Bài học

Bảng nguyên hàm cơ bản và nguyên hàm hàm hợp tuyến tính

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tra đúng bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản (luỹ thừa, $\dfrac{1}{x}$ , hàm số mũ, lượng giác), và áp dụng được công thức mở rộng để tìm nhanh nguyên hàm của hàm hợp tuyến tính $f(ax+b)$ mà không cần đổi biến số đầy đủ.

Sau bài này, em tra đúng bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản (luỹ thừa, $\dfrac{1}{x}$, hàm số mũ, lượng giác), và áp dụng được công thức mở rộng để tìm nhanh nguyên hàm của hàm hợp tuyến tính $f(ax+b)$ mà không cần đổi biến số đầy đủ.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ nếu $F'(x) = f(x)$ , và nguyên hàm của tổng/hiệu tách được theo từng số hạng (same-grade bridge). Muốn dùng thành thạo tính chất đó, em cần một bảng nguyên hàm gốc đủ rộng — đúng như bảng đạo hàm em đã thuộc ở lớp 11, chỉ đọc theo chiều ngược lại. Bài này dựng lại bảng đó một cách hệ thống, rồi thêm một mẹo tính nhanh mà đề thi tốt nghiệp THPT khai thác rất nhiều: nguyên hàm của hàm hợp tuyến tính $f(ax+b)$ .

Bài trước em đã biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ nếu $F'(x) = f(x)$, và nguyên hàm của tổng/hiệu tách được theo từng số hạng (same-grade bridge). Muốn dùng thành thạo tính chất đó, em cần một bảng nguyên hàm gốc đủ rộng — đúng như bảng đạo hàm em đã thuộc ở lớp 11, chỉ đọc theo chiều ngược lại. Bài này dựng lại bảng đó một cách hệ thống, rồi thêm một mẹo tính nhanh mà đề thi tốt nghiệp THPT khai thác rất nhiều: nguyên hàm của hàm hợp tuyến tính $f(ax+b)$.

Khởi động

Lớp 11 em đã học $(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ . Vậy nguyên hàm của $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ là gì? Và nếu đề bài thay $x$ bằng $2x+1$ , tức tính $\int \dfrac{1}{\cos^2(2x+1)}\,dx$ , công thức có còn dùng trực tiếp được không?

Lớp 11 em đã học $(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$. Vậy nguyên hàm của $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ là gì? Và nếu đề bài thay $x$ bằng $2x+1$, tức tính $\int \dfrac{1}{\cos^2(2x+1)}\,dx$, công thức có còn dùng trực tiếp được không?

Bảng nguyên hàm cơ bản

Đảo ngược các công thức đạo hàm quen thuộc, ta có bảng nguyên hàm của các hàm số sơ cấp trên miền xác định của chúng: $\int 0\,dx = C$ ; $\int 1\,dx = x + C$ ; $\int x^{\alpha}\,dx = \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$ (với $\alpha \neq -1$ ); $\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$ (với $x \neq 0$ ); $\int e^x\,dx = e^x + C$ ; $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$ ; $\int \cos x\,dx = \sin x + C$ ; $\int \dfrac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C$ (với $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ ); $\int \dfrac{1}{\sin^2 x}\,dx = -\cot x + C$ (với $x \neq k\pi$ ).

Đảo ngược các công thức đạo hàm quen thuộc, ta có bảng nguyên hàm của các hàm số sơ cấp trên miền xác định của chúng: $\int 0\,dx = C$; $\int 1\,dx = x + C$; $\int x^{\alpha}\,dx = \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$ (với $\alpha \neq -1$); $\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$ (với $x \neq 0$); $\int e^x\,dx = e^x + C$; $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$; $\int \cos x\,dx = \sin x + C$; $\int \dfrac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C$ (với $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$); $\int \dfrac{1}{\sin^2 x}\,dx = -\cot x + C$ (với $x \neq k\pi$).

