Bài học

Ôn tập: vận dụng tổng hợp dấu tam thức và bất phương trình bậc hai

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em vận dụng phối hợp toàn bộ kỹ thuật của khoá học — xét dấu tam thức, giải bất phương trình bậc hai, bất phương trình tích, bất phương trình phân thức, và bài toán tham số — để giải các bài toán tổng hợp đúng dạng đề kiểm tra cuối kỳ.

Kiến thức nền cần nhớ

Toàn bộ năm bài trước của khoá học chính là kiến thức nền của bài này — không có kỹ thuật mới nào được thêm vào, chỉ có việc NHẬN RA nên dùng kỹ thuật nào cho từng phần của một bài toán phức tạp hơn, và ghép nhiều kỹ thuật lại trong cùng một lời giải.

Khởi động

Một đề kiểm tra cuối kỳ hiếm khi hỏi đúng một dạng bất phương trình đơn giản. Nhiều khi tử số và mẫu số của một phân thức lại có chung một nghiệm — trong tình huống đó, phép rút gọn có làm tập nghiệm thay đổi so với biểu thức gốc hay không?

Kiến thức trọng tâm

Dù bất phương trình trông phức tạp thế nào — tích của nhiều nhân tử, thương của hai đa thức, hay chứa tham số — quy trình giải luôn gồm bốn bước giống nhau: đưa biểu thức về đúng dạng tích hoặc thương của các nhị thức và tam thức; tìm toàn bộ nghiệm của tử số VÀ của mẫu số (nếu có), đồng thời ghi lại điều kiện xác định; lập bảng xét dấu chung bằng cách gộp tất cả nghiệm lên một trục số và thử dấu tại một điểm đại diện mỗi khoảng; và cuối cùng đọc lại bảng để kết luận đúng tập nghiệm theo yêu cầu của đề, nhớ loại các điểm không xác định.

Bước dễ mắc lỗi nhất là bước đầu tiên, đặc biệt khi tử số và mẫu số có NGHIỆM CHUNG: nhìn qua có vẻ có thể rút gọn nhân tử chung rồi quên mất giá trị đó, nhưng biểu thức gốc vẫn KHÔNG xác định tại điểm đó (dạng $\dfrac{0}{0}$ ), nên nó luôn phải bị loại khỏi tập nghiệm cuối cùng, dù sau khi rút gọn biểu thức có vẻ xác định tại đó.

Bước dễ mắc lỗi nhất là bước đầu tiên, đặc biệt khi tử số và mẫu số có NGHIỆM CHUNG: nhìn qua có vẻ có thể rút gọn nhân tử chung rồi quên mất giá trị đó, nhưng biểu thức gốc vẫn KHÔNG xác định tại điểm đó (dạng $\dfrac{0}{0}$), nên nó luôn phải bị loại khỏi tập nghiệm cuối cùng, dù sau khi rút gọn biểu thức có vẻ xác định tại đó.

Nhìn lại cả năm bài đã học, tất cả chỉ xoay quanh MỘT ý tưởng gốc: dấu của một tam thức bậc hai hoàn toàn xác định bởi $\Delta$ và $a$ . Bài 2 dùng ý tưởng đó cho một tam thức đơn lẻ; Bài 3 mở rộng sang tích nhiều tam thức và nhị thức; Bài 4 thêm điều kiện xác định khi có phép chia; Bài 5 dùng chính ý tưởng đó nhưng đảo ngược vai trò, đi tìm tham số thay vì tìm $x$ . Bài ôn tập này không dạy thêm công thức nào — nó chỉ luyện cho em thói quen NHẬN DIỆN nhanh: nhìn một bài toán mới, biểu thức có dạng tích hay thương, có tham số hay không, rồi chọn đúng kỹ thuật trong số bốn kỹ thuật đã học.

Nhìn lại cả năm bài đã học, tất cả chỉ xoay quanh MỘT ý tưởng gốc: dấu của một tam thức bậc hai hoàn toàn xác định bởi $\Delta$ và $a$. Bài 2 dùng ý tưởng đó cho một tam thức đơn lẻ; Bài 3 mở rộng sang tích nhiều tam thức và nhị thức; Bài 4 thêm điều kiện xác định khi có phép chia; Bài 5 dùng chính ý tưởng đó nhưng đảo ngược vai trò, đi tìm tham số thay vì tìm $x$. Bài ôn tập này không dạy thêm công thức nào — nó chỉ luyện cho em thói quen NHẬN DIỆN nhanh: nhìn một bài toán mới, biểu thức có dạng tích hay thương, có tham số hay không, rồi chọn đúng kỹ thuật trong số bốn kỹ thuật đã học.

