Bài học

Các phép toán vectơ và tích vô hướng trong không gian

Mục tiêu và kiến thức nền

Học xong bài này, em cộng, trừ, nhân một vectơ với một số và tính tích vô hướng của hai vectơ trong không gian, rồi dùng tích vô hướng để kiểm tra hai vectơ có vuông góc hay không.

Bài học dựa trên vectơ trong mặt phẳng đã học ở lớp 10: một vectơ vẫn là một đoạn thẳng có hướng, vẫn cộng theo quy tắc hình bình hành, vẫn có tích vô hướng bằng tích hai độ dài nhân côsin góc xen giữa. Khác biệt duy nhất là mỗi vectơ bây giờ cần ba toạ độ để xác định vị trí trong không gian, thay vì hai.

Học xong bài này, em cộng, trừ, nhân một vectơ với một số và tính tích vô hướng của hai vectơ trong không gian, rồi dùng tích vô hướng để kiểm tra hai vectơ có vuông góc hay không. Bài học dựa trên vectơ trong mặt phẳng đã học ở lớp 10: một vectơ vẫn là một đoạn thẳng có hướng, vẫn cộng theo quy tắc hình bình hành, vẫn có tích vô hướng bằng tích hai độ dài nhân côsin góc xen giữa. Khác biệt duy nhất là mỗi vectơ bây giờ cần ba toạ độ để xác định vị trí trong không gian, thay vì hai.

Khởi động

Một cần cẩu xây dựng kéo một khối bê tông bằng hai sợi cáp chéo nhau, mỗi sợi treo từ một điểm khác nhau trên cột cẩu. Lực kéo của mỗi sợi cáp là một vectơ trong không gian ba chiều — không nằm gọn trên một mặt phẳng như các bài toán lực ở lớp 10. Muốn biết hai sợi cáp có vuông góc với nhau hay không để tính đúng lực phân bố lên cột, ta cần làm việc với vectơ trong không gian. Đó là nội dung của cả chương này.

Các phép toán trên vectơ trong không gian

Phép cộng và trừ hai vectơ thực hiện theo từng toạ độ: nếu $\vec a=(a_1;a_2;a_3)$ và $\vec b=(b_1;b_2;b_3)$ thì $\vec a+\vec b=(a_1+b_1;a_2+b_2;a_3+b_3), \quad \vec a-\vec b=(a_1-b_1;a_2-b_2;a_3-b_3).$ Nhân một vectơ với một số thực $k$ cũng thực hiện theo từng toạ độ: $k\vec a=(ka_1;ka_2;ka_3)$ . Về hình học, phép cộng vẫn tuân theo quy tắc hình bình hành — chỉ khác là hình bình hành đó bây giờ có thể nằm nghiêng trong không gian, không nhất thiết song song với một mặt phẳng toạ độ nào. Các tính chất quen thuộc vẫn giữ nguyên: giao hoán $\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$ , kết hợp, và $k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b$ — vì mỗi tính chất này đúng trên từng toạ độ riêng lẻ, nên đúng trên cả bộ ba toạ độ.

Trong không gian, một vectơ $\vec a$ được xác định bởi ba số thực, viết $\vec a=(a_1;a_2;a_3)$. Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi ba cặp toạ độ tương ứng bằng nhau — không còn cách nào khác để so sánh hai vectơ trong không gian, vì một hình vẽ phối cảnh luôn bóp méo độ dài và góc thật. Phép cộng và trừ hai vectơ thực hiện theo từng toạ độ: nếu $\vec a=(a_1;a_2;a_3)$ và $\vec b=(b_1;b_2;b_3)$ thì $$\vec a+\vec b=(a_1+b_1;a_2+b_2;a_3+b_3), \quad \vec a-\vec b=(a_1-b_1;a_2-b_2;a_3-b_3).$$ Nhân một vectơ với một số thực $k$ cũng thực hiện theo từng toạ độ: $k\vec a=(ka_1;ka_2;ka_3)$. Về hình học, phép cộng vẫn tuân theo quy tắc hình bình hành — chỉ khác là hình bình hành đó bây giờ có thể nằm nghiêng trong không gian, không nhất thiết song song với một mặt phẳng toạ độ nào. Các tính chất quen thuộc vẫn giữ nguyên: giao hoán $\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$, kết hợp, và $k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b$ — vì mỗi tính chất này đúng trên từng toạ độ riêng lẻ, nên đúng trên cả bộ ba toạ độ.

