Bài học

Ôn tập: chọn đúng phương pháp tính nguyên hàm và tích phân

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận diện nhanh nên dùng bảng nguyên hàm mở rộng hay đổi biến số cho một bài toán chưa quen thuộc, và xử lí đúng dạng câu hỏi trắc nghiệm bốn lựa chọn cùng câu đúng/sai bốn ý theo cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT 2025.

Kiến thức nền cần nhớ

Năm bài trước đã dạy đủ hai công cụ: bảng nguyên hàm cơ bản và mở rộng (Chương 1, 2), và đổi biến số (Chương 3, 5) — cả cho họ nguyên hàm lẫn tích phân xác định (prior-grade trong cùng khoá). Cái còn thiếu không phải một công thức mới, mà là phản xạ: nhìn một biểu thức lần đầu, chọn đúng công cụ trong vài giây, không thử sai lần lượt từng cách.

Khởi động

Đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025 gồm ba phần: Phần I trắc nghiệm 4 lựa chọn, Phần II đúng/sai (4 ý mỗi câu, chấm điểm từng phần), Phần III trả lời ngắn. Bài này luyện Phần I và Phần II cho chủ đề nguyên hàm — tích phân; bài sau luyện Phần III và một bài toán tổng hợp.

Không có công thức nào bảo em ngay lập tức công cụ nào đúng — phản xạ này chỉ đến từ luyện tập đủ nhiều dạng, đúng như những gì sáu bài trước đã cung cấp. Bài ôn tập này không dạy thêm kiến thức mới, mà rèn đúng phản xạ nhận diện đó qua các câu hỏi trộn lẫn nhiều dạng, giống hệt cách một đề thi thật sẽ trộn.

Bảng nhận diện nhanh

Trước một biểu thức cần tính nguyên hàm, hỏi đúng hai câu theo thứ tự: Thứ nhất, biểu thức có khớp trực tiếp một dòng trong bảng nguyên hàm cơ bản hoặc mở rộng $f(ax+b)$ không? Nếu có, dùng ngay Chương 1–2, không cần công cụ nặng hơn. Thứ hai, nếu không, biểu thức có phải "một hàm số theo $g(x)$ " nhân với đúng đạo hàm $g'(x)$ (sai khác hằng số) không? Nếu có, dùng đổi biến số (Chương 3). Nếu cả hai câu trên đều không khớp, biểu thức thuộc dạng chưa được học ở khoá này. Quy trình này áp dụng y hệt cho cả họ nguyên hàm và tích phân xác định, chỉ khác ở bước cuối (cộng $C$ hay thay cận).

Trước một biểu thức cần tính nguyên hàm, hỏi đúng hai câu theo thứ tự: Thứ nhất, biểu thức có khớp trực tiếp một dòng trong bảng nguyên hàm cơ bản hoặc mở rộng $f(ax+b)$ không? Nếu có, dùng ngay Chương 1–2, không cần công cụ nặng hơn. Thứ hai, nếu không, biểu thức có phải "một hàm số theo $g(x)$" nhân với đúng đạo hàm $g'(x)$ (sai khác hằng số) không? Nếu có, dùng đổi biến số (Chương 3). Nếu cả hai câu trên đều không khớp, biểu thức thuộc dạng chưa được học ở khoá này. Quy trình này áp dụng y hệt cho cả họ nguyên hàm và tích phân xác định, chỉ khác ở bước cuối (cộng $C$ hay thay cận).

Quy trình quyết định dùng chung cho mọi bài toán nguyên hàm và tích phân xác định trong khoá học.

