Bài học

Khoảng cách, trung điểm và trọng tâm trong Oxyz

Mục tiêu và kiến thức nền

Học xong bài này, em tính được khoảng cách giữa hai điểm, toạ độ trung điểm một đoạn thẳng và toạ độ trọng tâm một tam giác trong không gian Oxyz.

Bài này dùng lại đúng công thức độ dài vectơ đã học ở bài Hệ trục toạ độ — khoảng cách giữa hai điểm chính là độ dài vectơ nối chúng — và mở rộng thêm hai công thức mới cho hai điểm đặc biệt hay gặp: trung điểm và trọng tâm.

Học xong bài này, em tính được khoảng cách giữa hai điểm, toạ độ trung điểm một đoạn thẳng và toạ độ trọng tâm một tam giác trong không gian Oxyz. Bài này dùng lại đúng công thức độ dài vectơ đã học ở bài Hệ trục toạ độ — khoảng cách giữa hai điểm chính là độ dài vectơ nối chúng — và mở rộng thêm hai công thức mới cho hai điểm đặc biệt hay gặp: trung điểm và trọng tâm.

Khởi động

Ba trạm phát sóng wifi lắp trên trần một nhà xưởng ở ba vị trí khác nhau. Muốn tín hiệu toả đều đến mọi góc xưởng, kỹ thuật viên cần đặt thêm một bộ khuếch đại tín hiệu ở đúng vị trí "cân bằng" giữa ba trạm — không phải trung điểm của một cặp trạm bất kỳ, mà là điểm cân bằng của cả ba. Điểm đó gọi là trọng tâm, và toạ độ của nó tính được trực tiếp từ toạ độ ba trạm.

Khoảng cách, trung điểm và trọng tâm theo toạ độ

Khoảng cách giữa hai điểm $A(x_A;y_A;z_A)$ và $B(x_B;y_B;z_B)$ chính là độ dài vectơ $\vec{AB}$ đã học ở bài trước: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}.$ Trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ có toạ độ là trung bình cộng toạ độ hai đầu mút: $M=\left(\frac{x_A+x_B}{2};\ \frac{y_A+y_B}{2};\ \frac{z_A+z_B}{2}\right).$ Công thức này đến từ $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\dfrac12\vec{AB}$ : đi từ gốc O tới A, rồi đi thêm nửa quãng đường còn lại tới B.

Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ mở rộng ý tưởng đó cho ba điểm, lấy trung bình cộng theo từng toạ độ: $G=\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\ \frac{y_A+y_B+y_C}{3};\ \frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right).$ Một tính chất khác — không dùng để tính toạ độ G nhưng dùng để kiểm tra lại kết quả — là tổng ba vectơ từ G tới ba đỉnh luôn bằng vectơ-không: $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec0$ . Đây là một cách hiểu khác về "cân bằng": G là điểm duy nhất mà ba vectơ hướng tới ba đỉnh triệt tiêu lẫn nhau.

Còn một cách kiểm tra thứ ba, quen thuộc từ hình học phẳng và vẫn đúng trong không gian: trọng tâm luôn nằm trên mỗi đường trung tuyến của tam giác, và chia trung tuyến đó theo tỉ số $2:1$ tính từ đỉnh. Cụ thể, nếu $M_a$ là trung điểm cạnh đối diện đỉnh $A$ thì $\overrightarrow{AG}=\dfrac23\overrightarrow{AM_a}$ — nghĩa là G nằm gần cạnh đối diện hơn đỉnh, cách đỉnh đúng hai phần ba chiều dài trung tuyến. Ba cách hiểu này (trung bình cộng toạ độ, tổng vectơ triệt tiêu, tỉ số $2:1$ trên trung tuyến) mô tả cùng một điểm G — dùng cách nào tiện cho bài toán thì áp dụng cách đó, và có thể dùng một cách để kiểm tra lại cách kia.