Hai dòng cuối là phần học sinh hay quên vì ít gặp hơn: chúng chính là đạo hàm của $\tan x$ và $\cot x$ đọc ngược lại, nên nếu em nhớ đúng bảng đạo hàm lượng giác của lớp 11 thì hai công thức này không có gì mới, chỉ là cách nhìn khác của cùng một sự thật toán học. Riêng công thức luỹ thừa cần chú ý điều kiện $\alpha \neq -1$ : khi $\alpha = -1$ , tức $f(x) = \dfrac{1}{x} = x^{-1}$ , công thức $\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$ có mẫu bằng 0 và mất nghĩa — đây chính là trường hợp riêng phải dùng $\ln|x|$ thay vì công thức luỹ thừa thông thường.

Hai dòng cuối là phần học sinh hay quên vì ít gặp hơn: chúng chính là đạo hàm của $\tan x$ và $\cot x$ đọc ngược lại, nên nếu em nhớ đúng bảng đạo hàm lượng giác của lớp 11 thì hai công thức này không có gì mới, chỉ là cách nhìn khác của cùng một sự thật toán học. Riêng công thức luỹ thừa cần chú ý điều kiện $\alpha \neq -1$: khi $\alpha = -1$, tức $f(x) = \dfrac{1}{x} = x^{-1}$, công thức $\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$ có mẫu bằng 0 và mất nghĩa — đây chính là trường hợp riêng phải dùng $\ln|x|$ thay vì công thức luỹ thừa thông thường.

Mở rộng cho hàm hợp tuyến tính f(ax+b)

Đề thi hiếm khi hỏi trực tiếp $\int \cos x\,dx$ — thường gặp hơn là $\int \cos(2x+1)\,dx$ . Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ và $a \neq 0$ , thì bằng quy tắc đạo hàm hàm hợp, $\left[\dfrac{1}{a}F(ax+b)\right]' = \dfrac{1}{a}\cdot F'(ax+b)\cdot a = f(ax+b)$ . Vậy $\int f(ax+b)\,dx = \dfrac{1}{a}F(ax+b) + C$ : em chỉ cần thay $x$ bằng $ax+b$ trong nguyên hàm gốc, rồi chia thêm cho hệ số $a$ .

Đề thi hiếm khi hỏi trực tiếp $\int \cos x\,dx$ — thường gặp hơn là $\int \cos(2x+1)\,dx$. Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ và $a \neq 0$, thì bằng quy tắc đạo hàm hàm hợp, $\left[\dfrac{1}{a}F(ax+b)\right]' = \dfrac{1}{a}\cdot F'(ax+b)\cdot a = f(ax+b)$. Vậy $\int f(ax+b)\,dx = \dfrac{1}{a}F(ax+b) + C$: em chỉ cần thay $x$ bằng $ax+b$ trong nguyên hàm gốc, rồi chia thêm cho hệ số $a$.

Quy trình dùng chung cho mọi dạng bảng nguyên hàm mở rộng.

Ví dụ

Áp dụng công thức mở rộng với hàm luỹ thừa

1
Tìm họ nguyên hàm của $f(x) = (2x+1)^4$ .
Tìm họ nguyên hàm của $f(x) = (2x+1)^4$.
2
Đây là dạng $f(ax+b)$ với hàm gốc $u^4$ , $a = 2$ , $b = 1$ . Nguyên hàm gốc là $\int u^4\,du = \dfrac{u^5}{5} + C$ .
Đây là dạng $f(ax+b)$ với hàm gốc $u^4$, $a = 2$, $b = 1$. Nguyên hàm gốc là $\int u^4\,du = \dfrac{u^5}{5} + C$.
3
Thay $u$ bởi $2x+1$ rồi chia cho $a=2$ : $\int (2x+1)^4\,dx = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(2x+1)^5}{5} + C = \dfrac{(2x+1)^5}{10} + C$ .
Thay $u$ bởi $2x+1$ rồi chia cho $a=2$: $\int (2x+1)^4\,dx = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(2x+1)^5}{5} + C = \dfrac{(2x+1)^5}{10} + C$.
4
$\left[\dfrac{(2x+1)^5}{10}\right]' = \dfrac{5(2x+1)^4 \cdot 2}{10} = (2x+1)^4$ , đúng với $f(x)$ .
$\left[\dfrac{(2x+1)^5}{10}\right]' = \dfrac{5(2x+1)^4 \cdot 2}{10} = (2x+1)^4$, đúng với $f(x)$.
5
Vậy $\int (2x+1)^4\,dx = \dfrac{(2x+1)^5}{10} + C$ .
Vậy $\int (2x+1)^4\,dx = \dfrac{(2x+1)^5}{10} + C$.

