Phần

Dựng điểm phụ để tạo tứ giác nội tiếp ẩn

Mục tiêu và điều kiện cần

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em biết cách tự dựng một điểm phụ (không có sẵn trong đề bài) để đưa một điểm "khó xử" như trực tâm vào quan hệ nội tiếp với một đường tròn cho trước.

Kiến thức cần có

Bài 1.1 (bốn dấu hiệu, đặc biệt dấu hiệu 4), tính chất trực tâm (giao ba đường cao), tính chất trung điểm, và góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (đường kính nhìn dưới góc vuông) — hệ quả ngược của dấu hiệu 4.

So với bài toán chuẩn

Đề chuẩn lớp 9 với trực tâm thường dừng ở mức: "chứng minh $BFEC$ nội tiếp" (bài 1.1) hoặc tính một góc cụ thể. Đề HSG đẩy xa hơn: trực tâm $H$ không nằm trên đường tròn ngoại tiếp $(O)$ , nhưng đề lại yêu cầu chứng minh một tính chất LIÊN QUAN đến cả $H$ lẫn $(O)$ cùng lúc. Muốn làm được, ta phải tạo ra một điểm mới thay thế $H$ để "đưa" quan hệ đó vào $(O)$ .

Đề chuẩn lớp 9 với trực tâm thường dừng ở mức: "chứng minh $BFEC$ nội tiếp" (bài 1.1) hoặc tính một góc cụ thể. Đề HSG đẩy xa hơn: trực tâm $H$ **không nằm trên** đường tròn ngoại tiếp $(O)$, nhưng đề lại yêu cầu chứng minh một tính chất LIÊN QUAN đến cả $H$ lẫn $(O)$ cùng lúc. Muốn làm được, ta phải tạo ra một điểm mới thay thế $H$ để "đưa" quan hệ đó vào $(O)$.

Câu hỏi khởi động. $H$ là trực tâm tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ . Nói chung $H$ không nằm trên $(O)$ (trừ tam giác đều hoặc suy biến). Vậy làm sao chứng minh được một mối liên hệ TRỰC TIẾP giữa $H$ và $(O)$ , ví dụ như: có một đường kính nào đó của $(O)$ đi "xuyên qua" cấu trúc chứa $H$ hay không? Câu trả lời nằm ở một phép dựng điểm phụ rất đẹp: phản chiếu $H$ qua trung điểm một cạnh.

**Câu hỏi khởi động.** $H$ là trực tâm tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$. Nói chung $H$ không nằm trên $(O)$ (trừ tam giác đều hoặc suy biến). Vậy làm sao chứng minh được một mối liên hệ TRỰC TIẾP giữa $H$ và $(O)$, ví dụ như: *có một đường kính nào đó của $(O)$ đi "xuyên qua" cấu trúc chứa $H$ hay không?* Câu trả lời nằm ở một phép dựng điểm phụ rất đẹp: phản chiếu $H$ qua trung điểm một cạnh.

Ý tưởng chính: phản chiếu trực tâm

Ý tưởng (Mở rộng dành cho HSG — không có trong YCCĐ chuẩn lớp 9): khi một điểm $H$ khó xử lý trực tiếp với đường tròn $(O)$ , ta thử dựng điểm đối xứng của $H$ qua một điểm hoặc đường quen thuộc, với hy vọng điểm mới sẽ rơi đúng vào $(O)$ . Cụ thể: gọi $M$ là trung điểm $BC$ , dựng $K$ sao cho $M$ cũng là trung điểm $HK$ (tức $K$ đối xứng $H$ qua $M$ ). Tại sao đoán $K$ sẽ nằm trên $(O)$ mà không phải điểm nào khác? Vì $M$ là trung điểm $BC$ — điểm này vốn đã "quen mặt" với cả tam giác lẫn đường tròn $(O)$ (nó là chân đường trung trực của dây $BC$ ), nên phản chiếu qua $M$ có cơ hội cao nhất giữ được các quan hệ vuông góc cần thiết. Đây chính là điều bài toán sẽ xác nhận bằng chứng minh chặt chẽ, không phải một phỏng đoán suông.

