Bài học

Bất phương trình phân thức

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải được bất phương trình phân thức bằng cách xét dấu tử số và mẫu số riêng biệt, đồng thời loại đúng những giá trị làm mẫu số bằng $0$ ra khỏi tập nghiệm.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước cho em kỹ thuật lập bảng xét dấu cho một tích nhiều nhân tử (same-grade bridge). Bất phương trình phân thức gần như dùng lại y hệt kỹ thuật đó, với đúng một khác biệt cần nhớ: biểu thức không xác định tại nghiệm của mẫu số, nên điểm đó luôn bị loại khỏi tập nghiệm, bất kể đề bài dùng dấu gì.

Khởi động

Với phương trình, em có thể nhân chéo hai vế để khử mẫu. Với bất phương trình có mẫu chứa biến, phép nhân chéo có còn an toàn không, khi em còn chưa biết mẫu số dương hay âm tại giá trị đang xét?

Kiến thức trọng tâm

Không nhân chéo trực tiếp — vì nhân hai vế bất phương trình với một biểu thức ÂM sẽ làm đổi chiều bất đẳng thức, mà dấu của mẫu số ở đây phụ thuộc chính $x$ , chưa biết trước. Cách an toàn là đưa bất phương trình về dạng $\dfrac{P(x)}{Q(x)} \; \square \; 0$ (với $\square$ là $>,<,\ge$ hoặc $\le$ ), rồi xét dấu của thương đúng như xét dấu một tích: tìm nghiệm của tử số $P(x)$ và nghiệm của mẫu số $Q(x)$ , gộp chung vào một trục số, và dấu của thương tại mỗi khoảng bằng dấu của tử nhân với dấu của mẫu — hệt quy tắc dấu của một phép chia.

Không nhân chéo trực tiếp — vì nhân hai vế bất phương trình với một biểu thức ÂM sẽ làm đổi chiều bất đẳng thức, mà dấu của mẫu số ở đây phụ thuộc chính $x$, chưa biết trước. Cách an toàn là đưa bất phương trình về dạng $\dfrac{P(x)}{Q(x)} \; \square \; 0$ (với $\square$ là $>,<,\ge$ hoặc $\le$), rồi xét dấu của thương đúng như xét dấu một tích: tìm nghiệm của tử số $P(x)$ và nghiệm của mẫu số $Q(x)$, gộp chung vào một trục số, và dấu của thương tại mỗi khoảng bằng dấu của tử nhân với dấu của mẫu — hệt quy tắc dấu của một phép chia.

Khác biệt duy nhất với bất phương trình tích nằm ở điều kiện xác định: nghiệm của $Q(x)$ luôn bị loại khỏi tập nghiệm bằng dấu ngoặc TRÒN, dù đề bài dùng $\ge$ hay $\le$ — vì tại đó phân thức không có nghĩa, không thể thỏa mãn bất kỳ bất phương trình nào. Ngược lại, nghiệm của tử số $P(x)$ được đưa vào tập nghiệm bằng ngoặc VUÔNG khi đề dùng $\ge,\le$ (vì tại đó thương bằng $0$ , hợp lệ), và bằng ngoặc TRÒN khi đề dùng $>,<$ .

Khác biệt duy nhất với bất phương trình tích nằm ở điều kiện xác định: nghiệm của $Q(x)$ luôn bị loại khỏi tập nghiệm bằng dấu ngoặc TRÒN, dù đề bài dùng $\ge$ hay $\le$ — vì tại đó phân thức không có nghĩa, không thể thỏa mãn bất kỳ bất phương trình nào. Ngược lại, nghiệm của tử số $P(x)$ được đưa vào tập nghiệm bằng ngoặc VUÔNG khi đề dùng $\ge,\le$ (vì tại đó thương bằng $0$, hợp lệ), và bằng ngoặc TRÒN khi đề dùng $>,<$.

Điều kiện xác định của bất phương trình phân thức cũng chính là lý do những bài toán thực tế có mẫu số thường đi kèm một ràng buộc tự nhiên: nếu $x$ đại diện cho một đại lượng như thời gian hay số lượng sản phẩm, mẫu số bằng $0$ thường ứng với một tình huống vô nghĩa về mặt vật lý, chẳng hạn chia cho một khoảng thời gian bằng không. Việc loại nghiệm của mẫu, vì vậy, thường phản ánh đúng một giới hạn có thật của bài toán gốc, chứ không phải một quy tắc đại số đặt ra tuỳ tiện.