Ví dụ

Bài toán thi: nguyên hàm hàm số mũ thoả điều kiện cho trước

1
Tìm nguyên hàm $F(x)$ của $f(x) = e^{3x-2}$ , biết $F\left(\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{5}{3}$ .
Tìm nguyên hàm $F(x)$ của $f(x) = e^{3x-2}$, biết $F\left(\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{5}{3}$.
2
Với $a=3, b=-2$ : $\int e^{3x-2}\,dx = \dfrac{1}{3}e^{3x-2} + C$ .
Với $a=3, b=-2$: $\int e^{3x-2}\,dx = \dfrac{1}{3}e^{3x-2} + C$.
3
Tại $x = \dfrac{2}{3}$ : số mũ $3x-2 = 3\cdot\dfrac{2}{3} - 2 = 0$ , nên $F\left(\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{1}{3}e^0 + C = \dfrac{1}{3} + C$ . Theo đề, $\dfrac{1}{3} + C = \dfrac{5}{3}$ , suy ra $C = \dfrac{4}{3}$ .
Tại $x = \dfrac{2}{3}$: số mũ $3x-2 = 3\cdot\dfrac{2}{3} - 2 = 0$, nên $F\left(\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{1}{3}e^0 + C = \dfrac{1}{3} + C$. Theo đề, $\dfrac{1}{3} + C = \dfrac{5}{3}$, suy ra $C = \dfrac{4}{3}$.
4
Vậy $F(x) = \dfrac{1}{3}e^{3x-2} + \dfrac{4}{3}$ .
Vậy $F(x) = \dfrac{1}{3}e^{3x-2} + \dfrac{4}{3}$.

Đường cong dưới đây chính là đồ thị $F(x)$ vừa tìm được. Điểm đánh dấu $\left(\dfrac{2}{3}; \dfrac{5}{3}\right)$ là điều kiện đề bài cho — đường cong bắt buộc phải đi qua đúng điểm đó, và chính điều kiện này đã chọn ra một nguyên hàm duy nhất trong cả họ nguyên hàm của $e^{3x-2}$ .

Điều kiện F(2/3)=5/3 chọn đúng một nguyên hàm trong họ nguyên hàm của f(x)=e^(3x-2).