**Ý tưởng (Mở rộng dành cho HSG — không có trong YCCĐ chuẩn lớp 9):** khi một điểm $H$ *khó xử lý trực tiếp* với đường tròn $(O)$, ta thử **dựng điểm đối xứng của $H$** qua một điểm hoặc đường quen thuộc, với hy vọng điểm mới sẽ *rơi đúng vào* $(O)$. Cụ thể: gọi $M$ là trung điểm $BC$, dựng $K$ sao cho $M$ cũng là trung điểm $HK$ (tức $K$ đối xứng $H$ qua $M$). Tại sao đoán $K$ sẽ nằm trên $(O)$ mà không phải điểm nào khác? Vì $M$ là trung điểm $BC$ — điểm này vốn đã "quen mặt" với cả tam giác lẫn đường tròn $(O)$ (nó là chân đường trung trực của dây $BC$), nên phản chiếu qua $M$ có cơ hội cao nhất giữ được các quan hệ vuông góc cần thiết. Đây chính là điều bài toán sẽ xác nhận bằng chứng minh chặt chẽ, không phải một phỏng đoán suông.

Lời giải có hình

Dựng điểm phụ K để “đưa trực tâm ra đường tròn”

Bước 1

Vẽ tam giác ABC nội tiếp (O). Kẻ hai đường cao AD, BE cắt nhau tại trực tâm H.

Cùng cấu hình worked-figure:

O

là trung điểm của

AK

vì

K = 2O - A

khi biểu diễn theo vector tâm

O

— một cách kiểm chứng đại số cho kết quả hình học.Cùng cấu hình worked-figure: $O$ là trung điểm của $AK$ vì $K = 2O - A$ khi biểu diễn theo vector tâm $O$ — một cách kiểm chứng đại số cho kết quả hình học.

Ví dụ

Vì sao đoán "K trên (O)" mà không đoán điểm khác

1
Vì sao ta chọn dựng $K$ đối xứng $H$ qua trung điểm $M$ của $BC$ , mà không đối xứng qua $B$ , qua $C$ , hay qua chân đường cao $D$ ?
Vì sao ta chọn dựng $K$ đối xứng $H$ qua trung điểm $M$ của $BC$, mà không đối xứng qua $B$, qua $C$, hay qua chân đường cao $D$?
2
Nếu đối xứng $H$ qua $B$ hoặc $C$ , điểm mới không có lý do đặc biệt nào để liên hệ với $(O)$ — $B, C$ đã là đỉnh, không mang thêm thông tin về tâm $O$ . Đối xứng qua chân đường cao $D$ (như bài toán $D'$ ở Bài 1.1) CŨNG cho một điểm trên $(O)$ , nhưng đó là một bổ đề khác, dùng cho mục đích khác (liên hệ góc, không phải liên hệ đường kính).
Nếu đối xứng $H$ qua $B$ hoặc $C$, điểm mới không có lý do đặc biệt nào để liên hệ với $(O)$ — $B, C$ đã là đỉnh, không mang thêm thông tin về tâm $O$. Đối xứng qua chân đường cao $D$ (như bài toán $D'$ ở Bài 1.1) CŨNG cho một điểm trên $(O)$, nhưng đó là một bổ đề khác, dùng cho mục đích khác (liên hệ góc, không phải liên hệ đường kính).
3
Trung điểm $M$ của dây $BC$ nằm trên đường trung trực của $BC$ , và đường trung trực này đi qua tâm $O$ . Việc phản chiếu qua $M$ — chứ không phải qua $B$ , $C$ , hay $D$ — tận dụng đúng mối quan hệ " $M$ , $O$ cùng thuộc một đường thẳng đặc biệt" để tạo ra tính đối xứng cần thiết cho tứ giác $BHCK$ (chứng minh chi tiết ở bài toán mẫu).
Trung điểm $M$ của dây $BC$ nằm trên đường trung trực của $BC$, và đường trung trực này đi qua tâm $O$. Việc phản chiếu qua $M$ — chứ không phải qua $B$, $C$, hay $D$ — tận dụng đúng mối quan hệ "$M$, $O$ cùng thuộc một đường thẳng đặc biệt" để tạo ra tính đối xứng cần thiết cho tứ giác $BHCK$ (chứng minh chi tiết ở bài toán mẫu).
4
Chọn điểm phụ không phải may rủi: luôn tự hỏi "điểm cố định này có mối quan hệ đặc biệt sẵn có với đối tượng tôi muốn liên hệ tới không?" — ở đây, $M$ (trung điểm dây) đặc biệt vì nó nằm trên đường thẳng chứa tâm $O$ .
Chọn điểm phụ không phải may rủi: luôn tự hỏi "điểm cố định này có mối quan hệ đặc biệt sẵn có với đối tượng tôi muốn liên hệ tới không?" — ở đây, $M$ (trung điểm dây) đặc biệt vì nó nằm trên đường thẳng chứa tâm $O$.
5
Nếu tam giác $ABC$ tù (không nhọn) thay vì nhọn, phép dựng $K$ đối xứng $H$ qua $M$ vẫn cho $K \in (O)$ — lập luận ở bài toán mẫu không dùng đến giả thiết tam giác nhọn, chỉ cần $H$ là trực tâm.
Nếu tam giác $ABC$ tù (không nhọn) thay vì nhọn, phép dựng $K$ đối xứng $H$ qua $M$ vẫn cho $K \in (O)$ — lập luận ở bài toán mẫu không dùng đến giả thiết tam giác nhọn, chỉ cần $H$ là trực tâm.

