Bài học

Điều kiện cộng hưởng và đồ thị biên độ — tần số

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu được điều kiện xảy ra cộng hưởng ( $f = f_0$ ), đọc và giải thích được đồ thị biên độ dao động cưỡng bức theo tần số ngoại lực với đỉnh cực đại tại tần số riêng, và xác định được khi nào một hệ có nguy cơ cộng hưởng.

Sau bài này, em phát biểu được điều kiện xảy ra cộng hưởng ($f = f_0$), đọc và giải thích được đồ thị biên độ dao động cưỡng bức theo tần số ngoại lực với đỉnh cực đại tại tần số riêng, và xác định được khi nào một hệ có nguy cơ cộng hưởng.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã nêu quy luật: biên độ dao động cưỡng bức ổn định càng lớn khi tần số ngoại lực $f$ càng gần tần số riêng $f_0$ của hệ. Cộng hưởng chính là trường hợp đặc biệt và quan trọng nhất của quy luật đó — khi $f$ đúng bằng $f_0$ . Cũng cần nhớ lại giai đoạn chuyển tiếp của bài trước: ngay khi ngoại lực bắt đầu tác dụng, biên độ chưa đạt giá trị ổn định ngay lập tức mà cần một khoảng thời gian để tích lũy dần lên — điều này càng rõ rệt hơn trong trường hợp cộng hưởng, khi biên độ có thể mất vài giây đến vài chục giây mới đạt tới giá trị cực đại, tùy vào lực cản của môi trường. Chính vì cần thời gian để tích lũy, một ngoại lực chỉ tác dụng trong thời gian rất ngắn — dù đúng tần số $f_0$ — cũng chưa đủ để gây ra biên độ nguy hiểm; cộng hưởng thực sự đáng lo ngại khi ngoại lực đúng tần số $f_0$ tác dụng liên tục, kéo dài.

Bài trước đã nêu quy luật: biên độ dao động cưỡng bức ổn định càng lớn khi tần số ngoại lực $f$ càng gần tần số riêng $f_0$ của hệ. Cộng hưởng chính là trường hợp đặc biệt và quan trọng nhất của quy luật đó — khi $f$ đúng bằng $f_0$. Cũng cần nhớ lại giai đoạn chuyển tiếp của bài trước: ngay khi ngoại lực bắt đầu tác dụng, biên độ chưa đạt giá trị ổn định ngay lập tức mà cần một khoảng thời gian để tích lũy dần lên — điều này càng rõ rệt hơn trong trường hợp cộng hưởng, khi biên độ có thể mất vài giây đến vài chục giây mới đạt tới giá trị cực đại, tùy vào lực cản của môi trường. Chính vì cần thời gian để tích lũy, một ngoại lực chỉ tác dụng trong thời gian rất ngắn — dù đúng tần số $f_0$ — cũng chưa đủ để gây ra biên độ nguy hiểm; cộng hưởng thực sự đáng lo ngại khi ngoại lực đúng tần số $f_0$ tác dụng liên tục, kéo dài.

Khởi động

Vì sao một chiếc ly thủy tinh có thể rung mạnh, thậm chí vỡ tan khi một ca sĩ hát đúng một nốt nhạc nào đó, dù giọng hát không hề chạm vào ly? Hãy đoán nguyên nhân trước khi đọc tiếp.

Kiến thức trọng tâm

Cộng hưởng là hiện tượng biên độ dao động cưỡng bức tăng đến giá trị cực đại khi tần số $f$ của ngoại lực bằng đúng tần số riêng $f_0$ của hệ. Vì sao lại như vậy? Khi $f = f_0$ , ngoại lực luôn 'đẩy đúng nhịp' với dao động riêng của hệ — mỗi chu kì, ngoại lực truyền thêm năng lượng đúng vào lúc hệ đang chuyển động theo đúng chiều của lực, nên năng lượng truyền vào hệ là lớn nhất và không bị triệt tiêu lẫn nhau giữa các chu kì. Nhờ vậy, biên độ tích lũy dần lên mức cao nhất mà lực cản của môi trường cho phép — lực cản càng nhỏ, biên độ cộng hưởng càng lớn.