Ví dụ

Trắc nghiệm: phân loại và giải nhanh trong cùng một câu

1
Tính (a) $\int (3x-1)^4\,dx$ ; (b) $\int x^2 e^{x^3}\,dx$ ; (c) $\int \dfrac{3x^2+2x}{x^3+x^2+1}\,dx$ .
Tính (a) $\int (3x-1)^4\,dx$; (b) $\int x^2 e^{x^3}\,dx$; (c) $\int \dfrac{3x^2+2x}{x^3+x^2+1}\,dx$.
2
Đây là dạng $f(ax+b)$ với hàm gốc $u^4$ : $\int (3x-1)^4\,dx = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{(3x-1)^5}{5} + C = \dfrac{(3x-1)^5}{15} + C$ .
Đây là dạng $f(ax+b)$ với hàm gốc $u^4$: $\int (3x-1)^4\,dx = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{(3x-1)^5}{5} + C = \dfrac{(3x-1)^5}{15} + C$.
3
Mũ $x^3$ có đạo hàm $3x^2$ , khớp với $x^2$ có sẵn — dùng đổi biến $u=x^3$ : $\int x^2 e^{x^3}\,dx = \dfrac{1}{3}e^{x^3} + C$ .
Mũ $x^3$ có đạo hàm $3x^2$, khớp với $x^2$ có sẵn — dùng đổi biến $u=x^3$: $\int x^2 e^{x^3}\,dx = \dfrac{1}{3}e^{x^3} + C$.
4
Mẫu số $x^3+x^2+1$ có đạo hàm $3x^2+2x$ , đúng bằng tử số — dùng đổi biến $u=x^3+x^2+1$ , $du=(3x^2+2x)\,dx$ : $\int \dfrac{3x^2+2x}{x^3+x^2+1}\,dx = \int \dfrac{du}{u} = \ln|x^3+x^2+1| + C$ .
Mẫu số $x^3+x^2+1$ có đạo hàm $3x^2+2x$, đúng bằng tử số — dùng đổi biến $u=x^3+x^2+1$, $du=(3x^2+2x)\,dx$: $\int \dfrac{3x^2+2x}{x^3+x^2+1}\,dx = \int \dfrac{du}{u} = \ln|x^3+x^2+1| + C$.
5
Đạo hàm ngược từng kết quả đều khớp đúng $f(x)$ ban đầu của mỗi câu — phép kiểm tra này nên làm với MỌI đáp án trắc nghiệm nếu còn thời gian, vì nó phát hiện gần như mọi lỗi tính toán.
Đạo hàm ngược từng kết quả đều khớp đúng $f(x)$ ban đầu của mỗi câu — phép kiểm tra này nên làm với MỌI đáp án trắc nghiệm nếu còn thời gian, vì nó phát hiện gần như mọi lỗi tính toán.

Ví dụ

Đúng/sai bốn ý: kiểm tra từng mệnh đề về tích phân

1
Cho $f(x) = x^2$ . Xét tính đúng/sai của bốn mệnh đề: (a) $F(x) = \dfrac{x^3}{3} + 5$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ ; (b) mọi nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ đều có dạng $\dfrac{x^3}{3} + C$ ; (c) $\int_0^3 x^2\,dx = 27$ ; (d) $\int_{-3}^3 x^2\,dx = 0$ .
Cho $f(x) = x^2$. Xét tính đúng/sai của bốn mệnh đề: (a) $F(x) = \dfrac{x^3}{3} + 5$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$; (b) mọi nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ đều có dạng $\dfrac{x^3}{3} + C$; (c) $\int_0^3 x^2\,dx = 27$; (d) $\int_{-3}^3 x^2\,dx = 0$.
2
$F'(x) = x^2 = f(x)$ với mọi $x$ , nên (a) ĐÚNG.
$F'(x) = x^2 = f(x)$ với mọi $x$, nên (a) ĐÚNG.
3
Theo tính chất họ nguyên hàm (Chương 1), hai nguyên hàm cùng một hàm số trên cùng một khoảng chỉ khác nhau hằng số, nên (b) ĐÚNG.
4
Nguyên hàm $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$ , nên $\int_0^3 x^2\,dx = \dfrac{27}{3} - 0 = 9$ , không phải $27$ . Sai lầm phổ biến ở đây là quên chia cho 3 khi tính $x^3$ tại cận. Vậy (c) SAI.
Nguyên hàm $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$, nên $\int_0^3 x^2\,dx = \dfrac{27}{3} - 0 = 9$, không phải $27$. Sai lầm phổ biến ở đây là quên chia cho 3 khi tính $x^3$ tại cận. Vậy (c) SAI.
5
$f(x)=x^2 \ge 0$ với mọi $x$ , và không đồng nhất bằng 0 trên $[-3;3]$ , nên tích phân của nó không thể bằng 0 — đây là nhầm lẫn với tích phân của HÀM SỐ LẺ trên đoạn đối xứng, mà $x^2$ lại là hàm chẵn. Giá trị đúng là $\int_{-3}^3 x^2\,dx = 2\int_0^3 x^2\,dx = 18$ (do tính đối xứng). Vậy (d) SAI.
$f(x)=x^2 \ge 0$ với mọi $x$, và không đồng nhất bằng 0 trên $[-3;3]$, nên tích phân của nó không thể bằng 0 — đây là nhầm lẫn với tích phân của HÀM SỐ LẺ trên đoạn đối xứng, mà $x^2$ lại là hàm chẵn. Giá trị đúng là $\int_{-3}^3 x^2\,dx = 2\int_0^3 x^2\,dx = 18$ (do tính đối xứng). Vậy (d) SAI.
6
Vậy trong bốn mệnh đề, có đúng HAI mệnh đề đúng (a và b), hai mệnh đề sai (c và d).

