Bài học

Tích phân xác định: định nghĩa, tính chất và công thức Newton–Leibniz

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu đúng công thức Newton–Leibniz để tính tích phân xác định, nêu và vận dụng được các tính chất cơ bản (tích phân trên một đoạn suy biến, đảo cận, tuyến tính, cộng đoạn), và giải một bài toán thực tế dùng tích phân xác định để tính quãng đường từ vận tốc.

Kiến thức nền cần nhớ

Ba bài trước đã xây xong hộp công cụ tính họ nguyên hàm: bảng cơ bản, công thức mở rộng, và đổi biến số (prior-grade trong cùng chương). Bài này chuyển hướng: thay vì hỏi "họ nguyên hàm là gì", ta hỏi "giá trị của một đại lượng tích luỹ trên một đoạn $[a;b]$ cụ thể là bao nhiêu" — câu trả lời không còn là một họ hàm số mà là một con số xác định. Đây là bước chuyển quan trọng nhất của cả chủ đề: từ nay, mọi kĩ thuật tìm nguyên hàm đã học chỉ còn là bước trung gian để đi đến một con số cuối cùng, và chính con số đó mới là thứ đề thi thường hỏi trực tiếp.

Khởi động

Một chất điểm có vận tốc thay đổi liên tục trong khoảng thời gian từ $t=0$ đến $t=4$ giây. Quãng đường đi được trong đúng khoảng thời gian đó là một con số cụ thể, không phải một họ công thức chứa hằng số $C$ . Làm sao từ họ nguyên hàm của vận tốc, ta lấy ra đúng con số đó?

Một chất điểm có vận tốc thay đổi liên tục trong khoảng thời gian từ $t=0$ đến $t=4$ giây. Quãng đường đi được trong đúng khoảng thời gian đó là một con số cụ thể, không phải một họ công thức chứa hằng số $C$. Làm sao từ họ nguyên hàm của vận tốc, ta lấy ra đúng con số đó?

Định nghĩa và công thức Newton–Leibniz

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $F(x)$ là một nguyên hàm bất kì của $f(x)$ trên đoạn đó. Tích phân xác định của $f(x)$ trên $[a;b]$ , kí hiệu $\int_a^b f(x)\,dx$ , được định nghĩa bằng công thức Newton–Leibniz: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ , thường viết gọn là $F(x)\Big|_a^b$ . Điều đặc biệt quan trọng: kết quả $F(b)-F(a)$ không phụ thuộc vào việc chọn nguyên hàm $F$ nào, vì nếu thay $F$ bằng $F+C$ thì $(F(b)+C) - (F(a)+C) = F(b)-F(a)$ vẫn không đổi — hằng số $C$ luôn triệt tiêu. Đây là lí do khi tính tích phân xác định, em không cần viết " $+C$ " — và cũng là lí do kết quả là MỘT con số, không phải một họ hàm số.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $F(x)$ là một nguyên hàm bất kì của $f(x)$ trên đoạn đó. Tích phân xác định của $f(x)$ trên $[a;b]$, kí hiệu $\int_a^b f(x)\,dx$, được định nghĩa bằng công thức Newton–Leibniz: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, thường viết gọn là $F(x)\Big|_a^b$. Điều đặc biệt quan trọng: kết quả $F(b)-F(a)$ không phụ thuộc vào việc chọn nguyên hàm $F$ nào, vì nếu thay $F$ bằng $F+C$ thì $(F(b)+C) - (F(a)+C) = F(b)-F(a)$ vẫn không đổi — hằng số $C$ luôn triệt tiêu. Đây là lí do khi tính tích phân xác định, em không cần viết "$+C$" — và cũng là lí do kết quả là MỘT con số, không phải một họ hàm số.

Bốn tính chất dùng thường xuyên: (1) $\int_a^a f(x)\,dx = 0$ (đoạn suy biến, không có gì để tích luỹ); (2) $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$ (đảo cận thì đổi dấu); (3) tính tuyến tính $\int_a^b [f(x)\pm g(x)]\,dx = \int_a^b f(x)\,dx \pm \int_a^b g(x)\,dx$ và $\int_a^b kf(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx$ ; (4) tính cộng đoạn $\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx$ với $a<b<c$ .