Nếu biểu diễn biên độ dao động cưỡng bức ổn định theo tần số ngoại lực trên một đồ thị, ta được một đường cong có dạng một đỉnh nhọn: khi $f$ cách xa $f_0$ về hai phía, biên độ nhỏ; khi $f$ tiến gần $f_0$ , biên độ tăng dần; và đạt giá trị lớn nhất đúng tại $f = f_0$ . Đây là hình dạng đặc trưng của mọi hiện tượng cộng hưởng, dù là cộng hưởng cơ học, âm học hay các dạng cộng hưởng khác.

Cộng hưởng có thể rất nguy hiểm với các công trình xây dựng. Một cây cầu có tần số dao động riêng $f_0 = 0{,}5$ Hz — nếu một đoàn người hành quân bước đều đúng tần số $0{,}5$ Hz, bước chân đóng vai trò như một ngoại lực tuần hoàn tác dụng đúng tần số riêng của cầu, biên độ rung của cầu sẽ tăng dần đến mức nguy hiểm. Đây chính là lí do khi đi qua cầu, bộ đội thường được lệnh 'phá bước' — đi không đều nhịp — chứ không bước đều theo hàng.

Quay lại câu hỏi mở đầu về chiếc ly thủy tinh: mỗi chiếc ly có một tần số dao động riêng của thành ly, thường nghe được như một 'nốt nhạc' khi gõ nhẹ vào ly. Nếu giọng hát của ca sĩ tạo ra sóng âm đúng tần số đó, thành ly sẽ dao động cưỡng bức với tần số bằng tần số riêng của nó — chính là điều kiện cộng hưởng — nên biên độ dao động của thành ly tăng dần lên rất lớn dù giọng hát không hề chạm vào ly. Nếu biên độ vượt quá giới hạn đàn hồi của thủy tinh, ly sẽ vỡ — một minh chứng rất trực quan cho việc cộng hưởng không cần một lực tiếp xúc mạnh, chỉ cần đúng tần số.

**Cộng hưởng** là hiện tượng biên độ dao động cưỡng bức tăng đến giá trị cực đại khi tần số $f$ của ngoại lực bằng đúng tần số riêng $f_0$ của hệ. Vì sao lại như vậy? Khi $f = f_0$, ngoại lực luôn 'đẩy đúng nhịp' với dao động riêng của hệ — mỗi chu kì, ngoại lực truyền thêm năng lượng đúng vào lúc hệ đang chuyển động theo đúng chiều của lực, nên năng lượng truyền vào hệ là lớn nhất và không bị triệt tiêu lẫn nhau giữa các chu kì. Nhờ vậy, biên độ tích lũy dần lên mức cao nhất mà lực cản của môi trường cho phép — lực cản càng nhỏ, biên độ cộng hưởng càng lớn. Nếu biểu diễn biên độ dao động cưỡng bức ổn định theo tần số ngoại lực trên một đồ thị, ta được một đường cong có dạng một đỉnh nhọn: khi $f$ cách xa $f_0$ về hai phía, biên độ nhỏ; khi $f$ tiến gần $f_0$, biên độ tăng dần; và đạt giá trị lớn nhất đúng tại $f = f_0$. Đây là hình dạng đặc trưng của mọi hiện tượng cộng hưởng, dù là cộng hưởng cơ học, âm học hay các dạng cộng hưởng khác. Cộng hưởng có thể rất nguy hiểm với các công trình xây dựng. Một cây cầu có tần số dao động riêng $f_0 = 0{,}5$ Hz — nếu một đoàn người hành quân bước đều đúng tần số $0{,}5$ Hz, bước chân đóng vai trò như một ngoại lực tuần hoàn tác dụng đúng tần số riêng của cầu, biên độ rung của cầu sẽ tăng dần đến mức nguy hiểm. Đây chính là lí do khi đi qua cầu, bộ đội thường được lệnh 'phá bước' — đi không đều nhịp — chứ không bước đều theo hàng. Quay lại câu hỏi mở đầu về chiếc ly thủy tinh: mỗi chiếc ly có một tần số dao động riêng của thành ly, thường nghe được như một 'nốt nhạc' khi gõ nhẹ vào ly. Nếu giọng hát của ca sĩ tạo ra sóng âm đúng tần số đó, thành ly sẽ dao động cưỡng bức với tần số bằng tần số riêng của nó — chính là điều kiện cộng hưởng — nên biên độ dao động của thành ly tăng dần lên rất lớn dù giọng hát không hề chạm vào ly. Nếu biên độ vượt quá giới hạn đàn hồi của thủy tinh, ly sẽ vỡ — một minh chứng rất trực quan cho việc cộng hưởng không cần một lực tiếp xúc mạnh, chỉ cần đúng tần số.

