P$, hoặc $\Delta$ đổi dấu.

Luyện tập có hướng dẫn

Ghi nhớ: kỹ thuật (phương trình hoành độ giao điểm → $\Delta$ → Viète) không phụ thuộc vào việc tham số nằm ở đường thẳng hay ở parabol. Khi đường thẳng có hệ số góc $k\ne0$ đi qua gốc tọa độ, tung độ và hoành độ giao điểm tỉ lệ với nhau ( $y=kx$ ), giúp quy các điều kiện về $y$ thành điều kiện về $x$ .

**Ghi nhớ:** kỹ thuật (phương trình hoành độ giao điểm → $\Delta$ → Viète) không phụ thuộc vào việc tham số nằm ở đường thẳng hay ở parabol. Khi đường thẳng có hệ số góc $k\ne0$ đi qua gốc tọa độ, tung độ và hoành độ giao điểm tỉ lệ với nhau ($y=kx$), giúp quy các điều kiện về $y$ thành điều kiện về $x$.

Nguyên lý tổng quát

Bất kể tham số $m$ xuất hiện ở đâu — trong hệ số góc của đường thẳng, trong hệ số tự do, hay ngay trong chính hàm số bậc hai — phương trình hoành độ giao điểm luôn quy về một phương trình bậc hai theo $x$ với các hệ số là biểu thức của $m$ . Vì vậy quy trình ba bước (lập phương trình $\to$ tính $\Delta$ $\to$ dùng Viète) là một công cụ vạn năng cho MỌI cấu hình tham số. Điều duy nhất thay đổi giữa các dạng bài là cách các hệ số $a, b, c$ phụ thuộc vào $m$ — càng luyện nhiều cấu hình, phản xạ nhận diện càng nhanh, và học sinh giỏi không cần nhớ "công thức riêng cho từng dạng" mà chỉ cần nhớ đúng MỘT quy trình.

Bất kể tham số $m$ xuất hiện ở đâu — trong hệ số góc của đường thẳng, trong hệ số tự do, hay ngay trong chính hàm số bậc hai — phương trình hoành độ giao điểm luôn quy về một phương trình bậc hai theo $x$ với các hệ số là biểu thức của $m$. Vì vậy quy trình ba bước (lập phương trình $\to$ tính $\Delta$ $\to$ dùng Viète) là một **công cụ vạn năng** cho MỌI cấu hình tham số. Điều duy nhất thay đổi giữa các dạng bài là cách các hệ số $a, b, c$ phụ thuộc vào $m$ — càng luyện nhiều cấu hình, phản xạ nhận diện càng nhanh, và học sinh giỏi không cần nhớ "công thức riêng cho từng dạng" mà chỉ cần nhớ đúng MỘT quy trình.

Bài tiếp theo chuyển sang khai thác hình học tọa độ: dùng đúng bộ Viète này để tính khoảng cách, trung điểm và diện tích tam giác tạo bởi giao điểm — không cần giải phương trình để tìm tọa độ từng điểm.

Lập phương trình khi tham số nằm trong hàm số bậc hai

Mở rộng dành cho HSG — biện luận dấu nghiệm theo từng khoảng của mmm

Luyện tập có hướng dẫn

Mở rộng dành cho HSG — biện luận dấu nghiệm theo từng khoảng của $m$