Bài học

Ôn tập: Điểm, đường thẳng, đoạn thẳng và góc

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em vận dụng phối hợp các kiến thức đã học trong khóa — điểm, đường thẳng, tia, đoạn thẳng, trung điểm, góc, kề bù, kề phụ, tia phân giác — để giải các bài toán tổng hợp đúng dạng đề kiểm tra.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này không thêm khái niệm mới; toàn bộ công thức dùng lại chính là những gì năm chương trước đã xây dựng.

Khởi động

Một đề kiểm tra cuối chương thường không hỏi riêng lẻ từng định nghĩa, mà ghép nhiều ý trong cùng một bài — vừa tính đoạn thẳng, vừa tính góc, có khi cả hai trong một hình. Hôm nay em luyện đúng kiểu bài đó.

Bản đồ kiến thức của khóa học

Nhánh thứ nhất xuất phát từ điểm và đường thẳng: hai điểm dựng nên một đường thẳng duy nhất, một điểm cùng một hướng dựng nên một tia, và một phần đường thẳng bị chặn hai đầu dựng nên một đoạn thẳng — đoạn thẳng có hệ thức cộng $AC + CB = AB$ khi $C$ nằm giữa, và một điểm nằm giữa cách đều hai đầu gọi là trung điểm.

Nhánh thứ hai cũng xuất phát từ điểm và tia: hai tia chung gốc dựng nên một góc, đo được bằng thước đo độ và phân thành bốn loại theo số đo. Một tia chia góc bẹt hoặc góc vuông thành hai phần cho ta góc kề bù (tổng 180°) hoặc kề phụ (tổng 90°); một tia nằm giữa hai cạnh và chia đều góc gọi là tia phân giác, dùng đúng hệ thức cộng góc $\widehat{xOz} + \widehat{zOy} = \widehat{xOy}$ — hoàn toàn song song với hệ thức cộng đoạn thẳng ở nhánh thứ nhất.

Lời giải có hình

Ôn tập: trung điểm của đoạn thẳng

Bước 1

Cho đoạn thẳng $AB = 10$ cm.Cho đoạn thẳng $AB = 10$ cm.

Lời giải có hình

Ôn tập: hai góc kề bù với ẩn số

Bước 1

Cho góc bẹt $\widehat{aOb} = 180°$ .Cho góc bẹt $\widehat{aOb} = 180°$.

Ví dụ minh họa

Ví dụ

Tổng hợp: trung điểm và cộng đoạn thẳng

1
Trên đường thẳng, ba điểm $A$ , $B$ , $C$ theo thứ tự đó với $B$ nằm giữa. Biết $AB = 9$ cm, và $M$ là trung điểm của $BC$ với $BM = 6$ cm. Tính $AC$ .
Trên đường thẳng, ba điểm $A$, $B$, $C$ theo thứ tự đó với $B$ nằm giữa. Biết $AB = 9$ cm, và $M$ là trung điểm của $BC$ với $BM = 6$ cm. Tính $AC$.
2
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $BC = 2 \times BM = 2 \times 6 = 12$ (cm) (1). Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$ nên theo hệ thức cộng đoạn thẳng, $AC = AB + BC$ (2). Từ (1) và (2): $AC = 9 + 12 = 21$ (cm). Vậy $AC = 21$ cm.
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $BC = 2 \times BM = 2 \times 6 = 12$ (cm) (1). Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$ nên theo hệ thức cộng đoạn thẳng, $AC = AB + BC$ (2). Từ (1) và (2): $AC = 9 + 12 = 21$ (cm). Vậy $AC = 21$ cm.

Ví dụ

Tổng hợp: tia phân giác và cộng góc

1
Góc $\widehat{xOy} = 140°$ có tia phân giác $Ot$ . Tia $Oz$ nằm giữa $Ox$ và $Ot$ sao cho $\widehat{xOz} = 25°$ . Tính $\widehat{zOt}$ .
Góc $\widehat{xOy} = 140°$ có tia phân giác $Ot$. Tia $Oz$ nằm giữa $Ox$ và $Ot$ sao cho $\widehat{xOz} = 25°$. Tính $\widehat{zOt}$.
2
Vì $Ot$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ nên $\widehat{xOt} = \dfrac{\widehat{xOy}}{2} = \dfrac{140°}{2} = 70°$ (1). Vì $Oz$ nằm giữa $Ox$ và $Ot$ nên theo hệ thức cộng góc, $\widehat{xOz} + \widehat{zOt} = \widehat{xOt}$ (2). Từ (1) và (2): $25° + \widehat{zOt} = 70°$ , suy ra $\widehat{zOt} = 45°$ . Vậy $\widehat{zOt} = 45°$ .
Vì $Ot$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ nên $\widehat{xOt} = \dfrac{\widehat{xOy}}{2} = \dfrac{140°}{2} = 70°$ (1). Vì $Oz$ nằm giữa $Ox$ và $Ot$ nên theo hệ thức cộng góc, $\widehat{xOz} + \widehat{zOt} = \widehat{xOt}$ (2). Từ (1) và (2): $25° + \widehat{zOt} = 70°$, suy ra $\widehat{zOt} = 45°$. Vậy $\widehat{zOt} = 45°$.