Ví dụ

Biến thể: dùng kết quả AK là đường kính để tính độ dài

1
Tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O;R)$ , trực tâm $H$ . Biết $BC = a$ và $\widehat{BAC} = \alpha$ . Tính $AH$ theo $R$ và $\alpha$ .
Tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O;R)$, trực tâm $H$. Biết $BC = a$ và $\widehat{BAC} = \alpha$. Tính $AH$ theo $R$ và $\alpha$.
2
Dùng chính kết quả bài toán mẫu: $K$ đối xứng $H$ qua trung điểm $M$ của $BC$ nằm trên $(O)$ và $AK$ là đường kính, nên $AK = 2R$ . Ta sẽ tính $AH$ qua $HK$ và tam giác $AHK$ .
Dùng chính kết quả bài toán mẫu: $K$ đối xứng $H$ qua trung điểm $M$ của $BC$ nằm trên $(O)$ và $AK$ là đường kính, nên $AK = 2R$. Ta sẽ tính $AH$ qua $HK$ và tam giác $AHK$.
3
Đặt $\vec{u} = \vec{OB}$ , $\vec{v} = \vec{OC}$ , cả hai có độ dài $R$ . Từ bài toán mẫu, $K$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$ (vì $O$ là trung điểm $AK$ ), và có thể kiểm tra $H = B+C-K$ theo toạ độ vector gốc $O$ (hệ quả của $BHCK$ là hình bình hành với tâm $M$ là trung điểm cả $BC$ lẫn $HK$ ). Suy ra $\vec{AH} = \vec{u}+\vec{v}$ . Vì góc ở tâm $\widehat{BOC} = 2\widehat{BAC} = 2\alpha$ (góc ở tâm gấp đôi góc nội tiếp cùng chắn cung $BC$ ), ta có $\vec u \cdot \vec v = R^2\cos 2\alpha$ , nên $AH^2 = |\vec u+\vec v|^2 = 2R^2 + 2R^2\cos 2\alpha = 4R^2\cos^2\alpha$ , tức $AH = 2R\cos\alpha$ . Vậy $AH = 2R\cos\alpha$ .
Đặt $\vec{u} = \vec{OB}$, $\vec{v} = \vec{OC}$, cả hai có độ dài $R$. Từ bài toán mẫu, $K$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$ (vì $O$ là trung điểm $AK$), và có thể kiểm tra $H = B+C-K$ theo toạ độ vector gốc $O$ (hệ quả của $BHCK$ là hình bình hành với tâm $M$ là trung điểm cả $BC$ lẫn $HK$). Suy ra $\vec{AH} = \vec{u}+\vec{v}$. Vì góc ở tâm $\widehat{BOC} = 2\widehat{BAC} = 2\alpha$ (góc ở tâm gấp đôi góc nội tiếp cùng chắn cung $BC$), ta có $\vec u \cdot \vec v = R^2\cos 2\alpha$, nên $AH^2 = |\vec u+\vec v|^2 = 2R^2 + 2R^2\cos 2\alpha = 4R^2\cos^2\alpha$, tức $AH = 2R\cos\alpha$. Vậy $AH = 2R\cos\alpha$.
4
Kết quả $AH = 2R\cos\alpha$ là một hệ thức HSG kinh điển. Bài toán mẫu (K đối xứng H qua M) chính là bước hình học tổng hợp làm nền cho phép tính vector ngắn gọn này — hai cách tiếp cận (tổng hợp và vector) bổ sung cho nhau.
Kết quả $AH = 2R\cos\alpha$ là một hệ thức HSG kinh điển. Bài toán mẫu (K đối xứng H qua M) chính là bước hình học tổng hợp làm nền cho phép tính vector ngắn gọn này — hai cách tiếp cận (tổng hợp và vector) bổ sung cho nhau.
5
Với cùng giả thiết, tính khoảng cách từ trực tâm $H$ đến cạnh $BC$ (thay vì đến đỉnh $A$ ) theo $R$ và các góc — một biến thể đổi đối tượng cần tính nhưng dùng lại đúng điểm phụ $K$ và hệ thức vector vừa lập.
Với cùng giả thiết, tính khoảng cách từ trực tâm $H$ đến cạnh $BC$ (thay vì đến đỉnh $A$) theo $R$ và các góc — một biến thể đổi đối tượng cần tính nhưng dùng lại đúng điểm phụ $K$ và hệ thức vector vừa lập.

