Bài học

Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em dùng đúng bảng xét dấu tam thức đã lập ở bài trước để kết luận tập nghiệm của một bất phương trình bậc hai, dù đề bài yêu cầu dấu $>$ , $<$ , $\ge$ hay $\le$ .

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã cho em công cụ quan trọng nhất của cả chương này: với tam thức $f(x)=ax^2+bx+c$ , dấu của $f(x)$ tại mỗi $x$ hoàn toàn xác định bởi $\Delta$ và $a$ (same-grade bridge). Bài này không thêm lý thuyết mới — chỉ hỏi một câu thực dụng hơn: tập hợp mọi $x$ thỏa $f(x)>0$ (hay $<0$ , $\ge0$ , $\le0$ ) là gì?

Bài trước đã cho em công cụ quan trọng nhất của cả chương này: với tam thức $f(x)=ax^2+bx+c$, dấu của $f(x)$ tại mỗi $x$ hoàn toàn xác định bởi $\Delta$ và $a$ (same-grade bridge). Bài này không thêm lý thuyết mới — chỉ hỏi một câu thực dụng hơn: tập hợp mọi $x$ thỏa $f(x)>0$ (hay $<0$, $\ge0$, $\le0$) là gì?

Khởi động

Xét bất phương trình $x^2-5x+6<0$ . Nếu chỉ thử từng số nguyên nhỏ — $x=0,1,2,3,4$ — em có tìm ra hết những số thỏa mãn hay không, hay cách thử tay như vậy bỏ sót những nghiệm không nguyên?

Xét bất phương trình $x^2-5x+6<0$. Nếu chỉ thử từng số nguyên nhỏ — $x=0,1,2,3,4$ — em có tìm ra hết những số thỏa mãn hay không, hay cách thử tay như vậy bỏ sót những nghiệm không nguyên?

Kiến thức trọng tâm

Giải bất phương trình bậc hai $ax^2+bx+c>0$ (hoặc $<0,\ge0,\le0$ ) nghĩa là tìm tất cả giá trị $x$ làm tam thức $f(x)=ax^2+bx+c$ mang đúng dấu mà đề bài yêu cầu. Vì bài trước đã cho biết chính xác $f(x)$ dương ở đâu và âm ở đâu theo $\Delta$ và $a$ , việc còn lại chỉ là đọc lại kết luận đó rồi viết dưới dạng tập hợp.

Giải bất phương trình bậc hai $ax^2+bx+c>0$ (hoặc $<0,\ge0,\le0$) nghĩa là tìm tất cả giá trị $x$ làm tam thức $f(x)=ax^2+bx+c$ mang đúng dấu mà đề bài yêu cầu. Vì bài trước đã cho biết chính xác $f(x)$ dương ở đâu và âm ở đâu theo $\Delta$ và $a$, việc còn lại chỉ là đọc lại kết luận đó rồi viết dưới dạng tập hợp.

Ba khả năng của $\Delta$ dẫn tới ba dạng tập nghiệm hoàn toàn khác nhau — đây chính là điều nhiều em bỏ sót khi mới học: không phải bất phương trình bậc hai nào cũng có nghiệm là một khoảng hữu hạn.

Khi $\Delta>0$ , $f(x)$ đổi dấu tại $x_1<x_2$ , nên tập nghiệm rơi vào một trong bốn dạng khoảng quen thuộc: $f(x)>0$ ứng với $x\in(-\infty;x_1)\cup(x_2;+\infty)$ , còn $f(x)<0$ ứng với $x\in(x_1;x_2)$ ; bất phương trình dùng $\ge$ hay $\le$ chỉ khác ở việc CÓ đưa hai đầu mút $x_1,x_2$ vào tập nghiệm hay không.

Khi $\Delta>0$, $f(x)$ đổi dấu tại $x_1<x_2$, nên tập nghiệm rơi vào một trong bốn dạng khoảng quen thuộc: $f(x)>0$ ứng với $x\in(-\infty;x_1)\cup(x_2;+\infty)$, còn $f(x)<0$ ứng với $x\in(x_1;x_2)$; bất phương trình dùng $\ge$ hay $\le$ chỉ khác ở việc CÓ đưa hai đầu mút $x_1,x_2$ vào tập nghiệm hay không.

Khi $\Delta=0$ , $f(x)$ cùng dấu $a$ tại mọi điểm trừ đúng nghiệm kép $x_0$ . Nếu $a>0$ : $f(x)\ge0$ đúng với MỌI $x\in\mathbb{R}$ , còn $f(x)>0$ đúng với mọi $x$ trừ đúng một điểm $x_0$ ; ngược lại $f(x)<0$ vô nghiệm, và $f(x)\le0$ chỉ đúng tại đúng một điểm $x=x_0$ .