Điểm x = −1 tuy được đánh dấu nhưng KHÔNG thuộc tập nghiệm vì mẫu số triệt tiêu tại đó; tập nghiệm đầy đủ của Ví dụ 1 là (−∞;−1) ∪ [1;2].

Ví dụ

Bất phương trình phân thức có tử là tam thức

1
Giải bất phương trình $\dfrac{x^2-3x+2}{x+1}\le0$ .
Giải bất phương trình $\dfrac{x^2-3x+2}{x+1}\le0$.
2
$x+1\ne0 \iff x\ne-1$ .
$x+1\ne0 \iff x\ne-1$.
3
$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ , nghiệm $1,2$ . Mẫu số có nghiệm $-1$ . Gộp lại, ba điểm $-1,1,2$ chia trục số thành bốn khoảng.
$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$, nghiệm $1,2$. Mẫu số có nghiệm $-1$. Gộp lại, ba điểm $-1,1,2$ chia trục số thành bốn khoảng.
4
Thử $x=-2$ : $\dfrac{(-3)(-4)}{-1}=\dfrac{12}{-1}=-12<0$ . Thử $x=0$ : $\dfrac{(-1)(-2)}{1}=2>0$ . Thử $x=1{,}5$ : $\dfrac{(0{,}5)(-0{,}5)}{2{,}5}=-0{,}1<0$ . Thử $x=3$ : $\dfrac{(2)(1)}{4}=0{,}5>0$ .
Thử $x=-2$: $\dfrac{(-3)(-4)}{-1}=\dfrac{12}{-1}=-12<0$. Thử $x=0$: $\dfrac{(-1)(-2)}{1}=2>0$. Thử $x=1{,}5$: $\dfrac{(0{,}5)(-0{,}5)}{2{,}5}=-0{,}1<0$. Thử $x=3$: $\dfrac{(2)(1)}{4}=0{,}5>0$.
5
Thương âm hoặc bằng $0$ trên $(-\infty;-1)$ , tại $x=1$ , và trên $[1;2]$ . Vì $x=-1$ không xác định nên bị loại dù nằm ở đầu mút của khoảng âm đầu tiên. Vậy $S=(-\infty;-1)\cup[1;2]$ .
Thương âm hoặc bằng $0$ trên $(-\infty;-1)$, tại $x=1$, và trên $[1;2]$. Vì $x=-1$ không xác định nên bị loại dù nằm ở đầu mút của khoảng âm đầu tiên. Vậy $S=(-\infty;-1)\cup[1;2]$.
6
$x=1$ : tử số $=0$ , mẫu $=2\ne0$ , thương $=0$ , thỏa $\le0$ — đúng như đưa vào $S$ bằng ngoặc vuông. $x=-1$ : mẫu bằng $0$ , không xác định — đúng như bị loại dù nằm giữa hai điểm của khoảng âm.
$x=1$: tử số $=0$, mẫu $=2\ne0$, thương $=0$, thỏa $\le0$ — đúng như đưa vào $S$ bằng ngoặc vuông. $x=-1$: mẫu bằng $0$, không xác định — đúng như bị loại dù nằm giữa hai điểm của khoảng âm.

Ví dụ

Tử số luôn dương — rút gọn bài toán

1
Giải bất phương trình $\dfrac{x^2+2x+5}{x-2}<0$ .
Giải bất phương trình $\dfrac{x^2+2x+5}{x-2}<0$.
2
$x^2+2x+5$ có $\Delta=4-20=-16<0$ , $a=1>0$ , nên tử số luôn dương với mọi $x$ , không góp nghiệm nào vào bảng dấu.
$x^2+2x+5$ có $\Delta=4-20=-16<0$, $a=1>0$, nên tử số luôn dương với mọi $x$, không góp nghiệm nào vào bảng dấu.
3
Vì tử luôn dương, dấu của thương chỉ phụ thuộc dấu mẫu số: $\dfrac{x^2+2x+5}{x-2}<0 \iff x-2<0 \iff x<2$ , điều kiện $x\ne2$ đã tự động thỏa vì $x<2$ .
Vì tử luôn dương, dấu của thương chỉ phụ thuộc dấu mẫu số: $\dfrac{x^2+2x+5}{x-2}<0 \iff x-2<0 \iff x<2$, điều kiện $x\ne2$ đã tự động thỏa vì $x<2$.
4
Vậy $S=(-\infty;2)$ .
Vậy $S=(-\infty;2)$.
5
$x=0$ : $\dfrac{5}{-2}=-2{,}5<0$ , thỏa. $x=3$ : $\dfrac{20}{1}=20>0$ , không thỏa, đúng vì $3\notin S$ .
$x=0$: $\dfrac{5}{-2}=-2{,}5<0$, thỏa. $x=3$: $\dfrac{20}{1}=20>0$, không thỏa, đúng vì $3\notin S$.

