Bài học

Tích có hướng: định nghĩa và ứng dụng tính diện tích

Mục tiêu và kiến thức nền

Bài học cần hai kiến thức nền vừa học: toạ độ vectơ nối hai điểm (bài trước) và tích vô hướng (bài trước nữa). Tích có hướng là phép nhân vectơ thứ hai của chương — khác hẳn tích vô hướng ở một điểm mấu chốt: kết quả của nó là một vectơ mới, không phải một số.

Học xong bài này, em tính được tích có hướng của hai vectơ trong không gian, nêu được hai tính chất quan trọng nhất của nó, và dùng nó để tính diện tích một tam giác cho bởi ba đỉnh trong không gian. Bài học cần hai kiến thức nền vừa học: toạ độ vectơ nối hai điểm (bài trước) và tích vô hướng (bài trước nữa). Tích có hướng là phép nhân vectơ thứ hai của chương — khác hẳn tích vô hướng ở một điểm mấu chốt: kết quả của nó là một vectơ mới, không phải một số.

Khởi động

Một đội khảo sát đất đai đo được ba đỉnh của một mảnh đất hình tam giác bằng thiết bị định vị, cho ra toạ độ không gian ba chiều vì mặt đất không tuyệt đối bằng phẳng. Muốn tính diện tích mảnh đất đó để lập hồ sơ, không thể dùng công thức diện tích tam giác phẳng quen thuộc theo hai cạnh và góc xen giữa, vì góc đó rất khó đo chính xác ngoài thực địa. Tích có hướng giải quyết đúng bài toán này — tính diện tích chỉ từ toạ độ ba đỉnh, không cần đo một góc nào.

Tích có hướng: định nghĩa và cách tính theo toạ độ

Với $\vec a=(a_1;a_2;a_3)$ và $\vec b=(b_1;b_2;b_3)$ , tích có hướng của chúng, kí hiệu $\vec a\times\vec b$ , là vectơ xác định bởi $\vec a\times\vec b=(a_2b_3-a_3b_2;\ a_3b_1-a_1b_3;\ a_1b_2-a_2b_1).$ Mỗi toạ độ của $\vec a\times\vec b$ được tính từ hai toạ độ còn lại của $\vec a,\vec b$ theo một quy luật xoay vòng: toạ độ thứ nhất bỏ qua chỉ số 1, dùng chỉ số 2 và 3; toạ độ thứ hai bỏ qua chỉ số 2, dùng chỉ số 3 và 1; toạ độ thứ ba bỏ qua chỉ số 3, dùng chỉ số 1 và 2. Ghi nhớ đúng thứ tự trừ (không đảo dấu tuỳ tiện) là điểm học sinh dễ sai nhất khi mới học công thức này.

Hai tính chất làm nên giá trị của tích có hướng: thứ nhất, $\vec a\times\vec b$ vuông góc với cả $\vec a$ và $\vec b$ — tức là $(\vec a\times\vec b)\cdot\vec a=0$ và $(\vec a\times\vec b)\cdot\vec b=0$ luôn đúng, dù $\vec a,\vec b$ là gì. Thứ hai, độ dài $|\vec a\times\vec b|=|\vec a||\vec b|\sin\theta$ đúng bằng diện tích hình bình hành dựng trên hai cạnh $\vec a$ và $\vec b$ . Từ tính chất thứ hai suy ra công thức diện tích tam giác ABC: $S_{ABC}=\frac12|\vec{AB}\times\vec{AC}|,$ vì tam giác ABC đúng bằng một nửa hình bình hành dựng trên hai cạnh AB, AC.

Với $\vec a=(a_1;a_2;a_3)$ và $\vec b=(b_1;b_2;b_3)$, tích có hướng của chúng, kí hiệu $\vec a\times\vec b$, là vectơ xác định bởi $$\vec a\times\vec b=(a_2b_3-a_3b_2;\ a_3b_1-a_1b_3;\ a_1b_2-a_2b_1).$$ Mỗi toạ độ của $\vec a\times\vec b$ được tính từ hai toạ độ còn lại của $\vec a,\vec b$ theo một quy luật xoay vòng: toạ độ thứ nhất bỏ qua chỉ số 1, dùng chỉ số 2 và 3; toạ độ thứ hai bỏ qua chỉ số 2, dùng chỉ số 3 và 1; toạ độ thứ ba bỏ qua chỉ số 3, dùng chỉ số 1 và 2. Ghi nhớ đúng thứ tự trừ (không đảo dấu tuỳ tiện) là điểm học sinh dễ sai nhất khi mới học công thức này. Hai tính chất làm nên giá trị của tích có hướng: thứ nhất, $\vec a\times\vec b$ vuông góc với cả $\vec a$ và $\vec b$ — tức là $(\vec a\times\vec b)\cdot\vec a=0$ và $(\vec a\times\vec b)\cdot\vec b=0$ luôn đúng, dù $\vec a,\vec b$ là gì. Thứ hai, độ dài $|\vec a\times\vec b|=|\vec a||\vec b|\sin\theta$ đúng bằng diện tích hình bình hành dựng trên hai cạnh $\vec a$ và $\vec b$. Từ tính chất thứ hai suy ra công thức diện tích tam giác ABC: $$S_{ABC}=\frac12|\vec{AB}\times\vec{AC}|,$$ vì tam giác ABC đúng bằng một nửa hình bình hành dựng trên hai cạnh AB, AC.