Khi $\Delta=0$, $f(x)$ cùng dấu $a$ tại mọi điểm trừ đúng nghiệm kép $x_0$. Nếu $a>0$: $f(x)\ge0$ đúng với MỌI $x\in\mathbb{R}$, còn $f(x)>0$ đúng với mọi $x$ trừ đúng một điểm $x_0$; ngược lại $f(x)<0$ vô nghiệm, và $f(x)\le0$ chỉ đúng tại đúng một điểm $x=x_0$.

Khi $\Delta<0$ , $f(x)$ cùng dấu $a$ tại mọi $x$ , không ngoại lệ. Nếu $a>0$ : $f(x)>0$ và $f(x)\ge0$ đều đúng với mọi $x\in\mathbb{R}$ (tập nghiệm là toàn bộ $\mathbb{R}$ ), còn $f(x)<0$ và $f(x)\le0$ đều vô nghiệm. Nếu $a<0$ thì ngược lại hoàn toàn.

Khi $\Delta<0$, $f(x)$ cùng dấu $a$ tại mọi $x$, không ngoại lệ. Nếu $a>0$: $f(x)>0$ và $f(x)\ge0$ đều đúng với mọi $x\in\mathbb{R}$ (tập nghiệm là toàn bộ $\mathbb{R}$), còn $f(x)<0$ và $f(x)\le0$ đều vô nghiệm. Nếu $a<0$ thì ngược lại hoàn toàn.

Phần đồ thị nằm dưới trục Ox, giữa hai nghiệm, chính là tập nghiệm S = (2;3) của Ví dụ 1.

Khác với hình ở Bài 1 chỉ ghi dấu của f(x), trục số này ghi thẳng tập nghiệm — đúng câu trả lời của bất phương trình.

Ví dụ

Giải bất phương trình có hai nghiệm phân biệt

1
Giải bất phương trình $x^2-5x+6<0$ .
Giải bất phương trình $x^2-5x+6<0$.
2
Tam thức $f(x)=x^2-5x+6$ có $a=1>0$ , $\Delta=1>0$ , hai nghiệm $x_1=2,x_2=3$ : $f(x)>0$ khi $x<2$ hay $x>3$ , và $f(x)<0$ khi $2<x<3$ .
Tam thức $f(x)=x^2-5x+6$ có $a=1>0$, $\Delta=1>0$, hai nghiệm $x_1=2,x_2=3$: $f(x)>0$ khi $x<2$ hay $x>3$, và $f(x)<0$ khi $2<x<3$.
3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình $x^2-5x+6<0$ là $S=(2;3)$ .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình $x^2-5x+6<0$ là $S=(2;3)$.
4
Thử $x=2{,}5\in S$ : $f(2{,}5)=-0{,}25<0$ , đúng. Thử $x=0\notin S$ : $f(0)=6$ , không thỏa $<0$ , đúng vì $0\notin S$ .
Thử $x=2{,}5\in S$: $f(2{,}5)=-0{,}25<0$, đúng. Thử $x=0\notin S$: $f(0)=6$, không thỏa $<0$, đúng vì $0\notin S$.

Ví dụ

Giải bất phương trình vô nghiệm

1
Giải bất phương trình $-2x^2+3x-5>0$ .
Giải bất phương trình $-2x^2+3x-5>0$.
2
Tam thức có $a=-2<0$ , $\Delta=-31<0$ , nên cùng dấu $a$ (âm) tại mọi $x$ : $f(x)<0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ .
Tam thức có $a=-2<0$, $\Delta=-31<0$, nên cùng dấu $a$ (âm) tại mọi $x$: $f(x)<0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$.
3
Vì $f(x)$ luôn âm, không có $x$ nào làm $f(x)>0$ . Vậy tập nghiệm $S=\varnothing$ .
Vì $f(x)$ luôn âm, không có $x$ nào làm $f(x)>0$. Vậy tập nghiệm $S=\varnothing$.
4
Thử $x=0,10,-10$ : $f(0)=-5$ , $f(10)=-200+30-5=-175$ , $f(-10)=-200-30-5=-235$ — đều âm, khớp với $S=\varnothing$ .
Thử $x=0,10,-10$: $f(0)=-5$, $f(10)=-200+30-5=-175$, $f(-10)=-200-30-5=-235$ — đều âm, khớp với $S=\varnothing$.

