Bài học

Bất phương trình bậc hai chứa tham số

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em dùng điều kiện về hệ số $a$ và về $\Delta$ để tìm giá trị của tham số $m$ sao cho một tam thức (hoặc phương trình) bậc hai thỏa một yêu cầu cho trước — luôn dương, luôn không âm, hoặc có nghiệm.

Kiến thức nền cần nhớ

Đây không phải kỹ thuật mới: Bài 1 đã cho biết chính xác khi nào $f(x)=ax^2+bx+c$ cùng dấu với $a$ tại mọi $x$ (khi $\Delta<0$ ), và lớp 9 đã cho biết khi nào một phương trình bậc hai có nghiệm ( $\Delta\ge0$ , prior-grade review). Bài này chỉ đổi vai của ẩn: thay vì hỏi $f(x)$ dương ở đâu theo $x$ , đề bài cho sẵn yêu cầu về dấu của $f(x)$ và hỏi ngược lại — tham số $m$ (thường nằm trong $a,b,c$ ) phải nhận giá trị nào.

Đây không phải kỹ thuật mới: Bài 1 đã cho biết chính xác khi nào $f(x)=ax^2+bx+c$ cùng dấu với $a$ tại mọi $x$ (khi $\Delta<0$), và lớp 9 đã cho biết khi nào một phương trình bậc hai có nghiệm ($\Delta\ge0$, prior-grade review). Bài này chỉ đổi vai của ẩn: thay vì hỏi $f(x)$ dương ở đâu theo $x$, đề bài cho sẵn yêu cầu về dấu của $f(x)$ và hỏi ngược lại — tham số $m$ (thường nằm trong $a,b,c$) phải nhận giá trị nào.

Lưu ý trước khi bắt đầu

Khi tam thức chứa tham số $m$ ở đúng hệ số bậc hai — chẳng hạn $(m-1)x^2+\dots$ — hệ số $a=m-1$ có thể bằng $0$ tùy giá trị $m$ . Định lí dấu tam thức chỉ áp dụng khi $a\ne0$ . Nếu quên xét riêng trường hợp $a=0$ , em có thể bỏ sót đúng giá trị $m$ làm bài toán đơn giản hẳn đi.

Khi tam thức chứa tham số $m$ ở đúng hệ số bậc hai — chẳng hạn $(m-1)x^2+\dots$ — hệ số $a=m-1$ có thể bằng $0$ tùy giá trị $m$. Định lí dấu tam thức chỉ áp dụng khi $a\ne0$. Nếu quên xét riêng trường hợp $a=0$, em có thể bỏ sót đúng giá trị $m$ làm bài toán đơn giản hẳn đi.

Kiến thức trọng tâm

Bốn tình huống chuẩn thường gặp, tất cả suy trực tiếp từ định lí dấu tam thức của Bài 1: $f(x)>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $a>0$ và $\Delta<0$ ; $f(x)\ge0$ với mọi $x$ khi và chỉ khi $a>0$ và $\Delta\le0$ ; $f(x)<0$ với mọi $x$ khi và chỉ khi $a<0$ và $\Delta<0$ ; và phương trình $ax^2+bx+c=0$ có nghiệm khi và chỉ khi $a\ne0$ và $\Delta\ge0$ (điều kiện này thực ra là kiến thức lớp 9, chỉ được nhắc lại và đặt cạnh ba tình huống trên để em thấy rõ chúng cùng một họ).

Bốn tình huống chuẩn thường gặp, tất cả suy trực tiếp từ định lí dấu tam thức của Bài 1: $f(x)>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $a>0$ và $\Delta<0$; $f(x)\ge0$ với mọi $x$ khi và chỉ khi $a>0$ và $\Delta\le0$; $f(x)<0$ với mọi $x$ khi và chỉ khi $a<0$ và $\Delta<0$; và phương trình $ax^2+bx+c=0$ có nghiệm khi và chỉ khi $a\ne0$ và $\Delta\ge0$ (điều kiện này thực ra là kiến thức lớp 9, chỉ được nhắc lại và đặt cạnh ba tình huống trên để em thấy rõ chúng cùng một họ).

Điều kiện $\Delta\lessgtr0$ được viết theo đúng biến $m$ , nên việc "tìm $m$ " chính là giải MỘT bất phương trình bậc hai khác — lần này ẩn là $m$ chứ không phải $x$ — bằng đúng kỹ thuật đã học ở Bài 2. Đây là lý do bài toán tham số không hề khó hơn những gì em đã biết, chỉ đòi hỏi thực hiện đúng thứ tự: viết điều kiện theo $m$ trước, rồi mới giải bất phương trình đó.