Ví dụ

Nhân tử bình phương — điểm chạm không đổi dấu

1
Giải bất phương trình $\dfrac{(x-1)^2(x+2)}{x-3}\ge0$ .
Giải bất phương trình $\dfrac{(x-1)^2(x+2)}{x-3}\ge0$.
2
$x-3\ne0 \iff x\ne3$ .
$x-3\ne0 \iff x\ne3$.
3
$(x-1)^2\ge0$ với mọi $x$ , và chỉ bằng $0$ tại $x=1$ — nhân tử này KHÔNG đổi dấu khi đi qua $x=1$ (một bình phương không thể chuyển từ dương sang âm). Đây là điểm khác biệt so với các nhân tử bậc nhất thông thường ở Ví dụ 1 và 2.
$(x-1)^2\ge0$ với mọi $x$, và chỉ bằng $0$ tại $x=1$ — nhân tử này KHÔNG đổi dấu khi đi qua $x=1$ (một bình phương không thể chuyển từ dương sang âm). Đây là điểm khác biệt so với các nhân tử bậc nhất thông thường ở Ví dụ 1 và 2.
4
Ba điểm đặc biệt: $-2$ (nghiệm đơn của tử), $1$ (nghiệm kép của tử — không đổi dấu), $3$ (nghiệm mẫu). Thử $x=-3$ : $\dfrac{16\times(-1)}{-6}=\dfrac{-16}{-6}\approx2{,}67>0$ . Thử $x=-1$ : $\dfrac{4\times1}{-4}=-1<0$ . Thử $x=2$ : $\dfrac{1\times4}{-1}=-4<0$ — vẫn ÂM dù đã đi qua $x=1$ , đúng như dự đoán vì $(x-1)^2$ không đổi dấu. Thử $x=4$ : $\dfrac{9\times6}{1}=54>0$ .
Ba điểm đặc biệt: $-2$ (nghiệm đơn của tử), $1$ (nghiệm kép của tử — không đổi dấu), $3$ (nghiệm mẫu). Thử $x=-3$: $\dfrac{16\times(-1)}{-6}=\dfrac{-16}{-6}\approx2{,}67>0$. Thử $x=-1$: $\dfrac{4\times1}{-4}=-1<0$. Thử $x=2$: $\dfrac{1\times4}{-1}=-4<0$ — vẫn ÂM dù đã đi qua $x=1$, đúng như dự đoán vì $(x-1)^2$ không đổi dấu. Thử $x=4$: $\dfrac{9\times6}{1}=54>0$.
5
Biểu thức dương trên $x<-2$ và trên $x>3$ ; âm trên khoảng từ $-2$ đến $3$ (trừ đúng điểm $x=1$ , nơi biểu thức bằng $0$ chứ không âm, nên vẫn thỏa $\ge0$ ); và $x=3$ bị loại vì không xác định. Vậy $S=(-\infty;-2]\cup\{1\}\cup(3;+\infty)$ .
Biểu thức dương trên $x<-2$ và trên $x>3$; âm trên khoảng từ $-2$ đến $3$ (trừ đúng điểm $x=1$, nơi biểu thức bằng $0$ chứ không âm, nên vẫn thỏa $\ge0$); và $x=3$ bị loại vì không xác định. Vậy $S=(-\infty;-2]\cup\{1\}\cup(3;+\infty)$.
6
Tại $x=1$ : tử số $=0$ (vì $(1-1)^2=0$ ), mẫu $=-2\ne0$ , thương $=0$ , thỏa $\ge0$ — đúng như một điểm cô lập được thêm vào tập nghiệm dù nó nằm giữa một khoảng toàn giá trị âm.
Tại $x=1$: tử số $=0$ (vì $(1-1)^2=0$), mẫu $=-2\ne0$, thương $=0$, thỏa $\ge0$ — đúng như một điểm cô lập được thêm vào tập nghiệm dù nó nằm giữa một khoảng toàn giá trị âm.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm nghiêm trọng nhất ở dạng bài này là quên đặt điều kiện xác định rồi vô tình đưa nghiệm của mẫu số vào tập nghiệm — đặc biệt khi đề dùng dấu $\ge$ hay $\le$ , dễ nhầm tưởng "cứ bằng 0 thì lấy" mà quên phân thức không hề có giá trị tại đó. Sai lầm khác là nhân chéo bỏ mẫu như giải phương trình, làm mất luôn thông tin về dấu và cho ra tập nghiệm sai hoàn toàn. Một sai lầm tinh vi hơn, như ở Ví dụ 3, là coi MỌI nghiệm đều làm biểu thức đổi dấu — nghiệm của một nhân tử bình phương (nghiệm bội chẵn) chỉ làm biểu thức chạm $0$ rồi giữ nguyên dấu, không đổi dấu như nghiệm đơn.