Ví dụ

Giải bất phương trình có nghiệm kép

1
Giải bất phương trình $x^2-4x+4\ge0$ .
Giải bất phương trình $x^2-4x+4\ge0$.
2
Tam thức có $\Delta=0$ , $a=1>0$ , nghiệm kép $x_0=2$ : $f(x)\ge0$ với mọi $x$ , bằng $0$ đúng tại $x=2$ .
Tam thức có $\Delta=0$, $a=1>0$, nghiệm kép $x_0=2$: $f(x)\ge0$ với mọi $x$, bằng $0$ đúng tại $x=2$.
3
Vậy tập nghiệm $S=\mathbb{R}$ — mọi $x$ đều thỏa, kể cả $x=2$ vì đề yêu cầu $\ge$ , không phải $>$ .
Vậy tập nghiệm $S=\mathbb{R}$ — mọi $x$ đều thỏa, kể cả $x=2$ vì đề yêu cầu $\ge$, không phải $>$.
4
Nếu đề đổi thành $x^2-4x+4>0$ (nghiêm ngặt), tập nghiệm sẽ là $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ — loại đúng điểm $x=2$ vì tại đó $f(x)=0$ , không thỏa $>0$ . Sự khác biệt nhỏ giữa $\ge$ và $>$ này quyết định cả tập nghiệm.
Nếu đề đổi thành $x^2-4x+4>0$ (nghiêm ngặt), tập nghiệm sẽ là $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ — loại đúng điểm $x=2$ vì tại đó $f(x)=0$, không thỏa $>0$. Sự khác biệt nhỏ giữa $\ge$ và $>$ này quyết định cả tập nghiệm.

Một điểm đáng chú ý về cách VIẾT tập nghiệm: khi tập nghiệm gồm hai khoảng rời nhau (như $\Delta>0$ và bất phương trình dùng dấu $>$ hoặc $\ge$ ), em dùng kí hiệu hợp $\cup$ để nối chúng lại, ví dụ $(-\infty;2)\cup(3;+\infty)$ — không viết " $x<2$ hoặc $x>3$ " rồi để đó mà không quy về dạng tập hợp chuẩn. Ngược lại, khi tập nghiệm là một khoảng liền, chỉ cần một cặp ngoặc, không cần dấu hợp.

Một điểm đáng chú ý về cách VIẾT tập nghiệm: khi tập nghiệm gồm hai khoảng rời nhau (như $\Delta>0$ và bất phương trình dùng dấu $>$ hoặc $\ge$), em dùng kí hiệu hợp $\cup$ để nối chúng lại, ví dụ $(-\infty;2)\cup(3;+\infty)$ — không viết "$x<2$ hoặc $x>3$" rồi để đó mà không quy về dạng tập hợp chuẩn. Ngược lại, khi tập nghiệm là một khoảng liền, chỉ cần một cặp ngoặc, không cần dấu hợp.

Một thói quen tốt sau khi giải xong: chọn MỘT giá trị bất kỳ bên trong tập nghiệm vừa tìm và một giá trị bên ngoài, thay trực tiếp vào bất phương trình gốc (chưa đơn giản hoá) để kiểm tra ngược. Cách này không thay thế việc tính $\Delta$ và nghiệm cẩn thận, nhưng bắt được gần như mọi lỗi tính toán vặt — nhầm dấu khi khai triển, chép sai hệ số, hay quên đổi chiều bất đẳng thức — trước khi nộp bài. Ba ví dụ dưới đây đều có bước "Kiểm tra" theo đúng thói quen này.