Khi

f

càng gần

f_0 = 0{,}5

Hz, biên độ

A

càng lớn; giá trị lớn nhất đạt được đúng tại

f = f_0

— đó là điều kiện cộng hưởng.Khi $f$ càng gần $f_0 = 0{,}5$ Hz, biên độ $A$ càng lớn; giá trị lớn nhất đạt được đúng tại $f = f_0$ — đó là điều kiện cộng hưởng.

Ví dụ

Giải thích lệnh phá bước khi qua cầu

1
Một cây cầu có tần số dao động riêng $f_0 = 0{,}5$ Hz. Một đoàn bộ đội hành quân qua cầu, bước đều với tần số bước chân đúng $0{,}5$ Hz. a) Cầu có xảy ra cộng hưởng không? b) Vì sao chỉ huy thường hô 'phá bước' khi qua cầu?
Một cây cầu có tần số dao động riêng $f_0 = 0{,}5$ Hz. Một đoàn bộ đội hành quân qua cầu, bước đều với tần số bước chân đúng $0{,}5$ Hz. a) Cầu có xảy ra cộng hưởng không? b) Vì sao chỉ huy thường hô 'phá bước' khi qua cầu?
2
Tần số bước chân (đóng vai trò ngoại lực tuần hoàn tác dụng lên cầu) là $f = 0{,}5$ Hz, đúng bằng $f_0 = 0{,}5$ Hz của cầu.
Tần số bước chân (đóng vai trò ngoại lực tuần hoàn tác dụng lên cầu) là $f = 0{,}5$ Hz, đúng bằng $f_0 = 0{,}5$ Hz của cầu.
3
Vì $f = f_0$ nên xảy ra cộng hưởng: biên độ dao động (rung) của cầu sẽ tăng dần lên rất lớn theo thời gian hành quân, có thể vượt quá giới hạn chịu đựng của kết cấu, gây nguy hiểm cho cầu.
Vì $f = f_0$ nên xảy ra cộng hưởng: biên độ dao động (rung) của cầu sẽ tăng dần lên rất lớn theo thời gian hành quân, có thể vượt quá giới hạn chịu đựng của kết cấu, gây nguy hiểm cho cầu.
4
Khi các chiến sĩ 'phá bước' — không bước đều cùng nhịp — ngoại lực tác dụng lên cầu không còn là một lực tuần hoàn đơn tần số $0{,}5$ Hz nữa, nên không còn thỏa điều kiện cộng hưởng và biên độ rung của cầu không tăng vọt.
Khi các chiến sĩ 'phá bước' — không bước đều cùng nhịp — ngoại lực tác dụng lên cầu không còn là một lực tuần hoàn đơn tần số $0{,}5$ Hz nữa, nên không còn thỏa điều kiện cộng hưởng và biên độ rung của cầu không tăng vọt.
5
Vậy có nguy cơ cộng hưởng nếu bước đều đúng $0{,}5$ Hz; lệnh 'phá bước' nhằm phá vỡ điều kiện $f = f_0$ , tránh cộng hưởng gây nguy hiểm cho cầu.
Vậy có nguy cơ cộng hưởng nếu bước đều đúng $0{,}5$ Hz; lệnh 'phá bước' nhằm phá vỡ điều kiện $f = f_0$, tránh cộng hưởng gây nguy hiểm cho cầu.

Ví dụ

Dự đoán nguy cơ cộng hưởng từ bảng số liệu (dạng đề kiểm tra)