Điều kiện $\Delta\lessgtr0$ được viết theo đúng biến $m$, nên việc "tìm $m$" chính là giải MỘT bất phương trình bậc hai khác — lần này ẩn là $m$ chứ không phải $x$ — bằng đúng kỹ thuật đã học ở Bài 2. Đây là lý do bài toán tham số không hề khó hơn những gì em đã biết, chỉ đòi hỏi thực hiện đúng thứ tự: viết điều kiện theo $m$ trước, rồi mới giải bất phương trình đó.

Một điểm cần phân biệt rõ: điều kiện $\Delta<0$ (nghiêm ngặt) dùng cho yêu cầu "luôn dương" hoặc "luôn âm", còn $\Delta\le0$ dùng cho yêu cầu "luôn không âm" hoặc "luôn không dương". Sự khác biệt nằm ở việc tam thức có được PHÉP chạm $0$ tại một điểm hay không — khi $\Delta=0$ , tam thức chạm $0$ đúng tại nghiệm kép nhưng không đổi dấu, nên vẫn thỏa yêu cầu "không âm" dù không thỏa "dương nghiêm ngặt".

Một điểm cần phân biệt rõ: điều kiện $\Delta<0$ (nghiêm ngặt) dùng cho yêu cầu "luôn dương" hoặc "luôn âm", còn $\Delta\le0$ dùng cho yêu cầu "luôn không âm" hoặc "luôn không dương". Sự khác biệt nằm ở việc tam thức có được PHÉP chạm $0$ tại một điểm hay không — khi $\Delta=0$, tam thức chạm $0$ đúng tại nghiệm kép nhưng không đổi dấu, nên vẫn thỏa yêu cầu "không âm" dù không thỏa "dương nghiêm ngặt".

Vì sao trường hợp $a<0$ lại đảo ngược mọi điều kiện? Lập luận vẫn xuất phát từ đúng định lí ở Bài 1: khi $a<0$ , tam thức cùng dấu với $a$ (tức âm) tại mọi $x$ đúng khi $\Delta<0$ — không có gì mới, chỉ là $a$ mang giá trị âm nên "cùng dấu $a$ " bây giờ có nghĩa là "luôn âm" thay vì "luôn dương". Vì vậy, thay vì học thuộc bốn tình huống như bốn công thức tách rời, em chỉ cần nhớ ĐÚNG MỘT định lí của Bài 1 và áp dụng nó cho yêu cầu cụ thể của từng đề — bốn tình huống chỉ là bốn cách diễn đạt khác nhau của cùng một sự thật.

Vì sao trường hợp $a<0$ lại đảo ngược mọi điều kiện? Lập luận vẫn xuất phát từ đúng định lí ở Bài 1: khi $a<0$, tam thức cùng dấu với $a$ (tức âm) tại mọi $x$ đúng khi $\Delta<0$ — không có gì mới, chỉ là $a$ mang giá trị âm nên "cùng dấu $a$" bây giờ có nghĩa là "luôn âm" thay vì "luôn dương". Vì vậy, thay vì học thuộc bốn tình huống như bốn công thức tách rời, em chỉ cần nhớ ĐÚNG MỘT định lí của Bài 1 và áp dụng nó cho yêu cầu cụ thể của từng đề — bốn tình huống chỉ là bốn cách diễn đạt khác nhau của cùng một sự thật.

m = 0 nằm trong khoảng (−1;2) nên đồ thị không chạm Ox; m = −2 và m = 3 nằm ngoài khoảng đó nên đồ thị cắt Ox tại hai điểm, đúng như điều kiện Δ tìm được ở Ví dụ 1.

Lần này trục số không biểu diễn x mà biểu diễn chính tham số m — cùng một công cụ, áp dụng cho một ẩn khác.

Ví dụ

Tìm m để tam thức luôn dương

1
Tìm $m$ để $f(x)=x^2-2mx+m+2>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ .
Tìm $m$ để $f(x)=x^2-2mx+m+2>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$.
2
$a=1>0$ với mọi $m$ — không phụ thuộc $m$ , nên không cần xét trường hợp $a=0$ .
$a=1>0$ với mọi $m$ — không phụ thuộc $m$, nên không cần xét trường hợp $a=0$.
3
Cần $\Delta<0$ . Ta có $\Delta=(-2m)^2-4\times1\times(m+2)=4m^2-4m-8$ .
Cần $\Delta<0$. Ta có $\Delta=(-2m)^2-4\times1\times(m+2)=4m^2-4m-8$.
4
$4m^2-4m-8<0 \iff m^2-m-2<0$ . Tam thức $m^2-m-2$ có nghiệm $m=2$ và $m=-1$ , hệ số bậc hai bằng $1>0$ , nên theo đúng định lí dấu tam thức (Bài 1): $m^2-m-2<0 \iff -1<m<2$ .
$4m^2-4m-8<0 \iff m^2-m-2<0$. Tam thức $m^2-m-2$ có nghiệm $m=2$ và $m=-1$, hệ số bậc hai bằng $1>0$, nên theo đúng định lí dấu tam thức (Bài 1): $m^2-m-2<0 \iff -1<m<2$.
5
Vậy $m\in(-1;2)$ .
Vậy $m\in(-1;2)$.
6
$m=0$ (trong khoảng): $f(x)=x^2+2\ge2>0$ , đúng. $m=3$ (ngoài khoảng): $f(x)=x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$ , có nghiệm nên KHÔNG luôn dương, đúng như bị loại.
$m=0$ (trong khoảng): $f(x)=x^2+2\ge2>0$, đúng. $m=3$ (ngoài khoảng): $f(x)=x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$, có nghiệm nên KHÔNG luôn dương, đúng như bị loại.