Dạng đúng/sai bốn ý không kiểm tra kĩ thuật tính toán đơn thuần, mà kiểm tra hiểu bản chất: phân biệt họ nguyên hàm (một họ hàm số) với tích phân xác định (một con số), và không nhầm tính chất của hàm chẵn/hàm lẻ khi tích phân trên đoạn đối xứng. Cả hai nhầm lẫn ở mệnh đề (c) và (d) đều là lỗi khái niệm chứ không phải lỗi tính toán — loại lỗi nguy hiểm hơn vì học sinh thường tự tin là mình làm đúng.

Tính chất hàm chẵn/lẻ trên đoạn đối xứng đáng nhớ riêng vì xuất hiện lặp lại trong đề thi: nếu $f$ là hàm chẵn ( $f(-x)=f(x)$ ) thì $\int_{-a}^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$ (hai nửa đối xứng cộng dồn vào nhau); nếu $f$ là hàm lẻ ( $f(-x)=-f(x)$ ) thì $\int_{-a}^a f(x)\,dx=0$ (hai nửa triệt tiêu lẫn nhau). Mệnh đề (d) ở Ví dụ 2 gán nhầm tính chất hàm lẻ cho $f(x)=x^2$ , vốn là hàm chẵn — luôn kiểm tra $f(-x)$ trước khi áp dụng một trong hai kết quả rút gọn này, vì áp dụng nhầm là lỗi khái niệm phổ biến nhất của dạng bài đối xứng.

Tính chất hàm chẵn/lẻ trên đoạn đối xứng đáng nhớ riêng vì xuất hiện lặp lại trong đề thi: nếu $f$ là hàm chẵn ($f(-x)=f(x)$) thì $\int_{-a}^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$ (hai nửa đối xứng cộng dồn vào nhau); nếu $f$ là hàm lẻ ($f(-x)=-f(x)$) thì $\int_{-a}^a f(x)\,dx=0$ (hai nửa triệt tiêu lẫn nhau). Mệnh đề (d) ở Ví dụ 2 gán nhầm tính chất hàm lẻ cho $f(x)=x^2$, vốn là hàm chẵn — luôn kiểm tra $f(-x)$ trước khi áp dụng một trong hai kết quả rút gọn này, vì áp dụng nhầm là lỗi khái niệm phổ biến nhất của dạng bài đối xứng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Bẫy hay gặp

Sai lầm thường gặp trong câu đúng/sai: chỉ kiểm tra được một, hai mệnh đề rồi đoán các ý còn lại, thay vì tính đầy đủ cả bốn ý độc lập. Đề thi chấm điểm từng phần theo số ý đúng, nên bỏ qua một ý dễ (như mệnh đề (a) ở Ví dụ 2, chỉ cần đạo hàm ngược một dòng) để dồn thời gian cho ý khó là một chiến lược làm bài tồi — luôn xử lí ý dễ trước để chắc điểm.