Bài luyện tập có hướng dẫn của bài này minh hoạ lại đúng kỹ thuật cơ bản của Bài 2, nay được dùng như một bước trong lời giải tổng hợp.

Ví dụ

Bài toán tổng hợp: phân thức có nghiệm chung ở tử và mẫu

1
Giải bất phương trình $\dfrac{2x^2-3x-2}{x^2-4}\ge0$ .
Giải bất phương trình $\dfrac{2x^2-3x-2}{x^2-4}\ge0$.
2
$x^2-4\ne0 \iff x\ne\pm2$ .
$x^2-4\ne0 \iff x\ne\pm2$.
3
$2x^2-3x-2$ có $\Delta=9+16=25$ , hai nghiệm $x=\dfrac{3\pm5}{4}$ , tức $2$ và $-\dfrac12$ , nên $2x^2-3x-2=(x-2)(2x+1)$ . Mẫu số $x^2-4=(x-2)(x+2)$ . Cả tử và mẫu đều có chung nhân tử $(x-2)$ — đây chính là điểm cần cẩn thận.
$2x^2-3x-2$ có $\Delta=9+16=25$, hai nghiệm $x=\dfrac{3\pm5}{4}$, tức $2$ và $-\dfrac12$, nên $2x^2-3x-2=(x-2)(2x+1)$. Mẫu số $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Cả tử và mẫu đều có chung nhân tử $(x-2)$ — đây chính là điểm cần cẩn thận.
4
Với $x\ne2$ (và $x\ne-2$ ), có thể rút gọn: $\dfrac{(x-2)(2x+1)}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{2x+1}{x+2}$ . Bất phương trình trở thành xét dấu $\dfrac{2x+1}{x+2}\ge0$ với $x\ne2,x\ne-2$ .
Với $x\ne2$ (và $x\ne-2$), có thể rút gọn: $\dfrac{(x-2)(2x+1)}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{2x+1}{x+2}$. Bất phương trình trở thành xét dấu $\dfrac{2x+1}{x+2}\ge0$ với $x\ne2,x\ne-2$.
5
Tử có nghiệm $-\dfrac12$ , mẫu có nghiệm $-2$ . Thử $x=-3$ : $\dfrac{-5}{-1}=5>0$ . Thử $x=-1$ : $\dfrac{-1}{1}=-1<0$ . Thử $x=0$ : $\dfrac{1}{2}=0{,}5>0$ .
Tử có nghiệm $-\dfrac12$, mẫu có nghiệm $-2$. Thử $x=-3$: $\dfrac{-5}{-1}=5>0$. Thử $x=-1$: $\dfrac{-1}{1}=-1<0$. Thử $x=0$: $\dfrac{1}{2}=0{,}5>0$.
6
Thương $\dfrac{2x+1}{x+2}\ge0$ trên $(-\infty;-2)\cup\left[-\dfrac12;+\infty\right)$ . Nhưng phải LOẠI THÊM $x=2$ dù nó nằm trong khoảng $\left[-\dfrac12;+\infty\right)$ , vì biểu thức gốc không xác định tại đó. Vậy tập nghiệm đầy đủ là $S=(-\infty;-2)\cup\left[-\dfrac12;2\right)\cup(2;+\infty)$ .
Thương $\dfrac{2x+1}{x+2}\ge0$ trên $(-\infty;-2)\cup\left[-\dfrac12;+\infty\right)$. Nhưng phải LOẠI THÊM $x=2$ dù nó nằm trong khoảng $\left[-\dfrac12;+\infty\right)$, vì biểu thức gốc không xác định tại đó. Vậy tập nghiệm đầy đủ là $S=(-\infty;-2)\cup\left[-\dfrac12;2\right)\cup(2;+\infty)$.
7
Thử $x=1{,}9$ (gần $2$ nhưng khác $2$ , hợp lệ để dùng dạng đã rút gọn): $\dfrac{2(1{,}9)+1}{1{,}9+2}=\dfrac{4{,}8}{3{,}9}\approx1{,}23>0$ , thỏa mãn và khớp với $1{,}9\in\left[-\dfrac12;2\right)$ . Còn tại đúng $x=2$ , biểu thức gốc cho $\dfrac{0}{0}$ — không xác định — nên dù $2$ nằm giữa khoảng nghiệm về mặt đại số, nó vẫn không được tính vào $S$ .
Thử $x=1{,}9$ (gần $2$ nhưng khác $2$, hợp lệ để dùng dạng đã rút gọn): $\dfrac{2(1{,}9)+1}{1{,}9+2}=\dfrac{4{,}8}{3{,}9}\approx1{,}23>0$, thỏa mãn và khớp với $1{,}9\in\left[-\dfrac12;2\right)$. Còn tại đúng $x=2$, biểu thức gốc cho $\dfrac{0}{0}$ — không xác định — nên dù $2$ nằm giữa khoảng nghiệm về mặt đại số, nó vẫn không được tính vào $S$.