Sai lầm nghiêm trọng nhất ở dạng bài này là quên đặt điều kiện xác định rồi vô tình đưa nghiệm của mẫu số vào tập nghiệm — đặc biệt khi đề dùng dấu $\ge$ hay $\le$, dễ nhầm tưởng "cứ bằng 0 thì lấy" mà quên phân thức không hề có giá trị tại đó. Sai lầm khác là nhân chéo bỏ mẫu như giải phương trình, làm mất luôn thông tin về dấu và cho ra tập nghiệm sai hoàn toàn. Một sai lầm tinh vi hơn, như ở Ví dụ 3, là coi MỌI nghiệm đều làm biểu thức đổi dấu — nghiệm của một nhân tử bình phương (nghiệm bội chẵn) chỉ làm biểu thức chạm $0$ rồi giữ nguyên dấu, không đổi dấu như nghiệm đơn.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Bất phương trình phân thức: đặt điều kiện xác định (mẫu $\ne0$ ), phân tích tử và mẫu thành nhân tử, lập bảng xét dấu chung như bất phương trình tích, rồi kết luận — luôn loại nghiệm của mẫu bằng ngoặc tròn, dù đề dùng dấu nào. Riêng nghiệm bội chẵn của tử số (như ở Ví dụ 3) là điểm cần cẩn thận thêm: nó chạm $0$ mà không đổi dấu, nên có thể trở thành một điểm cô lập trong tập nghiệm thay vì nằm gọn trong một khoảng liền.

Bất phương trình phân thức: đặt điều kiện xác định (mẫu $\ne0$), phân tích tử và mẫu thành nhân tử, lập bảng xét dấu chung như bất phương trình tích, rồi kết luận — luôn loại nghiệm của mẫu bằng ngoặc tròn, dù đề dùng dấu nào. Riêng nghiệm bội chẵn của tử số (như ở Ví dụ 3) là điểm cần cẩn thận thêm: nó chạm $0$ mà không đổi dấu, nên có thể trở thành một điểm cô lập trong tập nghiệm thay vì nằm gọn trong một khoảng liền.

Bài tiếp theo dùng lại đúng định lí dấu tam thức của Bài 1, nhưng đổi vai trò: thay vì tìm dấu của $f(x)$ theo $x$ , ta đi tìm giá trị của một tham số $m$ để $f(x)$ luôn mang một dấu cho trước — vẫn cùng một định lí, chỉ đổi câu hỏi từ "dấu là gì" sang "tham số phải bằng bao nhiêu để có đúng dấu đó".

Bài tiếp theo dùng lại đúng định lí dấu tam thức của Bài 1, nhưng đổi vai trò: thay vì tìm dấu của $f(x)$ theo $x$, ta đi tìm giá trị của một tham số $m$ để $f(x)$ luôn mang một dấu cho trước — vẫn cùng một định lí, chỉ đổi câu hỏi từ "dấu là gì" sang "tham số phải bằng bao nhiêu để có đúng dấu đó".