Bài học

Cân bằng của vật rắn có trục quay cố định — quy tắc mô men

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được mô men của một lực đối với một trục quay, áp dụng quy tắc mô men để giải bài toán cân bằng của vật rắn có trục quay cố định (đòn bẩy, thanh treo), kể cả khi vật rắn có trọng lượng riêng đáng kể.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước ôn chuyển động tròn — vật quay quanh một trục mà không có trục vật lý cố định. Bài này xét trường hợp khác: vật rắn có một trục quay cố định thật sự (bản lề, chốt, giá đỡ), và ta tìm điều kiện để nó KHÔNG quay — tức đứng cân bằng.

Khởi động

Tại sao một người nhỏ con lại có thể nâng bổng một vật nặng hơn cả cơ thể mình bằng một cái đòn bẩy dài, chỉ cần đứng ở đầu xa của đòn bẩy đó?

Kiến thức trọng tâm

Quy tắc mô men (điều kiện cân bằng của vật rắn có trục quay cố định): muốn vật không quay, tổng mô men của các lực làm vật quay theo chiều kim đồng hồ phải bằng tổng mô men của các lực làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ, quanh CÙNG một trục quay đang xét: $\Sigma M_{thuận} = \Sigma M_{nghịch}$ . Với đòn bẩy đơn giản (hai lực, một trục quay), quy tắc rút gọn thành $F_1 d_1 = F_2 d_2$ — lực nhỏ đặt xa trục quay có thể cân bằng với lực lớn đặt gần trục quay, đây chính là nguyên lý của đòn bẩy giúp một người nhỏ con nâng được vật nặng.

Với một thanh đồng chất (tiết diện đều), trọng lượng riêng của thanh không tập trung tại một đầu mà coi như đặt tại TRỌNG TÂM — chính giữa thanh nếu thanh đồng chất. Khi trục quay không đi qua đúng trọng tâm, trọng lượng của thanh cũng tạo ra một mô men và PHẢI được tính vào phương trình cân bằng, giống như bất kỳ lực nào khác — đây là điểm học sinh hay bỏ sót khi bài toán không nói thẳng "bỏ qua trọng lượng thanh". Khi có nhiều hơn hai lực tác dụng, quy trình giải vẫn không đổi: xác định trục quay, tính cánh tay đòn của TỪNG lực (kể cả trọng lượng thanh nếu có), phân loại chiều quay của từng mô men, rồi viết phương trình cân bằng $\Sigma M_{thuận} = \Sigma M_{nghịch}$ để giải ẩn số.

Một tính chất quan trọng của vật rắn đang cân bằng: nếu tổng mô men quanh trục quay THẬT SỰ bằng 0, thì tổng mô men quanh BẤT KỲ trục nào khác (kể cả một trục tưởng tượng không có bản lề thật) cũng bằng 0. Tính chất này cho phép ta CHỌN trục quay tưởng tượng ở vị trí thuận tiện nhất để giải — thường là vị trí có một lực chưa biết đi qua, để lực đó biến mất khỏi phương trình (cánh tay đòn bằng 0) — và cũng dùng để kiểm tra lại kết quả bằng một trục khác với trục đã dùng để giải.