Ví dụ

Bài toán tổng hợp: tham số với dấu ≥ (không phải >)

1
Tìm $m$ để $f(x)=x^2-2(m-1)x+m^2-3m+4\ge0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ .
Tìm $m$ để $f(x)=x^2-2(m-1)x+m^2-3m+4\ge0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$.
2
$a=1>0$ với mọi $m$ .
$a=1>0$ với mọi $m$.
3
Cần $\Delta'\le0$ (dấu $\le$ vì đề yêu cầu $\ge0$ chứ không phải $>0$ — đúng lưu ý đã nêu ở Bài 5). Với $b'=-(m-1)$ : $\Delta'=(m-1)^2-(m^2-3m+4)=m^2-2m+1-m^2+3m-4=m-3$ .
Cần $\Delta'\le0$ (dấu $\le$ vì đề yêu cầu $\ge0$ chứ không phải $>0$ — đúng lưu ý đã nêu ở Bài 5). Với $b'=-(m-1)$: $\Delta'=(m-1)^2-(m^2-3m+4)=m^2-2m+1-m^2+3m-4=m-3$.
4
$m-3\le0 \iff m\le3$ .
$m-3\le0 \iff m\le3$.
5
Vậy $m\le3$ .
Vậy $m\le3$.
6
$m=3$ (biên): $f(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2\ge0$ mọi $x$ , đúng — lý do dùng $\Delta'\le0$ chứ không phải $\Delta'<0$ : tại $\Delta'=0$ , $f(x)$ chạm $0$ nhưng không bao giờ ÂM, vẫn thỏa $\ge0$ . $m=4$ (bị loại): $f(x)=x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$ , âm trên khoảng $(2;4)$ , không thỏa mãn mọi $x$ , đúng như bị loại.
$m=3$ (biên): $f(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2\ge0$ mọi $x$, đúng — lý do dùng $\Delta'\le0$ chứ không phải $\Delta'<0$: tại $\Delta'=0$, $f(x)$ chạm $0$ nhưng không bao giờ ÂM, vẫn thỏa $\ge0$. $m=4$ (bị loại): $f(x)=x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$, âm trên khoảng $(2;4)$, không thỏa mãn mọi $x$, đúng như bị loại.