Lời giải có hình

Tam giác ABC và tích có hướng của hai cạnh

Bước 1

Đặt ba đỉnh $A(1;2;0)$ , $B(3;0;1)$ , $C(2;3;4)$ .Đặt ba đỉnh $A(1;2;0)$, $B(3;0;1)$, $C(2;3;4)$.

Quy trình tính diện tích tam giác ABC qua tích có hướng.

Ví dụ

Diện tích tam giác từ ba đỉnh trong không gian

1
Cho ba điểm $A(1;2;0)$ , $B(3;0;1)$ , $C(2;3;4)$ . Tính diện tích tam giác ABC.
Cho ba điểm $A(1;2;0)$, $B(3;0;1)$, $C(2;3;4)$. Tính diện tích tam giác ABC.
2
$\vec{AB}=(3-1;0-2;1-0)=(2;-2;1)$ và $\vec{AC}=(2-1;3-2;4-0)=(1;1;4)$ .
$\vec{AB}=(3-1;0-2;1-0)=(2;-2;1)$ và $\vec{AC}=(2-1;3-2;4-0)=(1;1;4)$.
3
$\vec{AB}\times\vec{AC}=\big((-2)\cdot4-1\cdot1;\ 1\cdot1-2\cdot4;\ 2\cdot1-(-2)\cdot1\big)=(-8-1;\ 1-8;\ 2+2)=(-9;-7;4)$ .
$\vec{AB}\times\vec{AC}=\big((-2)\cdot4-1\cdot1;\ 1\cdot1-2\cdot4;\ 2\cdot1-(-2)\cdot1\big)=(-8-1;\ 1-8;\ 2+2)=(-9;-7;4)$.
4
$|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\sqrt{(-9)^2+(-7)^2+4^2}=\sqrt{81+49+16}=\sqrt{146}\approx12{,}08$ . Suy ra $S_{ABC}=\dfrac{\sqrt{146}}{2}\approx6{,}04$ .
$|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\sqrt{(-9)^2+(-7)^2+4^2}=\sqrt{81+49+16}=\sqrt{146}\approx12{,}08$. Suy ra $S_{ABC}=\dfrac{\sqrt{146}}{2}\approx6{,}04$.
5
Tính độc lập bằng công thức Heron: $AB=3$ , $AC=3\sqrt2\approx4{,}24$ , $BC=\sqrt{19}\approx4{,}36$ , nửa chu vi $p\approx5{,}80$ , diện tích $\approx\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}\approx6{,}04$ — khớp với kết quả từ tích có hướng, dùng hai con đường tính hoàn toàn độc lập.
Tính độc lập bằng công thức Heron: $AB=3$, $AC=3\sqrt2\approx4{,}24$, $BC=\sqrt{19}\approx4{,}36$, nửa chu vi $p\approx5{,}80$, diện tích $\approx\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}\approx6{,}04$ — khớp với kết quả từ tích có hướng, dùng hai con đường tính hoàn toàn độc lập.
6
Vậy diện tích tam giác ABC xấp xỉ $6{,}04$ (đơn vị diện tích).
Vậy diện tích tam giác ABC xấp xỉ $6{,}04$ (đơn vị diện tích).

Vì sao độ dài tích có hướng lại đúng bằng diện tích hình bình hành? Dựng hình bình hành có hai cạnh $\vec a,\vec b$ xuất phát từ cùng một đỉnh, góc xen giữa là $\theta$ : diện tích hình bình hành đó, theo công thức hình học phẳng quen thuộc, bằng tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa, tức $|\vec a||\vec b|\sin\theta$ — đúng bằng $|\vec a\times\vec b|$ . Đây không phải trùng hợp: $\sin\theta$ đo phần "vuông góc" giữa hai vectơ, còn $\cos\theta$ (xuất hiện trong tích vô hướng) đo phần "song song" giữa chúng — hai phép nhân vectơ khai thác hai phía đối lập của cùng một góc $\theta$ , nên cho ra hai loại kết quả khác nhau: một số (tích vô hướng) và một vectơ (tích có hướng).

Vì sao độ dài tích có hướng lại đúng bằng diện tích hình bình hành? Dựng hình bình hành có hai cạnh $\vec a,\vec b$ xuất phát từ cùng một đỉnh, góc xen giữa là $\theta$: diện tích hình bình hành đó, theo công thức hình học phẳng quen thuộc, bằng tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa, tức $|\vec a||\vec b|\sin\theta$ — đúng bằng $|\vec a\times\vec b|$. Đây không phải trùng hợp: $\sin\theta$ đo phần "vuông góc" giữa hai vectơ, còn $\cos\theta$ (xuất hiện trong tích vô hướng) đo phần "song song" giữa chúng — hai phép nhân vectơ khai thác hai phía đối lập của cùng một góc $\theta$, nên cho ra hai loại kết quả khác nhau: một số (tích vô hướng) và một vectơ (tích có hướng).