Mô men của một lực $\vec{F}$ đối với một trục quay là đại lượng đặc trưng cho tác dụng làm quay của lực đó, tính bằng $M = F \cdot d$, trong đó $d$ là cánh tay đòn — khoảng cách vuông góc từ trục quay đến giá (đường thẳng chứa) của lực. Lực có giá đi qua đúng trục quay ($d=0$) không gây ra mô men nào, dù độ lớn của lực có thể rất lớn — đây là lý do vì sao đẩy một cánh cửa ngay sát bản lề gần như không làm cửa quay, dù đẩy rất mạnh, trong khi đẩy nhẹ ở mép cửa xa bản lề lại làm cửa quay dễ dàng. Quy tắc mô men (điều kiện cân bằng của vật rắn có trục quay cố định): muốn vật không quay, tổng mô men của các lực làm vật quay theo chiều kim đồng hồ phải bằng tổng mô men của các lực làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ, quanh CÙNG một trục quay đang xét: $\Sigma M_{thuận} = \Sigma M_{nghịch}$. Với đòn bẩy đơn giản (hai lực, một trục quay), quy tắc rút gọn thành $F_1 d_1 = F_2 d_2$ — lực nhỏ đặt xa trục quay có thể cân bằng với lực lớn đặt gần trục quay, đây chính là nguyên lý của đòn bẩy giúp một người nhỏ con nâng được vật nặng. Với một thanh đồng chất (tiết diện đều), trọng lượng riêng của thanh không tập trung tại một đầu mà coi như đặt tại TRỌNG TÂM — chính giữa thanh nếu thanh đồng chất. Khi trục quay không đi qua đúng trọng tâm, trọng lượng của thanh cũng tạo ra một mô men và PHẢI được tính vào phương trình cân bằng, giống như bất kỳ lực nào khác — đây là điểm học sinh hay bỏ sót khi bài toán không nói thẳng "bỏ qua trọng lượng thanh". Khi có nhiều hơn hai lực tác dụng, quy trình giải vẫn không đổi: xác định trục quay, tính cánh tay đòn của TỪNG lực (kể cả trọng lượng thanh nếu có), phân loại chiều quay của từng mô men, rồi viết phương trình cân bằng $\Sigma M_{thuận} = \Sigma M_{nghịch}$ để giải ẩn số. Một tính chất quan trọng của vật rắn đang cân bằng: nếu tổng mô men quanh trục quay THẬT SỰ bằng 0, thì tổng mô men quanh BẤT KỲ trục nào khác (kể cả một trục tưởng tượng không có bản lề thật) cũng bằng 0. Tính chất này cho phép ta CHỌN trục quay tưởng tượng ở vị trí thuận tiện nhất để giải — thường là vị trí có một lực chưa biết đi qua, để lực đó biến mất khỏi phương trình (cánh tay đòn bằng 0) — và cũng dùng để kiểm tra lại kết quả bằng một trục khác với trục đã dùng để giải.

Ví dụ

Cân bằng đòn bẩy đơn giản

1
Một tấm ván dài 2,5 m, khối lượng không đáng kể, được đặt trên một giá đỡ (trục quay) cách một đầu 1 m. Đặt một vật nặng 60 N ở đầu ngắn (cách trục quay 1 m). Tính lực cần đặt ở đầu dài (cách trục quay 1,5 m) để tấm ván cân bằng nằm ngang.
2
Trọng lượng 60 N có cánh tay đòn $d_1 = 1$ m (đầu ngắn); lực cần tìm $F$ có cánh tay đòn $d_2 = 1{,}5$ m (đầu dài).
Trọng lượng 60 N có cánh tay đòn $d_1 = 1$ m (đầu ngắn); lực cần tìm $F$ có cánh tay đòn $d_2 = 1{,}5$ m (đầu dài).
3
$M_1 = M_2 \Rightarrow 60 \times 1 = F \times 1{,}5$ .
$M_1 = M_2 \Rightarrow 60 \times 1 = F \times 1{,}5$.
4
$F = \dfrac{60}{1{,}5} = 40$ N. Vậy cần đặt lực 40 N ở đầu dài để tấm ván cân bằng — nhỏ hơn trọng lượng 60 N ở đầu ngắn, đúng nguyên lý đòn bẩy: cánh tay đòn dài hơn thì cần lực nhỏ hơn để tạo cùng một mô men.
$F = \dfrac{60}{1{,}5} = 40$ N. Vậy cần đặt lực 40 N ở đầu dài để tấm ván cân bằng — nhỏ hơn trọng lượng 60 N ở đầu ngắn, đúng nguyên lý đòn bẩy: cánh tay đòn dài hơn thì cần lực nhỏ hơn để tạo cùng một mô men.