Ví dụ

Tìm m khi hệ số bậc hai có thể triệt tiêu

1
Tìm $m$ để $f(x)=(m-1)x^2+2(m-1)x+m+3>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ .
Tìm $m$ để $f(x)=(m-1)x^2+2(m-1)x+m+3>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$.
2
Khi $m=1$ , hệ số bậc hai $a=m-1=0$ , biểu thức suy biến thành $f(x)=0\times x^2+0\times x+4=4$ , một hằng số dương với mọi $x$ . Vậy $m=1$ CŨNG thỏa yêu cầu, dù không còn là tam thức bậc hai.
Khi $m=1$, hệ số bậc hai $a=m-1=0$, biểu thức suy biến thành $f(x)=0\times x^2+0\times x+4=4$, một hằng số dương với mọi $x$. Vậy $m=1$ CŨNG thỏa yêu cầu, dù không còn là tam thức bậc hai.
3
Với $m\ne1$ , cần $a=m-1>0$ và $\Delta<0$ . Ta có $\Delta=[2(m-1)]^2-4(m-1)(m+3)=4(m-1)[(m-1)-(m+3)]=4(m-1)(-4)=-16(m-1)$ . Điều kiện $\Delta<0 \iff -16(m-1)<0 \iff m>1$ — đúng bằng điều kiện $a>0$ , nên cả hai điều kiện gộp lại chỉ còn $m>1$ .
Với $m\ne1$, cần $a=m-1>0$ và $\Delta<0$. Ta có $\Delta=[2(m-1)]^2-4(m-1)(m+3)=4(m-1)[(m-1)-(m+3)]=4(m-1)(-4)=-16(m-1)$. Điều kiện $\Delta<0 \iff -16(m-1)<0 \iff m>1$ — đúng bằng điều kiện $a>0$, nên cả hai điều kiện gộp lại chỉ còn $m>1$.
4
Gộp cả hai trường hợp — $m=1$ (từ bước xét riêng) và $m>1$ (từ trường hợp $a\ne0$ ) — ta được $m\ge1$ .
Gộp cả hai trường hợp — $m=1$ (từ bước xét riêng) và $m>1$ (từ trường hợp $a\ne0$) — ta được $m\ge1$.
5
$m=1$ : $f(x)=4>0$ mọi $x$ , đúng. $m=2$ : $a=1>0$ , $f(x)=x^2+2x+5$ có $\Delta=4-20=-16<0$ nên luôn dương, đúng. $m=0{,}5$ (bị loại): $a=-0{,}5<0$ , một parabol quay bề lõm xuống không thể luôn dương, đúng như bị loại.
$m=1$: $f(x)=4>0$ mọi $x$, đúng. $m=2$: $a=1>0$, $f(x)=x^2+2x+5$ có $\Delta=4-20=-16<0$ nên luôn dương, đúng. $m=0{,}5$ (bị loại): $a=-0{,}5<0$, một parabol quay bề lõm xuống không thể luôn dương, đúng như bị loại.

Ví dụ

Tìm m để phương trình có nghiệm (ôn lớp 9)