1
Bảng dưới cho tần số riêng $f_0$ của ba hệ và tần số $f$ của ngoại lực tác dụng lên chúng: Hệ 1 ( $f_0=2$ Hz, $f=2$ Hz); Hệ 2 ( $f_0=3$ Hz, $f=2{,}5$ Hz); Hệ 3 ( $f_0=1$ Hz, $f=1$ Hz). Hệ nào có nguy cơ cộng hưởng, hệ nào không?
Bảng dưới cho tần số riêng $f_0$ của ba hệ và tần số $f$ của ngoại lực tác dụng lên chúng: Hệ 1 ($f_0=2$ Hz, $f=2$ Hz); Hệ 2 ($f_0=3$ Hz, $f=2{,}5$ Hz); Hệ 3 ($f_0=1$ Hz, $f=1$ Hz). Hệ nào có nguy cơ cộng hưởng, hệ nào không?
2
Hệ 1: $|2-2|=0$ ; Hệ 2: $|2{,}5-3|=0{,}5$ Hz; Hệ 3: $|1-1|=0$ .
Hệ 1: $|2-2|=0$; Hệ 2: $|2{,}5-3|=0{,}5$ Hz; Hệ 3: $|1-1|=0$.
3
Hệ 1 và Hệ 3 có $f$ đúng bằng $f_0$ (độ chênh lệch bằng 0) nên cả hai đều thỏa điều kiện cộng hưởng, biên độ đạt cực đại. Hệ 2 có độ chênh lệch $0{,}5$ Hz khác 0 nên không cộng hưởng, biên độ nhỏ hơn nhiều so với khi cộng hưởng.
Hệ 1 và Hệ 3 có $f$ đúng bằng $f_0$ (độ chênh lệch bằng 0) nên cả hai đều thỏa điều kiện cộng hưởng, biên độ đạt cực đại. Hệ 2 có độ chênh lệch $0{,}5$ Hz khác 0 nên không cộng hưởng, biên độ nhỏ hơn nhiều so với khi cộng hưởng.
4
Vậy Hệ 1 và Hệ 3 có nguy cơ cộng hưởng; Hệ 2 không xảy ra cộng hưởng.

Ví dụ

Đọc giá trị tần số riêng từ đồ thị biên độ — tần số

1
Một đồ thị thực nghiệm cho biên độ dao động cưỡng bức ổn định của một hệ đạt giá trị lớn nhất $9$ cm tại tần số ngoại lực $f = 2{,}4$ Hz, và giảm dần khi $f$ lệch khỏi giá trị này về hai phía. Tần số riêng của hệ là bao nhiêu?
Một đồ thị thực nghiệm cho biên độ dao động cưỡng bức ổn định của một hệ đạt giá trị lớn nhất $9$ cm tại tần số ngoại lực $f = 2{,}4$ Hz, và giảm dần khi $f$ lệch khỏi giá trị này về hai phía. Tần số riêng của hệ là bao nhiêu?
2
Biên độ dao động cưỡng bức đạt cực đại đúng tại tần số ngoại lực bằng tần số riêng của hệ, $f = f_0$ .
Biên độ dao động cưỡng bức đạt cực đại đúng tại tần số ngoại lực bằng tần số riêng của hệ, $f = f_0$.
3
Vì đồ thị đạt cực đại tại $f = 2{,}4$ Hz, nên tần số riêng của hệ là $f_0 = 2{,}4$ Hz — đọc trực tiếp từ vị trí đỉnh của đồ thị, không cần tính toán thêm.
Vì đồ thị đạt cực đại tại $f = 2{,}4$ Hz, nên tần số riêng của hệ là $f_0 = 2{,}4$ Hz — đọc trực tiếp từ vị trí đỉnh của đồ thị, không cần tính toán thêm.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp: nghĩ rằng cộng hưởng chỉ xảy ra khi ngoại lực rất mạnh. Thực ra ngay cả một ngoại lực nhỏ (như bước chân, giọng hát) cũng có thể gây biên độ rất lớn nếu đúng điều kiện $f = f_0$ và lực cản của môi trường nhỏ. Độ lớn của ngoại lực không phải là điều kiện của cộng hưởng — điều kiện chỉ phụ thuộc vào tần số.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Cộng hưởng xảy ra khi $f = f_0$ : biên độ dao động cưỡng bức đạt cực đại. Trên đồ thị biên độ theo tần số ngoại lực, đó là đỉnh nhọn của đường cong, đúng tại $f_0$ .

Cộng hưởng xảy ra khi $f = f_0$: biên độ dao động cưỡng bức đạt cực đại. Trên đồ thị biên độ theo tần số ngoại lực, đó là đỉnh nhọn của đường cong, đúng tại $f_0$.

Bài tiếp theo tìm hiểu thêm ví dụ thực tế về tác hại của cộng hưởng — như sự sụp đổ của một cây cầu do gió thổi đều — và cách kĩ sư phòng tránh cộng hưởng khi thiết kế công trình.