Ví dụ

Bài toán tổng hợp: kết hợp nhiều dòng trong bảng nguyên hàm mở rộng

1
Tìm họ nguyên hàm của $f(x) = 4\cos(2x) - e^{-x} + (5x-1)^2$ .
Tìm họ nguyên hàm của $f(x) = 4\cos(2x) - e^{-x} + (5x-1)^2$.
2
Ta có $\int f(x)\,dx = 4\int \cos(2x)\,dx - \int e^{-x}\,dx + \int (5x-1)^2\,dx$ , tách thành ba hạng tử độc lập, mỗi hạng tử là một dạng $f(ax+b)$ khác nhau.
Ta có $\int f(x)\,dx = 4\int \cos(2x)\,dx - \int e^{-x}\,dx + \int (5x-1)^2\,dx$, tách thành ba hạng tử độc lập, mỗi hạng tử là một dạng $f(ax+b)$ khác nhau.
3
Hạng tử 1 ( $a=2$ ): $\int \cos(2x)\,dx = \dfrac{1}{2}\sin(2x)+C_1$ . Hạng tử 2 ( $a=-1$ ): $\int e^{-x}\,dx = \dfrac{1}{-1}e^{-x}+C_2 = -e^{-x}+C_2$ . Hạng tử 3 ( $a=5$ ): $\int (5x-1)^2\,dx = \dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{(5x-1)^3}{3}+C_3 = \dfrac{(5x-1)^3}{15}+C_3$ .
Hạng tử 1 ($a=2$): $\int \cos(2x)\,dx = \dfrac{1}{2}\sin(2x)+C_1$. Hạng tử 2 ($a=-1$): $\int e^{-x}\,dx = \dfrac{1}{-1}e^{-x}+C_2 = -e^{-x}+C_2$. Hạng tử 3 ($a=5$): $\int (5x-1)^2\,dx = \dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{(5x-1)^3}{3}+C_3 = \dfrac{(5x-1)^3}{15}+C_3$.
4
Nhớ đề bài có hệ số $4$ ở hạng tử đầu và dấu trừ ở hạng tử thứ hai: $\int f(x)\,dx = 4\cdot\dfrac{1}{2}\sin(2x) - (-e^{-x}) + \dfrac{(5x-1)^3}{15} + C = 2\sin(2x) + e^{-x} + \dfrac{(5x-1)^3}{15} + C$ .
Nhớ đề bài có hệ số $4$ ở hạng tử đầu và dấu trừ ở hạng tử thứ hai: $\int f(x)\,dx = 4\cdot\dfrac{1}{2}\sin(2x) - (-e^{-x}) + \dfrac{(5x-1)^3}{15} + C = 2\sin(2x) + e^{-x} + \dfrac{(5x-1)^3}{15} + C$.
5
Đạo hàm ngược lại từng số hạng: $(2\sin(2x))' = 4\cos(2x)$ , $(e^{-x})' = -e^{-x}$ , $\left(\dfrac{(5x-1)^3}{15}\right)' = (5x-1)^2$ . Cộng lại đúng $4\cos(2x) - e^{-x} + (5x-1)^2 = f(x)$ .
Đạo hàm ngược lại từng số hạng: $(2\sin(2x))' = 4\cos(2x)$, $(e^{-x})' = -e^{-x}$, $\left(\dfrac{(5x-1)^3}{15}\right)' = (5x-1)^2$. Cộng lại đúng $4\cos(2x) - e^{-x} + (5x-1)^2 = f(x)$.
6
Vậy $\int f(x)\,dx = 2\sin(2x) + e^{-x} + \dfrac{(5x-1)^3}{15} + C$ . Bài này cho thấy một câu trắc nghiệm thực tế thường trộn ba, bốn dòng bảng nguyên hàm cùng lúc, nên phải xử lí độc lập từng hạng tử rồi mới cộng kết quả — không được gộp hệ số $a$ của các hạng tử khác nhau lại với nhau.
Vậy $\int f(x)\,dx = 2\sin(2x) + e^{-x} + \dfrac{(5x-1)^3}{15} + C$. Bài này cho thấy một câu trắc nghiệm thực tế thường trộn ba, bốn dòng bảng nguyên hàm cùng lúc, nên phải xử lí độc lập từng hạng tử rồi mới cộng kết quả — không được gộp hệ số $a$ của các hạng tử khác nhau lại với nhau.

Công thức mở rộng $\int f(ax+b)\,dx = \dfrac{1}{a}F(ax+b)+C$ chỉ đúng khi biểu thức bên trong ngoặc là một hàm bậc nhất $ax+b$ với $a$ là hằng số. Nếu biểu thức bên trong là một hàm số của $x$ (chẳng hạn $x^2$ hay $\sin x$ ), đạo hàm của nó theo quy tắc hàm hợp không còn là hằng số $a$ nữa, và công thức chia đơn giản này không áp dụng được — đó chính là ranh giới giữa bài học hôm nay và kĩ thuật đổi biến số ở bài tiếp theo.

Công thức mở rộng $\int f(ax+b)\,dx = \dfrac{1}{a}F(ax+b)+C$ chỉ đúng khi biểu thức bên trong ngoặc là một hàm bậc nhất $ax+b$ với $a$ là hằng số. Nếu biểu thức bên trong là một hàm số của $x$ (chẳng hạn $x^2$ hay $\sin x$), đạo hàm của nó theo quy tắc hàm hợp không còn là hằng số $a$ nữa, và công thức chia đơn giản này không áp dụng được — đó chính là ranh giới giữa bài học hôm nay và kĩ thuật đổi biến số ở bài tiếp theo.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Bẫy hay gặp

Sai lầm thường gặp: quên chia cho hệ số $a$ khi $x$ trong đề bài đã được thay bằng $ax+b$ , ví dụ viết $\int (2x+1)^4\,dx = \dfrac{(2x+1)^5}{5}+C$ mà bỏ quên thừa số $\dfrac{1}{2}$ . Luôn kiểm tra lại bằng cách đạo hàm kết quả — nếu đạo hàm ra đúng $f(x)$ thì hằng số chia mới chính xác.