Áp dụng vào một mảnh đất đo đạc thực tế

Ví dụ

Diện tích mảnh đất tam giác từ toạ độ đo đạc

1
Một mảnh đất hình tam giác dùng làm sân thể thao có ba đỉnh đo đạc được là $A(2;1;0)$ , $B(5;1;2)$ , $C(2;5;1)$ (đơn vị mét). Tính diện tích mảnh đất, làm tròn đến hàng phần trăm mét vuông.
Một mảnh đất hình tam giác dùng làm sân thể thao có ba đỉnh đo đạc được là $A(2;1;0)$, $B(5;1;2)$, $C(2;5;1)$ (đơn vị mét). Tính diện tích mảnh đất, làm tròn đến hàng phần trăm mét vuông.
2
$\vec{AB}=(3;0;2)$ và $\vec{AC}=(0;4;1)$ .
$\vec{AB}=(3;0;2)$ và $\vec{AC}=(0;4;1)$.
3
$\vec{AB}\times\vec{AC}=(0\cdot1-2\cdot4;\ 2\cdot0-3\cdot1;\ 3\cdot4-0\cdot0)=(-8;-3;12)$ .
$\vec{AB}\times\vec{AC}=(0\cdot1-2\cdot4;\ 2\cdot0-3\cdot1;\ 3\cdot4-0\cdot0)=(-8;-3;12)$.
4
$|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\sqrt{64+9+144}=\sqrt{217}\approx14{,}73$ , nên $S_{ABC}\approx7{,}37\ \text{m}^2$ .
$|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\sqrt{64+9+144}=\sqrt{217}\approx14{,}73$, nên $S_{ABC}\approx7{,}37\ \text{m}^2$.
5
Vậy mảnh đất hình tam giác có diện tích xấp xỉ $7{,}37\ \text{m}^2$ — con số này lập hồ sơ đất đai được ngay từ ba toạ độ đo đạc, không cần đo thêm một góc nào ngoài thực địa.
Vậy mảnh đất hình tam giác có diện tích xấp xỉ $7{,}37\ \text{m}^2$ — con số này lập hồ sơ đất đai được ngay từ ba toạ độ đo đạc, không cần đo thêm một góc nào ngoài thực địa.

Ba cạnh của mảnh đất ABC (độ dài tính từ toạ độ), dùng để kiểm tra chéo bằng công thức Heron.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp nhất là quên chia đôi khi đề hỏi diện tích tam giác — $|\vec{AB}\times\vec{AC}|$ là diện tích hình bình hành, tam giác chỉ bằng một nửa. Sai lầm khác là tính nhầm thứ tự trừ trong công thức xoay vòng, đặc biệt ở toạ độ thứ hai $(a_3b_1-a_1b_3)$ — học sinh hay viết nhầm thành $(a_1b_3-a_3b_1)$ , ra đúng độ lớn nhưng sai dấu, khiến các bước sau (như xét chiều pháp tuyến ở bài mặt phẳng) bị sai theo.

Sai lầm thường gặp nhất là quên chia đôi khi đề hỏi diện tích tam giác — $|\vec{AB}\times\vec{AC}|$ là diện tích hình bình hành, tam giác chỉ bằng một nửa. Sai lầm khác là tính nhầm thứ tự trừ trong công thức xoay vòng, đặc biệt ở toạ độ thứ hai $(a_3b_1-a_1b_3)$ — học sinh hay viết nhầm thành $(a_1b_3-a_3b_1)$, ra đúng độ lớn nhưng sai dấu, khiến các bước sau (như xét chiều pháp tuyến ở bài mặt phẳng) bị sai theo.

Kiểm tra nhanh

Tóm lại, tích có hướng $\vec a\times\vec b$ là một vectơ mới, tính theo công thức xoay vòng từ toạ độ của $\vec a$ và $\vec b$ , luôn vuông góc với cả hai vectơ đó, và có độ dài bằng diện tích hình bình hành dựng trên chúng. Diện tích tam giác chỉ là một nửa con số đó — đây là công cụ tính diện tích nhanh nhất khi đề bài cho toạ độ thay vì hình vẽ.

Tóm lại, tích có hướng $\vec a\times\vec b$ là một vectơ mới, tính theo công thức xoay vòng từ toạ độ của $\vec a$ và $\vec b$, luôn vuông góc với cả hai vectơ đó, và có độ dài bằng diện tích hình bình hành dựng trên chúng. Diện tích tam giác chỉ là một nửa con số đó — đây là công cụ tính diện tích nhanh nhất khi đề bài cho toạ độ thay vì hình vẽ.

Bài sau khai thác tích có hướng sâu hơn: kết hợp ba vectơ để kiểm tra chúng có đồng phẳng hay không, và tính thể tích một khối tứ diện hoặc khối hộp — những đại lượng mà tích vô hướng một mình không tính được.