Lời giải có hình

Hai vectơ xuất phát từ gốc O

Bước 1

Dựng hệ trục Oxyz và đặt hai vectơ $\vec a=(2;-1;3)$ , $\vec b=(1;2;-2)$ từ gốc O — mút của $\vec a$ là điểm A′, mút của $\vec b$ là điểm B′.Dựng hệ trục Oxyz và đặt hai vectơ $\vec a=(2;-1;3)$, $\vec b=(1;2;-2)$ từ gốc O — mút của $\vec a$ là điểm A′, mút của $\vec b$ là điểm B′.

Quy trình xử lý một bài toán vectơ cho bằng toạ độ.

Ví dụ

Các phép toán cơ bản với hai vectơ cho bằng toạ độ

1
Cho $\vec a=(2;-1;3)$ và $\vec b=(1;2;-2)$ . Tính $\vec a+\vec b$ , $\vec a-\vec b$ , $2\vec a-3\vec b$ và tích vô hướng $\vec a\cdot\vec b$ .
Cho $\vec a=(2;-1;3)$ và $\vec b=(1;2;-2)$. Tính $\vec a+\vec b$, $\vec a-\vec b$, $2\vec a-3\vec b$ và tích vô hướng $\vec a\cdot\vec b$.
2
Ta có $\vec a+\vec b=(2+1;-1+2;3-2)=(3;1;1)$ . Tương tự, $\vec a-\vec b=(2-1;-1-2;3-(-2))=(1;-3;5)$ . Với $2\vec a-3\vec b$ : $2\vec a=(4;-2;6)$ , $3\vec b=(3;6;-6)$ , nên $2\vec a-3\vec b=(4-3;-2-6;6-(-6))=(1;-8;12)$ .
Ta có $\vec a+\vec b=(2+1;-1+2;3-2)=(3;1;1)$. Tương tự, $\vec a-\vec b=(2-1;-1-2;3-(-2))=(1;-3;5)$. Với $2\vec a-3\vec b$: $2\vec a=(4;-2;6)$, $3\vec b=(3;6;-6)$, nên $2\vec a-3\vec b=(4-3;-2-6;6-(-6))=(1;-8;12)$.
3
Theo công thức tích vô hướng theo toạ độ, $\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=2\cdot1+(-1)\cdot2+3\cdot(-2)=2-2-6=-6$ .
Theo công thức tích vô hướng theo toạ độ, $\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=2\cdot1+(-1)\cdot2+3\cdot(-2)=2-2-6=-6$.
4
Vậy $\vec a+\vec b=(3;1;1)$ , $\vec a-\vec b=(1;-3;5)$ , $2\vec a-3\vec b=(1;-8;12)$ và $\vec a\cdot\vec b=-6$ .
Vậy $\vec a+\vec b=(3;1;1)$, $\vec a-\vec b=(1;-3;5)$, $2\vec a-3\vec b=(1;-8;12)$ và $\vec a\cdot\vec b=-6$.

Tích vô hướng, độ dài vectơ và điều kiện vuông góc

Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian tính theo toạ độ giống hệt cách tính trong mặt phẳng, chỉ thêm một số hạng thứ ba: $\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.$ Độ dài của vectơ $\vec a$ là $|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ , và với hai vectơ khác $\vec 0$ , góc $\theta$ giữa chúng thoả $\cos\theta=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}$ .

Từ đó suy ra điều kiện quan trọng nhất của cả bài: $\vec a\perp\vec b \iff \vec a\cdot\vec b=0$ . Đây là công cụ nhanh nhất để kiểm tra vuông góc trong không gian — nhanh hơn nhiều so với dựng hình rồi đo góc, vì hình vẽ ba chiều trên giấy luôn bị biến dạng phối cảnh, còn tích vô hướng thì tính đúng tuyệt đối chỉ từ ba phép nhân và hai phép cộng.

Dấu của $\vec a\cdot\vec b$ còn cho biết loại góc mà không cần tính côsin đầy đủ: nếu tích vô hướng dương thì góc giữa hai vectơ là góc nhọn, nếu âm thì góc tù, nếu bằng 0 thì vuông góc. Lý do nằm ở chính công thức $\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$ : hai độ dài luôn dương, nên dấu của cả biểu thức chỉ phụ thuộc vào dấu của $\cos\theta$ , tức là phụ thuộc vào $\theta$ nhọn hay tù. Nhờ vậy, nhiều bài chỉ cần tính một tích vô hướng là kết luận được ngay tính chất góc, không phải giải phương trình lượng giác nào cả.

Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian tính theo toạ độ giống hệt cách tính trong mặt phẳng, chỉ thêm một số hạng thứ ba: $$\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.$$ Độ dài của vectơ $\vec a$ là $|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$, và với hai vectơ khác $\vec 0$, góc $\theta$ giữa chúng thoả $\cos\theta=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}$. Từ đó suy ra điều kiện quan trọng nhất của cả bài: $\vec a\perp\vec b \iff \vec a\cdot\vec b=0$. Đây là công cụ nhanh nhất để kiểm tra vuông góc trong không gian — nhanh hơn nhiều so với dựng hình rồi đo góc, vì hình vẽ ba chiều trên giấy luôn bị biến dạng phối cảnh, còn tích vô hướng thì tính đúng tuyệt đối chỉ từ ba phép nhân và hai phép cộng. Dấu của $\vec a\cdot\vec b$ còn cho biết loại góc mà không cần tính côsin đầy đủ: nếu tích vô hướng dương thì góc giữa hai vectơ là góc nhọn, nếu âm thì góc tù, nếu bằng 0 thì vuông góc. Lý do nằm ở chính công thức $\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$: hai độ dài luôn dương, nên dấu của cả biểu thức chỉ phụ thuộc vào dấu của $\cos\theta$, tức là phụ thuộc vào $\theta$ nhọn hay tù. Nhờ vậy, nhiều bài chỉ cần tính một tích vô hướng là kết luận được ngay tính chất góc, không phải giải phương trình lượng giác nào cả.

Ví dụ

Kiểm tra hai đoạn dây tín hiệu trong nhà kho

1
Trong một nhà kho, ba cảm biến nhiệt độ đặt tại $A(1;0;2)$ , $B(3;-1;4)$ , $C(0;2;1)$ (đơn vị mét). Kỹ sư dự định đi hai đoạn dây tín hiệu theo hướng $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ , và muốn hai đoạn dây vuông góc với nhau để dễ cố định vào khung trần vuông góc có sẵn. Kiểm tra xem dự định đó có thực hiện được không.
Trong một nhà kho, ba cảm biến nhiệt độ đặt tại $A(1;0;2)$, $B(3;-1;4)$, $C(0;2;1)$ (đơn vị mét). Kỹ sư dự định đi hai đoạn dây tín hiệu theo hướng $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$, và muốn hai đoạn dây vuông góc với nhau để dễ cố định vào khung trần vuông góc có sẵn. Kiểm tra xem dự định đó có thực hiện được không.
2
Ta có $\vec{AB}=B-A=(3-1;-1-0;4-2)=(2;-1;2)$ và $\vec{AC}=C-A=(0-1;2-0;1-2)=(-1;2;-1)$ .
Ta có $\vec{AB}=B-A=(3-1;-1-0;4-2)=(2;-1;2)$ và $\vec{AC}=C-A=(0-1;2-0;1-2)=(-1;2;-1)$.
3
$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=2\cdot(-1)+(-1)\cdot2+2\cdot(-1)=-2-2-2=-6$ .
$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=2\cdot(-1)+(-1)\cdot2+2\cdot(-1)=-2-2-2=-6$.
4
Vì $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=-6\neq0$ nên $\vec{AB}$ không vuông góc với $\vec{AC}$ . Vậy dự định đi dây theo hai hướng vuông góc này không thực hiện được với vị trí ba cảm biến đã cho — kỹ sư cần đổi hướng đi dây hoặc chấp nhận góc lệch giữa hai đoạn.
Vì $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=-6\neq0$ nên $\vec{AB}$ không vuông góc với $\vec{AC}$. Vậy dự định đi dây theo hai hướng vuông góc này không thực hiện được với vị trí ba cảm biến đã cho — kỹ sư cần đổi hướng đi dây hoặc chấp nhận góc lệch giữa hai đoạn.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Học sinh hay nhầm tích vô hướng $\vec a\cdot\vec b$ (kết quả là một số) với tích có hướng $\vec a\times\vec b$ (kết quả là một vectơ mới) học ở bài sau — hai phép toán khác nhau hoàn toàn về bản chất lẫn kết quả. Một lỗi khác là quên đổi dấu khi trừ toạ độ: $\vec a-\vec b$ phải trừ từng toạ độ tương ứng một lần duy nhất, không phải đổi dấu cả $\vec b$ rồi cộng thêm một lần nữa cho ra kết quả sai gấp đôi phần âm.

Kiểm tra nhanh

Tóm lại, vectơ trong không gian cộng, trừ, nhân với số theo từng toạ độ giống hệt vectơ trong mặt phẳng, chỉ thêm toạ độ thứ ba. Tích vô hướng $\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ vẫn là công cụ để tính độ dài, tính góc và kiểm tra vuông góc — đây là kiến thức nền cho toàn bộ chương Oxyz phía sau.

Bài sau đặt các vectơ này vào một hệ trục toạ độ Oxyz cụ thể, gắn với toạ độ điểm trong không gian, và giới thiệu một phép nhân vectơ thứ hai — tích có hướng — cho ra kết quả là một vectơ mới thay vì một số.