Ví dụ

Bất phương trình bậc hai từ bài toán thực tế

1
Một vật được ném lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng, độ cao $h(t)$ (mét) sau $t$ giây cho bởi $h(t)=-5t^2+20t$ (mô hình đơn giản hoá, bỏ qua sức cản không khí). Hỏi trong khoảng thời gian nào vật ở độ cao lớn hơn $15$ mét?
Một vật được ném lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng, độ cao $h(t)$ (mét) sau $t$ giây cho bởi $h(t)=-5t^2+20t$ (mô hình đơn giản hoá, bỏ qua sức cản không khí). Hỏi trong khoảng thời gian nào vật ở độ cao lớn hơn $15$ mét?
2
Yêu cầu $h(t)>15$ tương đương $-5t^2+20t>15$ , tức $-5t^2+20t-15>0$ .
Yêu cầu $h(t)>15$ tương đương $-5t^2+20t>15$, tức $-5t^2+20t-15>0$.
3
Chia cả hai vế cho $-5$ (một số ÂM, nên phải ĐỔI CHIỀU bất phương trình): $t^2-4t+3<0$ .
Chia cả hai vế cho $-5$ (một số ÂM, nên phải ĐỔI CHIỀU bất phương trình): $t^2-4t+3<0$.
4
$\Delta=16-12=4>0$ , nghiệm $t=\dfrac{4\pm2}{2}$ , tức $t_1=1,t_2=3$ ; $a=1>0$ nên $t^2-4t+3<0$ khi $1<t<3$ .
$\Delta=16-12=4>0$, nghiệm $t=\dfrac{4\pm2}{2}$, tức $t_1=1,t_2=3$; $a=1>0$ nên $t^2-4t+3<0$ khi $1<t<3$.
5
Vậy vật ở độ cao lớn hơn $15$ mét trong khoảng thời gian từ giây thứ $1$ đến giây thứ $3$ , tức $t\in(1;3)$ .
Vậy vật ở độ cao lớn hơn $15$ mét trong khoảng thời gian từ giây thứ $1$ đến giây thứ $3$, tức $t\in(1;3)$.
6
Tại $t=2$ (giữa khoảng): $h(2)=-5(4)+40=20>15$ , đúng. Tại $t=0{,}5$ (ngoài khoảng, lúc vật vừa lên): $h(0{,}5)=-5(0{,}25)+10=8{,}75<15$ , đúng vì $0{,}5\notin(1;3)$ .
Tại $t=2$ (giữa khoảng): $h(2)=-5(4)+40=20>15$, đúng. Tại $t=0{,}5$ (ngoài khoảng, lúc vật vừa lên): $h(0{,}5)=-5(0{,}25)+10=8{,}75<15$, đúng vì $0{,}5\notin(1;3)$.
7
Cùng mô hình này, độ cao lớn nhất đạt được tại đỉnh parabol $t=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{20}{2\times(-5)}=2$ giây, đúng bằng trung điểm của khoảng $(1;3)$ vừa tìm — một cách kiểm tra chéo hợp lý, vì với một tam thức có $a<0$ , khoảng $f(x)>k$ (khi có nghiệm) luôn nhận trục đối xứng của parabol làm tâm.
Cùng mô hình này, độ cao lớn nhất đạt được tại đỉnh parabol $t=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{20}{2\times(-5)}=2$ giây, đúng bằng trung điểm của khoảng $(1;3)$ vừa tìm — một cách kiểm tra chéo hợp lý, vì với một tam thức có $a<0$, khoảng $f(x)>k$ (khi có nghiệm) luôn nhận trục đối xứng của parabol làm tâm.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là quên các trường hợp đặc biệt $\Delta=0$ hoặc $\Delta<0$ , mặc định mọi bất phương trình bậc hai đều cho một khoảng nghiệm hữu hạn — Ví dụ 2 cho tập nghiệm rỗng, còn Ví dụ 3 cho tập nghiệm là cả $\mathbb{R}$ . Sai lầm khác là nhầm giữa dấu $<$ và $\le$ khi viết tập nghiệm: với $\Delta=0$ , bất phương trình dùng $\ge$ hay $\le$ luôn nhận thêm đúng một điểm $x_0$ mà dấu $>$ hay $<$ không có. Một sai lầm nữa, đặc biệt ở bài toán thực tế như Ví dụ 4, là QUÊN ĐỔI CHIỀU khi chia hoặc nhân hai vế với một số âm — bỏ qua bước này sẽ cho tập nghiệm ngược hẳn với đáp số đúng.

Sai lầm phổ biến nhất là quên các trường hợp đặc biệt $\Delta=0$ hoặc $\Delta<0$, mặc định mọi bất phương trình bậc hai đều cho một khoảng nghiệm hữu hạn — Ví dụ 2 cho tập nghiệm rỗng, còn Ví dụ 3 cho tập nghiệm là cả $\mathbb{R}$. Sai lầm khác là nhầm giữa dấu $<$ và $\le$ khi viết tập nghiệm: với $\Delta=0$, bất phương trình dùng $\ge$ hay $\le$ luôn nhận thêm đúng một điểm $x_0$ mà dấu $>$ hay $<$ không có. Một sai lầm nữa, đặc biệt ở bài toán thực tế như Ví dụ 4, là QUÊN ĐỔI CHIỀU khi chia hoặc nhân hai vế với một số âm — bỏ qua bước này sẽ cho tập nghiệm ngược hẳn với đáp số đúng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Giải bất phương trình bậc hai = xét dấu tam thức (Bài 1) rồi đọc lại đúng khoảng theo dấu đề bài yêu cầu. Luôn kiểm tra riêng các trường hợp đặc biệt: $\Delta=0$ có thể cho tập nghiệm là một điểm hoặc cả $\mathbb{R}$ ; $\Delta<0$ có thể cho tập nghiệm rỗng hoặc cả $\mathbb{R}$ , tùy dấu của $a$ .

Giải bất phương trình bậc hai = xét dấu tam thức (Bài 1) rồi đọc lại đúng khoảng theo dấu đề bài yêu cầu. Luôn kiểm tra riêng các trường hợp đặc biệt: $\Delta=0$ có thể cho tập nghiệm là một điểm hoặc cả $\mathbb{R}$; $\Delta<0$ có thể cho tập nghiệm rỗng hoặc cả $\mathbb{R}$, tùy dấu của $a$.

Bài tiếp theo mở rộng kỹ thuật này sang bất phương trình có TÍCH của nhiều tam thức, nơi nhiều nghiệm — chứ không phải một — cùng chia trục số thành các khoảng.