Bốn tính chất dùng thường xuyên: (1) $\int_a^a f(x)\,dx = 0$ (đoạn suy biến, không có gì để tích luỹ); (2) $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$ (đảo cận thì đổi dấu); (3) tính tuyến tính $\int_a^b [f(x)\pm g(x)]\,dx = \int_a^b f(x)\,dx \pm \int_a^b g(x)\,dx$ và $\int_a^b kf(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx$; (4) tính cộng đoạn $\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx$ với $a<b<c$.

Hình bên minh hoạ ý nghĩa hình học của $\int_0^2 (x^2+1)\,dx$ : đường cong $y=x^2+1$ cùng hai đoạn thẳng đứng tại $x=0$ và $x=2$ (từ trục hoành lên đến đường cong) khoanh vùng phần diện tích mà tích phân này tính — hai cận $a=0, b=2$ chính là hai điểm đánh dấu trên trục hoành, còn hai đoạn thẳng đứng là ranh giới trái và phải của miền lấy tích phân.

Hình bên minh hoạ ý nghĩa hình học của $\int_0^2 (x^2+1)\,dx$: đường cong $y=x^2+1$ cùng hai đoạn thẳng đứng tại $x=0$ và $x=2$ (từ trục hoành lên đến đường cong) khoanh vùng phần diện tích mà tích phân này tính — hai cận $a=0, b=2$ chính là hai điểm đánh dấu trên trục hoành, còn hai đoạn thẳng đứng là ranh giới trái và phải của miền lấy tích phân.

Tích phân xác định trên [0;2] ứng với miền giới hạn bởi đường cong, trục hoành và hai đường thẳng đứng x=a, x=b.

Ví dụ

Tính tích phân xác định của một đa thức

1
Tính $\int_0^2 (x^2+1)\,dx$ .
Tính $\int_0^2 (x^2+1)\,dx$.
2
Một nguyên hàm của $f(x)=x^2+1$ là $F(x) = \dfrac{x^3}{3}+x$ .
Một nguyên hàm của $f(x)=x^2+1$ là $F(x) = \dfrac{x^3}{3}+x$.
3
$\int_0^2 (x^2+1)\,dx = F(2) - F(0) = \left(\dfrac{8}{3}+2\right) - (0+0) = \dfrac{8}{3} + 2 = \dfrac{14}{3}$ .
$\int_0^2 (x^2+1)\,dx = F(2) - F(0) = \left(\dfrac{8}{3}+2\right) - (0+0) = \dfrac{8}{3} + 2 = \dfrac{14}{3}$.
4
Vậy $\int_0^2 (x^2+1)\,dx = \dfrac{14}{3}$ .
Vậy $\int_0^2 (x^2+1)\,dx = \dfrac{14}{3}$.

Ví dụ

Tính tích phân xác định của hàm lượng giác

1
Tính $\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx$ .
Tính $\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx$.
2
Một nguyên hàm của $\cos x$ là $F(x) = \sin x$ .
Một nguyên hàm của $\cos x$ là $F(x) = \sin x$.
3
$\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx = \sin\dfrac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$ .
$\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx = \sin\dfrac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$.
4
Vậy $\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx = 1$ .
Vậy $\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx = 1$.