Bẫy thường gặp

Đừng vội kết luận $K$ nằm trên $(O)$ chỉ vì "nhìn hình có vẻ đúng" — phải chỉ rõ CHUỖI suy luận: $CH \parallel BK$ (cùng vuông góc $AB$ ) và $BH \parallel CK$ (cùng vuông góc $AC$ ) $\Rightarrow BHCK$ là hình bình hành $\Rightarrow$ conclusion về đường kính. Bỏ qua bước hình bình hành là lỗi trình bày phổ biến khiến bài mất điểm dù ý tưởng đúng.

Đừng vội kết luận $K$ nằm trên $(O)$ chỉ vì "nhìn hình có vẻ đúng" — phải chỉ rõ CHUỖI suy luận: $CH \parallel BK$ (cùng vuông góc $AB$) và $BH \parallel CK$ (cùng vuông góc $AC$) $\Rightarrow BHCK$ là hình bình hành $\Rightarrow$ conclusion về đường kính. Bỏ qua bước hình bình hành là lỗi trình bày phổ biến khiến bài mất điểm dù ý tưởng đúng.

Luyện tập

Tóm tắt điều cần nhớ

Khi một điểm ( $H$ ) khó xử lý trực tiếp với một đường tròn cho trước, hãy thử dựng điểm đối xứng qua một điểm/đường có sẵn mối quan hệ đặc biệt (ở đây: trung điểm dây nằm trên trung trực đi qua tâm) — rồi CHỨNG MINH chặt chẽ điểm mới có tính chất mong muốn, không dừng ở phỏng đoán.

Khi một điểm ($H$) khó xử lý trực tiếp với một đường tròn cho trước, hãy thử **dựng điểm đối xứng qua một điểm/đường có sẵn mối quan hệ đặc biệt** (ở đây: trung điểm dây nằm trên trung trực đi qua tâm) — rồi CHỨNG MINH chặt chẽ điểm mới có tính chất mong muốn, không dừng ở phỏng đoán.

Bài tiếp theo: rời khỏi cấu hình trực tâm, ta chuyển sang một cấu hình HSG khác cũng dùng đúng "dấu hiệu 4" — hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm ngoài đường tròn — để mở ra Chương 2.