Ví dụ

Bài toán tổng hợp: ghép nhân tử luôn dương với phân thức

1
Giải bất phương trình $\dfrac{(x^2+4)(x^2-5x+6)}{x-1}\le0$ .
Giải bất phương trình $\dfrac{(x^2+4)(x^2-5x+6)}{x-1}\le0$.
2
$x-1\ne0 \iff x\ne1$ .
$x-1\ne0 \iff x\ne1$.
3
$x^2+4$ có $\Delta=-16<0$ , $a=1>0$ , luôn dương với mọi $x$ — không góp nghiệm và không đổi dấu, có thể bỏ khỏi việc lập bảng (kỹ thuật đã học ở Bài 3).
$x^2+4$ có $\Delta=-16<0$, $a=1>0$, luôn dương với mọi $x$ — không góp nghiệm và không đổi dấu, có thể bỏ khỏi việc lập bảng (kỹ thuật đã học ở Bài 3).
4
Bất phương trình rút về $\dfrac{x^2-5x+6}{x-1}\le0$ , tức $\dfrac{(x-2)(x-3)}{x-1}\le0$ , với điều kiện $x\ne1$ .
Bất phương trình rút về $\dfrac{x^2-5x+6}{x-1}\le0$, tức $\dfrac{(x-2)(x-3)}{x-1}\le0$, với điều kiện $x\ne1$.
5
Ba điểm $1,2,3$ . Thử $x=0$ : $\dfrac{(-2)(-3)}{-1}=\dfrac{6}{-1}=-6<0$ . Thử $x=1{,}5$ : $\dfrac{(-0{,}5)(-1{,}5)}{0{,}5}=\dfrac{0{,}75}{0{,}5}=1{,}5>0$ . Thử $x=2{,}5$ : $\dfrac{(0{,}5)(-0{,}5)}{1{,}5}=\dfrac{-0{,}25}{1{,}5}\approx-0{,}17<0$ . Thử $x=4$ : $\dfrac{(2)(1)}{3}=0{,}67>0$ .
Ba điểm $1,2,3$. Thử $x=0$: $\dfrac{(-2)(-3)}{-1}=\dfrac{6}{-1}=-6<0$. Thử $x=1{,}5$: $\dfrac{(-0{,}5)(-1{,}5)}{0{,}5}=\dfrac{0{,}75}{0{,}5}=1{,}5>0$. Thử $x=2{,}5$: $\dfrac{(0{,}5)(-0{,}5)}{1{,}5}=\dfrac{-0{,}25}{1{,}5}\approx-0{,}17<0$. Thử $x=4$: $\dfrac{(2)(1)}{3}=0{,}67>0$.
6
Thương âm hoặc bằng $0$ trên $(-\infty;1)$ , và trên $[2;3]$ (kể cả hai đầu mút vì tử số bằng $0$ tại đó, mẫu vẫn khác $0$ ). Điểm $x=1$ bị loại vì không xác định. Vậy $S=(-\infty;1)\cup[2;3]$ .
Thương âm hoặc bằng $0$ trên $(-\infty;1)$, và trên $[2;3]$ (kể cả hai đầu mút vì tử số bằng $0$ tại đó, mẫu vẫn khác $0$). Điểm $x=1$ bị loại vì không xác định. Vậy $S=(-\infty;1)\cup[2;3]$.
7
$x=2$ : tử $=0$ , mẫu $=1$ , thương $=0$ , thỏa $\le0$ , đúng như đưa vào bằng ngoặc vuông. $x=1$ : mẫu $=0$ , không xác định, đúng như bị loại dù nằm ngay bên trái khoảng nghiệm $[2;3]$ .
$x=2$: tử $=0$, mẫu $=1$, thương $=0$, thỏa $\le0$, đúng như đưa vào bằng ngoặc vuông. $x=1$: mẫu $=0$, không xác định, đúng như bị loại dù nằm ngay bên trái khoảng nghiệm $[2;3]$.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm hay gặp nhất ở bài tổng hợp là rút gọn một phân thức có nghiệm chung ở tử và mẫu rồi quên loại lại điểm đó khỏi tập nghiệm cuối cùng — biểu thức rút gọn và biểu thức gốc chỉ bằng nhau ở những điểm cả hai đều xác định. Sai lầm khác là dùng nhầm $\Delta<0$ khi đề thực ra yêu cầu $\ge0$ (cần $\Delta\le0$ ) — luôn đọc kỹ dấu của đề trước khi chọn điều kiện $\Delta$ tương ứng.

Sai lầm hay gặp nhất ở bài tổng hợp là rút gọn một phân thức có nghiệm chung ở tử và mẫu rồi quên loại lại điểm đó khỏi tập nghiệm cuối cùng — biểu thức rút gọn và biểu thức gốc chỉ bằng nhau ở những điểm cả hai đều xác định. Sai lầm khác là dùng nhầm $\Delta<0$ khi đề thực ra yêu cầu $\ge0$ (cần $\Delta\le0$) — luôn đọc kỹ dấu của đề trước khi chọn điều kiện $\Delta$ tương ứng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ toàn khoá

Toàn bộ khoá học chỉ dùng đúng MỘT định lí — dấu tam thức bậc hai theo $\Delta$ và $a$ — rồi mở rộng ứng dụng theo bốn hướng: tam thức đơn lẻ (Bài 1–2), tích nhiều nhân tử (Bài 3), thương có điều kiện xác định (Bài 4), và bài toán ngược tìm tham số (Bài 5). Bài tổng hợp này chỉ ghép các hướng đó lại — không có kỹ thuật nào mới, chỉ có kỹ năng nhận diện đúng dạng bài và ghép đúng thứ tự các bước đã học.

Khoá học tiếp theo trong lộ trình Toán 10 chuyển sang hình học: định lí sin và định lí côsin trong tam giác — một mạch kiến thức khác, nhưng thói quen lập luận chặt chẽ, xét đủ trường hợp, và kết luận rõ ràng mà em vừa rèn luyện ở khoá này sẽ theo em suốt chương trình.