1
Tìm $m$ để phương trình $x^2-2(m+1)x+m^2+2=0$ có nghiệm.
Tìm $m$ để phương trình $x^2-2(m+1)x+m^2+2=0$ có nghiệm.
2
Phương trình bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta'\ge0$ (prior-grade review, dùng $\Delta'$ vì $b=-2(m+1)$ chẵn theo $2$ , với $b'=-(m+1)$ , tính gọn hơn).
Phương trình bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta'\ge0$ (prior-grade review, dùng $\Delta'$ vì $b=-2(m+1)$ chẵn theo $2$, với $b'=-(m+1)$, tính gọn hơn).
3
$\Delta'=(m+1)^2-(m^2+2)=m^2+2m+1-m^2-2=2m-1$ .
$\Delta'=(m+1)^2-(m^2+2)=m^2+2m+1-m^2-2=2m-1$.
4
Cần $2m-1\ge0 \iff m\ge\dfrac{1}{2}$ .
Cần $2m-1\ge0 \iff m\ge\dfrac{1}{2}$.
5
Vậy $m\ge\dfrac{1}{2}$ .
Vậy $m\ge\dfrac{1}{2}$.
6
$m=0{,}5$ : $\Delta'=2(0{,}5)-1=0$ , phương trình có nghiệm kép — đúng biên. $m=0$ (bị loại): $\Delta'=-1<0$ , vô nghiệm, đúng như bị loại.
$m=0{,}5$: $\Delta'=2(0{,}5)-1=0$, phương trình có nghiệm kép — đúng biên. $m=0$ (bị loại): $\Delta'=-1<0$, vô nghiệm, đúng như bị loại.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm nghiêm trọng nhất ở dạng bài này là quên xét trường hợp hệ số bậc hai $a=0$ khi tham số $m$ xuất hiện ngay tại hệ số đó — bỏ sót trường hợp này có thể làm mất một giá trị $m$ hợp lệ (như $m=1$ ở Ví dụ 2) hoặc tệ hơn, vô tình coi một biểu thức không còn là tam thức là tam thức. Sai lầm khác là lẫn lộn điều kiện $\Delta<0$ (dùng cho dấu $>$ hoặc $<$ nghiêm ngặt) với $\Delta\le0$ (dùng cho dấu $\ge$ hoặc $\le$ ) — chỉ cần đề đổi từ "luôn dương" sang "luôn không âm" là điều kiện $\Delta$ cũng phải đổi theo. Một sai lầm thứ ba, nhẹ hơn nhưng vẫn hay gặp, là quên kiểm tra lại đáp số bằng cách thay một giá trị $m$ cụ thể — bước kiểm tra này thường lộ ngay lỗi tính $\Delta$ hay lỗi khai triển trước khi bài bị chấm sai.

Sai lầm nghiêm trọng nhất ở dạng bài này là quên xét trường hợp hệ số bậc hai $a=0$ khi tham số $m$ xuất hiện ngay tại hệ số đó — bỏ sót trường hợp này có thể làm mất một giá trị $m$ hợp lệ (như $m=1$ ở Ví dụ 2) hoặc tệ hơn, vô tình coi một biểu thức không còn là tam thức là tam thức. Sai lầm khác là lẫn lộn điều kiện $\Delta<0$ (dùng cho dấu $>$ hoặc $<$ nghiêm ngặt) với $\Delta\le0$ (dùng cho dấu $\ge$ hoặc $\le$) — chỉ cần đề đổi từ "luôn dương" sang "luôn không âm" là điều kiện $\Delta$ cũng phải đổi theo. Một sai lầm thứ ba, nhẹ hơn nhưng vẫn hay gặp, là quên kiểm tra lại đáp số bằng cách thay một giá trị $m$ cụ thể — bước kiểm tra này thường lộ ngay lỗi tính $\Delta$ hay lỗi khai triển trước khi bài bị chấm sai.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Bài toán tham số dùng lại đúng định lí dấu tam thức: viết điều kiện về $a$ và về $\Delta$ theo yêu cầu của đề (nhớ phân biệt $\Delta<0$ với $\Delta\le0$ ), rồi giải bất phương trình đó theo $m$ như đã học ở Bài 2. Khi tham số nằm ở hệ số bậc hai, luôn xét riêng trường hợp $a=0$ trước khi áp dụng điều kiện $\Delta$ , và luôn gộp kết quả của trường hợp $a=0$ (nếu thỏa) với kết quả của trường hợp $a\ne0$ để có đáp số đầy đủ.

Bài toán tham số dùng lại đúng định lí dấu tam thức: viết điều kiện về $a$ và về $\Delta$ theo yêu cầu của đề (nhớ phân biệt $\Delta<0$ với $\Delta\le0$), rồi giải bất phương trình đó theo $m$ như đã học ở Bài 2. Khi tham số nằm ở hệ số bậc hai, luôn xét riêng trường hợp $a=0$ trước khi áp dụng điều kiện $\Delta$, và luôn gộp kết quả của trường hợp $a=0$ (nếu thỏa) với kết quả của trường hợp $a\ne0$ để có đáp số đầy đủ.

Bài ôn tập cuối khoá sẽ ghép cả năm kỹ thuật của khoá học — xét dấu, giải bất phương trình bậc hai, bất phương trình tích, phân thức, và bài toán tham số — vào những bài toán tổng hợp đúng dạng đề kiểm tra cuối kỳ.