Ví dụ

Cân bằng thanh có tính cả trọng lượng riêng

1
Một thanh AB dài 3 m, đồng chất, trọng lượng 30 N, đặt nằm ngang trên một giá đỡ tại điểm O cách đầu A 1,2 m. Treo vào đầu A một vật nặng 45 N. Hỏi cần treo vào đầu B một vật có trọng lượng bao nhiêu để thanh cân bằng nằm ngang?
2
Thanh đồng chất nên trọng tâm ở chính giữa, cách A đúng 1,5 m — tức cách O một đoạn $1{,}5 - 1{,}2 = 0{,}3$ m, về phía B. Cánh tay đòn: vật ở A là $d_A = 1{,}2$ m; trọng lượng thanh là $d_{thanh} = 0{,}3$ m; vật ở B là $d_B = 3 - 1{,}2 = 1{,}8$ m. (1)
Thanh đồng chất nên trọng tâm ở chính giữa, cách A đúng 1,5 m — tức cách O một đoạn $1{,}5 - 1{,}2 = 0{,}3$ m, về phía B. Cánh tay đòn: vật ở A là $d_A = 1{,}2$ m; trọng lượng thanh là $d_{thanh} = 0{,}3$ m; vật ở B là $d_B = 3 - 1{,}2 = 1{,}8$ m. (1)
3
Vật ở A (phía trái O) làm thanh quay theo một chiều; trọng lượng thanh và vật ở B (cả hai đều ở phía phải O) làm thanh quay theo chiều ngược lại. (2)
4
Từ (1) và (2): $M_A = M_{thanh} + M_B \Rightarrow 45 \times 1{,}2 = 30 \times 0{,}3 + F_B \times 1{,}8 \Rightarrow 54 = 9 + 1{,}8 F_B$ .
Từ (1) và (2): $M_A = M_{thanh} + M_B \Rightarrow 45 \times 1{,}2 = 30 \times 0{,}3 + F_B \times 1{,}8 \Rightarrow 54 = 9 + 1{,}8 F_B$.
5
$1{,}8 F_B = 45 \Rightarrow F_B = 25$ N. (3)
$1{,}8 F_B = 45 \Rightarrow F_B = 25$ N. (3)
6
Từ (3), lấy trục quay mới tại A: mô men của vật ở A bằng 0 (cánh tay đòn bằng 0). Trọng lượng thanh (cách A 1,5 m) và vật ở B (cách A 3 m) cùng làm quay theo một chiều; phản lực giá đỡ tại O (cách A 1,2 m) phải cân bằng lại: $N_O \times 1{,}2 = 30 \times 1{,}5 + 25 \times 3 = 45 + 75 = 120 \Rightarrow N_O = 100$ N — đúng bằng tổng ba trọng lượng $45+30+25=100$ N, xác nhận lời giải nhất quán dù đổi trục quay.
Từ (3), lấy trục quay mới tại A: mô men của vật ở A bằng 0 (cánh tay đòn bằng 0). Trọng lượng thanh (cách A 1,5 m) và vật ở B (cách A 3 m) cùng làm quay theo một chiều; phản lực giá đỡ tại O (cách A 1,2 m) phải cân bằng lại: $N_O \times 1{,}2 = 30 \times 1{,}5 + 25 \times 3 = 45 + 75 = 120 \Rightarrow N_O = 100$ N — đúng bằng tổng ba trọng lượng $45+30+25=100$ N, xác nhận lời giải nhất quán dù đổi trục quay.
7
Vậy cần treo vào đầu B một vật nặng 25 N. Nếu bỏ sót mô men do trọng lượng thanh (coi thanh không đáng kể), kết quả sẽ sai thành $F_B = 45 \times 1{,}2/1{,}8 = 30$ N — sai lệch đáng kể so với đáp số đúng.
Vậy cần treo vào đầu B một vật nặng 25 N. Nếu bỏ sót mô men do trọng lượng thanh (coi thanh không đáng kể), kết quả sẽ sai thành $F_B = 45 \times 1{,}2/1{,}8 = 30$ N — sai lệch đáng kể so với đáp số đúng.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm hay gặp nhất: quên tính mô men do trọng lượng của chính vật rắn (thanh, tấm ván) khi trục quay không đi qua trọng tâm của nó. Một sai lầm khác là nhầm cánh tay đòn với chiều dài toàn phần của vật — cánh tay đòn luôn được đo từ TRỤC QUAY, không phải từ đầu vật.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

$M = F \cdot d$ với $d$ là cánh tay đòn đo từ trục quay. Quy tắc mô men: $\Sigma M_{thuận} = \Sigma M_{nghịch}$ . Luôn tính cả mô men do trọng lượng riêng của vật rắn nếu trục quay không đi qua trọng tâm của nó.

$M = F \cdot d$ với $d$ là cánh tay đòn đo từ trục quay. Quy tắc mô men: $\Sigma M_{thuận} = \Sigma M_{nghịch}$. Luôn tính cả mô men do trọng lượng riêng của vật rắn nếu trục quay không đi qua trọng tâm của nó.

Chương cuối cùng khép lại chương trình Vật lí 10 với biến dạng đàn hồi của vật rắn, rồi kết thúc bằng một bài kiểm tra tổng hợp kết hợp nhiều chiến lược đã ôn tập trong suốt khoá học.