Ví dụ

Tổng hợp: một bài hai phần, đoạn thẳng và góc (dạng thi)

1
Cho đoạn thẳng $AB = 16$ cm có trung điểm $M$ . Trên tia $MA$ , lấy điểm $N$ sao cho $MN = 3$ cm ( $N$ nằm giữa $M$ , $A$ ). Đồng thời, góc $\widehat{xOy} = 130°$ có tia phân giác $Ot$ . Tính a) độ dài $NA$ ; b) số đo $\widehat{xOt}$ .
Cho đoạn thẳng $AB = 16$ cm có trung điểm $M$. Trên tia $MA$, lấy điểm $N$ sao cho $MN = 3$ cm ($N$ nằm giữa $M$, $A$). Đồng thời, góc $\widehat{xOy} = 130°$ có tia phân giác $Ot$. Tính a) độ dài $NA$; b) số đo $\widehat{xOt}$.
2
a) Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $MA = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{16}{2} = 8$ (cm). Vì $N$ nằm giữa $M$ , $A$ với $MN = 3$ cm nên $NA = MA - MN = 8 - 3 = 5$ (cm). b) Vì $Ot$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ nên $\widehat{xOt} = \dfrac{\widehat{xOy}}{2} = \dfrac{130°}{2} = 65°$ . Vậy $NA = 5$ cm và $\widehat{xOt} = 65°$ .
a) Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $MA = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{16}{2} = 8$ (cm). Vì $N$ nằm giữa $M$, $A$ với $MN = 3$ cm nên $NA = MA - MN = 8 - 3 = 5$ (cm). b) Vì $Ot$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ nên $\widehat{xOt} = \dfrac{\widehat{xOy}}{2} = \dfrac{130°}{2} = 65°$. Vậy $NA = 5$ cm và $\widehat{xOt} = 65°$.

Ví dụ

Ôn lại hai lỗi hay gặp trong một bài (dạng thi)

1
Đoạn thẳng $AB = 14$ cm. Điểm $M$ có $AM = 7$ cm, nhưng đề không nói $M$ có nằm trên đoạn $AB$ hay không. $M$ có chắc chắn là trung điểm của $AB$ không? Đồng thời, hai góc kề phụ có hiệu số đo hai góc là 18°. Tính số đo mỗi góc.
Đoạn thẳng $AB = 14$ cm. Điểm $M$ có $AM = 7$ cm, nhưng đề không nói $M$ có nằm trên đoạn $AB$ hay không. $M$ có chắc chắn là trung điểm của $AB$ không? Đồng thời, hai góc kề phụ có hiệu số đo hai góc là 18°. Tính số đo mỗi góc.
2
Chưa chắc $M$ là trung điểm — dù $AM = 7 = \dfrac{AB}{2}$ , còn thiếu điều kiện $M$ nằm giữa $A$ , $B$ (tức $A$ , $M$ , $B$ thẳng hàng) mới đủ căn cứ kết luận. Với cặp góc kề phụ: gọi góc nhỏ là $x$ , góc lớn là $x + 18°$ ; kề phụ nên $x + (x + 18°) = 90°$ , tức $2x = 72°$ , $x = 36°$ . Vậy góc nhỏ bằng 36°, góc lớn bằng $36° + 18° = 54°$ .
Chưa chắc $M$ là trung điểm — dù $AM = 7 = \dfrac{AB}{2}$, còn thiếu điều kiện $M$ nằm giữa $A$, $B$ (tức $A$, $M$, $B$ thẳng hàng) mới đủ căn cứ kết luận. Với cặp góc kề phụ: gọi góc nhỏ là $x$, góc lớn là $x + 18°$; kề phụ nên $x + (x + 18°) = 90°$, tức $2x = 72°$, $x = 36°$. Vậy góc nhỏ bằng 36°, góc lớn bằng $36° + 18° = 54°$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Ba lỗi hay lặp lại suốt khóa học: cộng độ dài hoặc góc khi điểm/tia không thật sự "nằm giữa"; kết luận trung điểm hay tia phân giác khi chỉ mới thỏa một trong hai điều kiện; và đọc sai thang trên thước đo độ. Trước khi nộp bài, luôn tự hỏi: "đối tượng này có thật sự nằm giữa không, và có thỏa đủ hai điều kiện chưa?"

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Toàn bộ khóa học xoay quanh hai hệ thức song song: hệ thức cộng đoạn thẳng ( $AC + CB = AB$ khi $C$ nằm giữa) và hệ thức cộng góc ( $\widehat{xOz} + \widehat{zOy} = \widehat{xOy}$ khi $Oz$ nằm giữa) — trung điểm và tia phân giác chỉ là trường hợp đặc biệt khi hai phần đó bằng nhau.

Toàn bộ khóa học xoay quanh hai hệ thức song song: hệ thức cộng đoạn thẳng ($AC + CB = AB$ khi $C$ nằm giữa) và hệ thức cộng góc ($\widehat{xOz} + \widehat{zOy} = \widehat{xOy}$ khi $Oz$ nằm giữa) — trung điểm và tia phân giác chỉ là trường hợp đặc biệt khi hai phần đó bằng nhau.

Cầu nối

Khóa tiếp theo dùng đúng những công cụ này — điểm, đoạn thẳng, góc — để nhận diện và tính chu vi, diện tích của các hình phẳng và hình khối quen thuộc.