Ví dụ

Bài toán thực tế: quãng đường từ vận tốc

1
Một chất điểm có vận tốc $v(t) = 4t - t^2$ (m/s) trên đoạn thời gian $[0;4]$ (giây). Tính quãng đường chất điểm đi được.
Một chất điểm có vận tốc $v(t) = 4t - t^2$ (m/s) trên đoạn thời gian $[0;4]$ (giây). Tính quãng đường chất điểm đi được.
2
$v(t) = t(4-t)$ , có nghiệm $t=0$ và $t=4$ ; với $0 \le t \le 4$ thì $t \ge 0$ và $4-t \ge 0$ nên $v(t) \ge 0$ trên cả đoạn — chất điểm luôn di chuyển cùng một chiều, không đổi hướng.
$v(t) = t(4-t)$, có nghiệm $t=0$ và $t=4$; với $0 \le t \le 4$ thì $t \ge 0$ và $4-t \ge 0$ nên $v(t) \ge 0$ trên cả đoạn — chất điểm luôn di chuyển cùng một chiều, không đổi hướng.
3
Vì $v(t) \ge 0$ trên $[0;4]$ , quãng đường bằng đúng $s = \int_0^4 v(t)\,dt$ (không cần trị tuyệt đối vì không đổi chiều).
Vì $v(t) \ge 0$ trên $[0;4]$, quãng đường bằng đúng $s = \int_0^4 v(t)\,dt$ (không cần trị tuyệt đối vì không đổi chiều).
4
Một nguyên hàm của $v(t)=4t-t^2$ là $F(t) = 2t^2 - \dfrac{t^3}{3}$ . $s = F(4)-F(0) = \left(32 - \dfrac{64}{3}\right) - 0 = \dfrac{96-64}{3} = \dfrac{32}{3}$ .
Một nguyên hàm của $v(t)=4t-t^2$ là $F(t) = 2t^2 - \dfrac{t^3}{3}$. $s = F(4)-F(0) = \left(32 - \dfrac{64}{3}\right) - 0 = \dfrac{96-64}{3} = \dfrac{32}{3}$.
5
Vậy quãng đường chất điểm đi được là $\dfrac{32}{3} \approx 10,67$ m.
Vậy quãng đường chất điểm đi được là $\dfrac{32}{3} \approx 10,67$ m.

Ví dụ

Bài toán thi: tích phân của hàm số cho bởi nhiều công thức

1
Cho $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{nếu } x < 1 \\ 2x-1 & \text{nếu } x \ge 1 \end{cases}$ . Tính $\int_0^2 f(x)\,dx$ .
Cho $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{nếu } x < 1 \\ 2x-1 & \text{nếu } x \ge 1 \end{cases}$. Tính $\int_0^2 f(x)\,dx$.
2
Hàm số đổi công thức tại $x=1$ , một điểm nằm giữa hai cận $0$ và $2$ , nên phải dùng tính chất cộng đoạn, tách tích phân tại đúng điểm đổi công thức.
Hàm số đổi công thức tại $x=1$, một điểm nằm giữa hai cận $0$ và $2$, nên phải dùng tính chất cộng đoạn, tách tích phân tại đúng điểm đổi công thức.
3
$\int_0^2 f(x)\,dx = \int_0^1 x^2\,dx + \int_1^2 (2x-1)\,dx$ (đoạn đầu dùng công thức $x^2$ , đoạn sau dùng công thức $2x-1$ , đúng miền xác định của từng công thức).
$\int_0^2 f(x)\,dx = \int_0^1 x^2\,dx + \int_1^2 (2x-1)\,dx$ (đoạn đầu dùng công thức $x^2$, đoạn sau dùng công thức $2x-1$, đúng miền xác định của từng công thức).
4
$\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{x^3}{3}\Big|_0^1 = \dfrac{1}{3}$ . $\int_1^2 (2x-1)\,dx = (x^2-x)\Big|_1^2 = (4-2)-(1-1) = 2$ .
$\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{x^3}{3}\Big|_0^1 = \dfrac{1}{3}$. $\int_1^2 (2x-1)\,dx = (x^2-x)\Big|_1^2 = (4-2)-(1-1) = 2$.
5
Vậy $\int_0^2 f(x)\,dx = \dfrac{1}{3} + 2 = \dfrac{7}{3}$ .
Vậy $\int_0^2 f(x)\,dx = \dfrac{1}{3} + 2 = \dfrac{7}{3}$.