Khoảng cách giữa hai điểm $A(x_A;y_A;z_A)$ và $B(x_B;y_B;z_B)$ chính là độ dài vectơ $\vec{AB}$ đã học ở bài trước: $$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}.$$ Trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ có toạ độ là trung bình cộng toạ độ hai đầu mút: $$M=\left(\frac{x_A+x_B}{2};\ \frac{y_A+y_B}{2};\ \frac{z_A+z_B}{2}\right).$$ Công thức này đến từ $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\dfrac12\vec{AB}$: đi từ gốc O tới A, rồi đi thêm nửa quãng đường còn lại tới B. Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ mở rộng ý tưởng đó cho ba điểm, lấy trung bình cộng theo từng toạ độ: $$G=\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\ \frac{y_A+y_B+y_C}{3};\ \frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right).$$ Một tính chất khác — không dùng để tính toạ độ G nhưng dùng để kiểm tra lại kết quả — là tổng ba vectơ từ G tới ba đỉnh luôn bằng vectơ-không: $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec0$. Đây là một cách hiểu khác về "cân bằng": G là điểm duy nhất mà ba vectơ hướng tới ba đỉnh triệt tiêu lẫn nhau. Còn một cách kiểm tra thứ ba, quen thuộc từ hình học phẳng và vẫn đúng trong không gian: trọng tâm luôn nằm trên mỗi đường trung tuyến của tam giác, và chia trung tuyến đó theo tỉ số $2:1$ tính từ đỉnh. Cụ thể, nếu $M_a$ là trung điểm cạnh đối diện đỉnh $A$ thì $\overrightarrow{AG}=\dfrac23\overrightarrow{AM_a}$ — nghĩa là G nằm gần cạnh đối diện hơn đỉnh, cách đỉnh đúng hai phần ba chiều dài trung tuyến. Ba cách hiểu này (trung bình cộng toạ độ, tổng vectơ triệt tiêu, tỉ số $2:1$ trên trung tuyến) mô tả cùng một điểm G — dùng cách nào tiện cho bài toán thì áp dụng cách đó, và có thể dùng một cách để kiểm tra lại cách kia.

Quy trình tính trung điểm và trọng tâm theo toạ độ.

Lời giải có hình

Trung điểm của đoạn thẳng AB

Bước 1

Đặt hai điểm $A(2;-1;3)$ và $B(4;3;-1)$ .Đặt hai điểm $A(2;-1;3)$ và $B(4;3;-1)$.

Ví dụ

Trung điểm và độ dài một đoạn thẳng

1
Cho $A(2;-1;3)$ và $B(4;3;-1)$ . Tìm toạ độ trung điểm $M$ của đoạn AB và tính độ dài AB.
Cho $A(2;-1;3)$ và $B(4;3;-1)$. Tìm toạ độ trung điểm $M$ của đoạn AB và tính độ dài AB.
2
$M=\left(\dfrac{2+4}{2};\dfrac{-1+3}{2};\dfrac{3-1}{2}\right)=(3;1;1)$ .
$M=\left(\dfrac{2+4}{2};\dfrac{-1+3}{2};\dfrac{3-1}{2}\right)=(3;1;1)$.
3
$\vec{AB}=(2;4;-4)$ , nên $AB=\sqrt{4+16+16}=\sqrt{36}=6$ .
$\vec{AB}=(2;4;-4)$, nên $AB=\sqrt{4+16+16}=\sqrt{36}=6$.
4
Vậy $M(3;1;1)$ và $AB=6$ (đơn vị độ dài).
Vậy $M(3;1;1)$ và $AB=6$ (đơn vị độ dài).

Vận dụng: đặt bộ khuếch đại tín hiệu

Trước khi vào ví dụ, cần phân biệt rõ khi nào dùng công thức nào. Khoảng cách trả lời câu hỏi "hai vị trí cách nhau bao xa" — dùng khi đề bài hỏi độ dài dây cáp, quãng đường di chuyển, hoặc bán kính vùng phủ sóng. Trung điểm trả lời câu hỏi "điểm cân bằng giữa hai vị trí" — dùng khi một thiết bị cần đặt giữa đúng hai điểm, ví dụ một bộ lặp tín hiệu trên một tuyến cáp thẳng. Trọng tâm trả lời câu hỏi tương tự nhưng cho ba vị trí cùng lúc — đúng bài toán ba trạm wifi dưới đây, vì bộ khuếch đại phải cân bằng với cả ba trạm, không chỉ hai.

Lời giải có hình

Trọng tâm của tam giác ba trạm wifi

Bước 1

Ba trạm phát wifi lắp trên trần nhà xưởng ở $A(0;2;1)$ , $B(4;0;-3)$ , $C(2;5;2)$ (đơn vị mét).Ba trạm phát wifi lắp trên trần nhà xưởng ở $A(0;2;1)$, $B(4;0;-3)$, $C(2;5;2)$ (đơn vị mét).