Bốn dấu hiệu đổi biến hay gặp nhất trong đề thi đáng ghi nhớ lại một lần nữa ở đây, vì đây chính là công cụ thứ hai và cũng là công cụ khó nhận diện hơn bảng cơ bản/mở rộng: (1) mũ của $e$ hay cơ số luỹ thừa là một đa thức bậc cao hơn 1, và đạo hàm của đa thức đó xuất hiện bên ngoài (dạng $x^k e^{g(x)}$ ); (2) luỹ thừa của $\sin x$ hoặc $\cos x$ nhân với đúng hàm lượng giác còn lại (dạng $\sin^n x \cos x$ hoặc ngược lại); (3) phân thức có tử số là đạo hàm (hoặc tỉ lệ với đạo hàm) của mẫu số (dạng $\dfrac{g'(x)}{g(x)}$ , cho kết quả chứa $\ln$ ); và (4) tỉ số $\dfrac{\sin x}{\cos x}$ hay $\dfrac{\cos x}{\sin x}$ , vốn cũng là một trường hợp riêng của dạng (3). Bốn dấu hiệu này lặp lại xuyên suốt các chương trước — thuộc lòng chúng nhanh hơn nhiều so với thử đặt $u$ ngẫu nhiên rồi kiểm tra xem có khớp không.

Bốn dấu hiệu đổi biến hay gặp nhất trong đề thi đáng ghi nhớ lại một lần nữa ở đây, vì đây chính là công cụ thứ hai và cũng là công cụ khó nhận diện hơn bảng cơ bản/mở rộng: (1) mũ của $e$ hay cơ số luỹ thừa là một đa thức bậc cao hơn 1, và đạo hàm của đa thức đó xuất hiện bên ngoài (dạng $x^k e^{g(x)}$); (2) luỹ thừa của $\sin x$ hoặc $\cos x$ nhân với đúng hàm lượng giác còn lại (dạng $\sin^n x \cos x$ hoặc ngược lại); (3) phân thức có tử số là đạo hàm (hoặc tỉ lệ với đạo hàm) của mẫu số (dạng $\dfrac{g'(x)}{g(x)}$, cho kết quả chứa $\ln$); và (4) tỉ số $\dfrac{\sin x}{\cos x}$ hay $\dfrac{\cos x}{\sin x}$, vốn cũng là một trường hợp riêng của dạng (3). Bốn dấu hiệu này lặp lại xuyên suốt các chương trước — thuộc lòng chúng nhanh hơn nhiều so với thử đặt $u$ ngẫu nhiên rồi kiểm tra xem có khớp không.

Kiểm tra nhanh

Tóm tắt

Hai câu hỏi nhận diện theo thứ tự — khớp bảng cơ bản/mở rộng? hay có quan hệ đạo hàm giữa các thừa số (đổi biến)? — thay thế việc thử sai từng công cụ. Câu đúng/sai bốn ý kiểm tra hiểu khái niệm (họ nguyên hàm khác tích phân xác định thế nào, tính chất hàm chẵn/lẻ trên đoạn đối xứng) nhiều hơn là kĩ năng tính toán thuần tuý, và luôn nên xử lí đủ cả bốn ý độc lập, không bỏ sót ý dễ.

Một chiến lược làm bài đáng ghi nhớ cho Phần I và Phần II: với trắc nghiệm bốn lựa chọn, luôn kiểm tra lại đáp án bằng đạo hàm ngược nếu còn thời gian, vì việc này nhanh hơn nhiều so với giải lại từ đầu và bắt được hầu hết lỗi tính toán. Với đúng/sai bốn ý, tách bài toán thành bốn câu hỏi độc lập trong đầu, giải từng ý một cách tách bạch thay vì cố gắng nhìn ra quy luật chung cho cả bốn ý cùng lúc — quy luật chung, nếu có, sẽ tự hiện ra sau khi đã giải xong từng ý riêng lẻ.

Bài cuối cùng của khoá học chuyển sang dạng trả lời ngắn (Phần III) và một bài toán tổng hợp đòi hỏi kết hợp nhiều kĩ thuật trong cùng một lời giải — đúng mức độ một câu hỏi khó cuối đề thi tốt nghiệp THPT.