Dạng hàm số cho bởi nhiều công thức trên từng khoảng xuất hiện thường xuyên trong đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025, đúng tinh thần đánh giá năng lực: đề bài mô tả một tình huống có hai giai đoạn (ví dụ vận tốc tăng tốc rồi giữ đều), và học sinh phải tự nhận ra điểm chuyển giai đoạn để tách tích phân đúng chỗ, chứ không áp dụng máy móc một công thức duy nhất trên toàn bộ đoạn.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Bẫy hay gặp

Sai lầm thường gặp: dùng đúng tích phân xác định như bài toán quãng đường, nhưng quên kiểm tra dấu của $v(t)$ trên cả đoạn — nếu $v(t)$ đổi dấu (chất điểm đổi chiều chuyển động), quãng đường thực tế phải tính bằng $\int_a^b |v(t)|\,dt$ , tách theo từng đoạn $v(t)$ không đổi dấu, chứ không phải $\int_a^b v(t)\,dt$ đơn giản — vì phần âm sẽ trừ ngược lại phần dương, cho kết quả nhỏ hơn quãng đường thật.

Sai lầm thường gặp: dùng đúng tích phân xác định như bài toán quãng đường, nhưng quên kiểm tra dấu của $v(t)$ trên cả đoạn — nếu $v(t)$ đổi dấu (chất điểm đổi chiều chuyển động), quãng đường thực tế phải tính bằng $\int_a^b |v(t)|\,dt$, tách theo từng đoạn $v(t)$ không đổi dấu, chứ không phải $\int_a^b v(t)\,dt$ đơn giản — vì phần âm sẽ trừ ngược lại phần dương, cho kết quả nhỏ hơn quãng đường thật.

Kiểm tra nhanh

Tóm tắt

Tích phân xác định $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$ là một con số cụ thể, không phụ thuộc vào nguyên hàm $F$ được chọn vì hằng số $C$ luôn triệt tiêu khi lấy hiệu. Bốn tính chất — đoạn suy biến bằng 0, đảo cận đổi dấu, tuyến tính, cộng đoạn — cho phép tách và ghép các tích phân phức tạp thành các tích phân đơn giản hơn. Bài toán quãng đường từ vận tốc là ứng dụng vật lí trực tiếp, nhưng phải kiểm tra dấu của vận tốc trước khi áp dụng công thức, và khi hàm số đổi công thức giữa hai cận, tính chất cộng đoạn buộc phải tách tích phân đúng tại điểm đổi công thức.

Một điểm dễ gây nhầm lẫn giữa nguyên hàm và tích phân xác định: nguyên hàm $\int f(x)\,dx$ luôn là MỘT HỌ hàm số, mang biến $x$ và hằng số $C$ ; còn tích phân xác định $\int_a^b f(x)\,dx$ luôn là MỘT CON SỐ, không còn phụ thuộc biến $x$ nữa (biến $x$ chỉ là biến lấy tích phân, có thể đổi tên thành bất kì kí hiệu nào mà giá trị không đổi). Nhầm hai khái niệm này — chẳng hạn viết đáp số tích phân xác định còn mang theo " $+C$ " — là lỗi trình bày phổ biến cần tránh.

Một điểm dễ gây nhầm lẫn giữa nguyên hàm và tích phân xác định: nguyên hàm $\int f(x)\,dx$ luôn là MỘT HỌ hàm số, mang biến $x$ và hằng số $C$; còn tích phân xác định $\int_a^b f(x)\,dx$ luôn là MỘT CON SỐ, không còn phụ thuộc biến $x$ nữa (biến $x$ chỉ là biến lấy tích phân, có thể đổi tên thành bất kì kí hiệu nào mà giá trị không đổi). Nhầm hai khái niệm này — chẳng hạn viết đáp số tích phân xác định còn mang theo "$+C$" — là lỗi trình bày phổ biến cần tránh.

Công thức Newton–Leibniz đòi hỏi tìm một nguyên hàm $F(x)$ trước — nhưng tìm nguyên hàm không phải lúc nào cũng làm trực tiếp bằng bảng cơ bản. Bài tiếp theo đưa đổi biến số — kĩ thuật đã học ở Chương 3 — vào đúng bối cảnh tích phân xác định, với một bước mới: đổi cận theo biến mới.