Ví dụ

Trọng tâm ba trạm phát wifi

1
Ba trạm phát wifi lắp trên trần một nhà xưởng hình hộp ở $A(0;2;1)$ , $B(4;0;-3)$ , $C(2;5;2)$ (đơn vị mét). Tìm toạ độ điểm đặt bộ khuếch đại tín hiệu để cân bằng cả ba trạm, và tính khoảng cách từ trạm A đến trạm B.
Ba trạm phát wifi lắp trên trần một nhà xưởng hình hộp ở $A(0;2;1)$, $B(4;0;-3)$, $C(2;5;2)$ (đơn vị mét). Tìm toạ độ điểm đặt bộ khuếch đại tín hiệu để cân bằng cả ba trạm, và tính khoảng cách từ trạm A đến trạm B.
2
$G=\left(\dfrac{0+4+2}{3};\dfrac{2+0+5}{3};\dfrac{1-3+2}{3}\right)=\left(2;\dfrac73;0\right)\approx(2;2{,}33;0)$ .
$G=\left(\dfrac{0+4+2}{3};\dfrac{2+0+5}{3};\dfrac{1-3+2}{3}\right)=\left(2;\dfrac73;0\right)\approx(2;2{,}33;0)$.
3
$\vec{AB}=(4;-2;-4)$ , nên $AB=\sqrt{16+4+16}=\sqrt{36}=6$ mét.
$\vec{AB}=(4;-2;-4)$, nên $AB=\sqrt{16+4+16}=\sqrt{36}=6$ mét.
4
$\vec{GA}=(-2;-\frac13;1)$ , $\vec{GB}=(2;-\frac73;-3)$ , $\vec{GC}=(0;\frac83;2)$ ; cộng lại: toạ độ $x$ : $-2+2+0=0$ , toạ độ $y$ : $-\frac13-\frac73+\frac83=0$ , toạ độ $z$ : $1-3+2=0$ — đúng bằng vectơ-không, xác nhận G tính đúng bằng một tính chất độc lập với công thức trung bình cộng.
$\vec{GA}=(-2;-\frac13;1)$, $\vec{GB}=(2;-\frac73;-3)$, $\vec{GC}=(0;\frac83;2)$; cộng lại: toạ độ $x$: $-2+2+0=0$, toạ độ $y$: $-\frac13-\frac73+\frac83=0$, toạ độ $z$: $1-3+2=0$ — đúng bằng vectơ-không, xác nhận G tính đúng bằng một tính chất độc lập với công thức trung bình cộng.
5
Vậy bộ khuếch đại nên đặt tại $\left(2;\dfrac73;0\right)$ , và khoảng cách giữa hai trạm A, B là $6$ mét.
Vậy bộ khuếch đại nên đặt tại $\left(2;\dfrac73;0\right)$, và khoảng cách giữa hai trạm A, B là $6$ mét.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là quên chia (chia 2 cho trung điểm, chia 3 cho trọng tâm) sau khi cộng toạ độ — kết quả nhìn giống một điểm hợp lý nhưng sai hoàn toàn về vị trí. Một lỗi khác là nhầm trọng tâm tam giác với trung điểm một cạnh: trọng tâm nằm bên trong tam giác, cách đều theo nghĩa tổng vectơ bằng 0, không phải là trung điểm của bất kỳ cạnh nào.

Kiểm tra nhanh

Tóm lại, khoảng cách giữa hai điểm là độ dài vectơ nối chúng, trung điểm lấy trung bình cộng hai toạ độ, trọng tâm lấy trung bình cộng ba toạ độ — ba công thức đơn giản nhưng dùng liên tục trong mọi bài toán Oxyz sau này, kể cả bài mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu ở khoá tiếp theo. Khi cần chắc chắn một kết quả trung điểm hay trọng tâm, luôn có ít nhất một cách kiểm tra độc lập đi kèm — tổng vectơ triệt tiêu, hoặc tỉ số $2:1$ trên trung tuyến — đừng chỉ tin vào một phép cộng chia duy nhất.

Bài sau chuyển hướng nhìn: thay vì tính đại lượng từ các điểm cho sẵn, ta bắt đầu từ một vectơ pháp tuyến để viết ra phương trình của cả một mặt phẳng — công cụ mở đường cho toàn bộ hình học giải tích không gian.