Sai lầm thường gặp: quên chia cho hệ số $a$ khi $x$ trong đề bài đã được thay bằng $ax+b$, ví dụ viết $\int (2x+1)^4\,dx = \dfrac{(2x+1)^5}{5}+C$ mà bỏ quên thừa số $\dfrac{1}{2}$. Luôn kiểm tra lại bằng cách đạo hàm kết quả — nếu đạo hàm ra đúng $f(x)$ thì hằng số chia mới chính xác.

Kiểm tra nhanh

Tóm tắt

Bảng nguyên hàm cơ bản đảo ngược đúng bảng đạo hàm quen thuộc: luỹ thừa, $\dfrac{1}{x}$ , $e^x$ , $\sin x$ , $\cos x$ , $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ , $\dfrac{1}{\sin^2 x}$ . Khi biến $x$ được thay bằng biểu thức bậc nhất $ax+b$ , công thức mở rộng $\int f(ax+b)\,dx = \dfrac{1}{a}F(ax+b)+C$ cho phép tính ngay mà không cần đổi biến số đầy đủ — nhưng chỉ áp dụng được khi biểu thức bên trong đúng dạng bậc nhất, không phải một hàm hợp phức tạp hơn. Khi một câu hỏi trộn nhiều hạng tử với nhiều hệ số $a$ khác nhau, cách an toàn nhất vẫn là xử lí độc lập từng hạng tử rồi mới cộng kết quả, đúng như Ví dụ 3 vừa làm — gộp hệ số quá sớm là nguồn sai sót phổ biến nhất ở dạng bài này.

Bảng nguyên hàm cơ bản đảo ngược đúng bảng đạo hàm quen thuộc: luỹ thừa, $\dfrac{1}{x}$, $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\dfrac{1}{\cos^2 x}$, $\dfrac{1}{\sin^2 x}$. Khi biến $x$ được thay bằng biểu thức bậc nhất $ax+b$, công thức mở rộng $\int f(ax+b)\,dx = \dfrac{1}{a}F(ax+b)+C$ cho phép tính ngay mà không cần đổi biến số đầy đủ — nhưng chỉ áp dụng được khi biểu thức bên trong đúng dạng bậc nhất, không phải một hàm hợp phức tạp hơn. Khi một câu hỏi trộn nhiều hạng tử với nhiều hệ số $a$ khác nhau, cách an toàn nhất vẫn là xử lí độc lập từng hạng tử rồi mới cộng kết quả, đúng như Ví dụ 3 vừa làm — gộp hệ số quá sớm là nguồn sai sót phổ biến nhất ở dạng bài này.

Khi biểu thức bên trong hàm hợp không còn là bậc nhất — chẳng hạn $x \cdot e^{x^2}$ , nơi số mũ là $x^2$ chứ không phải $ax+b$ — công thức mở rộng ở bài này không dùng được nữa, vì đạo hàm của $x^2$ không phải một hằng số cố định để chia ra ngoài. Bài tiếp theo xây dựng kĩ thuật đổi biến số, cách xử lí tổng quát cho mọi dạng hàm hợp, kể cả khi phần bên trong phức tạp hơn một biểu thức bậc nhất.

Khi biểu thức bên trong hàm hợp không còn là bậc nhất — chẳng hạn $x \cdot e^{x^2}$, nơi số mũ là $x^2$ chứ không phải $ax+b$ — công thức mở rộng ở bài này không dùng được nữa, vì đạo hàm của $x^2$ không phải một hằng số cố định để chia ra ngoài. Bài tiếp theo xây dựng kĩ thuật đổi biến số, cách xử lí tổng quát cho mọi dạng hàm hợp, kể cả khi phần bên trong phức tạp hơn một biểu thức bậc nhất.