Bài học

Tia phân giác của một góc

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nêu đúng định nghĩa tia phân giác của một góc, tính được số đo mỗi nửa khi biết tia phân giác, và vẽ được tia phân giác của một góc cho trước.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài 1 của chương này đã học cách tính góc còn lại trong một cặp kề bù, kề phụ. Bài trước đó (Chương 4) đã học cách vẽ một góc có số đo cho trước. Bài này ghép cả hai.

Khởi động

Một miếng bánh pizza hình quạt được cắt thành hai phần bằng nhau bởi một nhát dao đi đúng qua tâm. Nhát dao đó chia góc ở tâm bánh thành hai góc bằng nhau. Trong hình học, tia đóng vai trò "nhát dao chia đôi góc" đó gọi là gì?

Kiến thức trọng tâm

Khi tia $Oz$ nằm giữa hai cạnh $Ox$ , $Oy$ của một góc, số đo hai góc nhỏ cộng lại bằng đúng số đo góc lớn: $\widehat{xOz} + \widehat{zOy} = \widehat{xOy}$ — hệ thức cộng góc này giống hệt hệ thức cộng đoạn thẳng ở Chương 3, chỉ đổi đối tượng từ đoạn thẳng sang góc.

Khi tia $Oz$ nằm giữa hai cạnh $Ox$, $Oy$ của một góc, số đo hai góc nhỏ cộng lại bằng đúng số đo góc lớn: $\widehat{xOz} + \widehat{zOy} = \widehat{xOy}$ — hệ thức cộng góc này giống hệt hệ thức cộng đoạn thẳng ở Chương 3, chỉ đổi đối tượng từ đoạn thẳng sang góc.

Tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$ là tia $Oz$ nằm giữa hai cạnh $Ox$ , $Oy$ và chia góc đó thành hai góc bằng nhau: $\widehat{xOz} = \widehat{zOy}$ . Giống trung điểm của đoạn thẳng, tia phân giác cần đủ hai điều kiện — nằm giữa và chia đều — thiếu một trong hai thì $Oz$ không phải tia phân giác.

Tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$ là tia $Oz$ nằm giữa hai cạnh $Ox$, $Oy$ và chia góc đó thành hai góc bằng nhau: $\widehat{xOz} = \widehat{zOy}$. Giống trung điểm của đoạn thẳng, tia phân giác cần đủ hai điều kiện — nằm giữa và chia đều — thiếu một trong hai thì $Oz$ không phải tia phân giác.

Từ định nghĩa suy ra công thức $\widehat{xOz} = \widehat{zOy} = \dfrac{\widehat{xOy}}{2}$ . Cách vẽ: đo góc $\widehat{xOy}$ , tính nửa số đo, dùng thước đo độ đặt tâm tại $O$ , cạnh $Ox$ trùng vạch 0°, đánh dấu điểm tại vạch bằng nửa số đo đó, rồi nối $O$ với điểm ấy để được tia phân giác.

Từ định nghĩa suy ra công thức $\widehat{xOz} = \widehat{zOy} = \dfrac{\widehat{xOy}}{2}$. Cách vẽ: đo góc $\widehat{xOy}$, tính nửa số đo, dùng thước đo độ đặt tâm tại $O$, cạnh $Ox$ trùng vạch 0°, đánh dấu điểm tại vạch bằng nửa số đo đó, rồi nối $O$ với điểm ấy để được tia phân giác.

Lời giải có hình

Tia phân giác của góc 80°

Bước 1

Cho góc $\widehat{aOb} = 80°$ .Cho góc $\widehat{aOb} = 80°$.

Giống trung điểm của đoạn thẳng, tia phân giác của một góc vẽ trên giấy cũng có thể xác định bằng cách gấp: gấp tờ giấy sao cho hai cạnh $Oa$ và $Ob$ trùng khít nhau, nếp gấp đi qua đỉnh $O$ chính là tia phân giác — không cần đo hay tính toán.

Công thức tia phân giác cũng dùng được theo chiều ngược: biết một nửa $\widehat{xOz}$ , suy ra cả góc $\widehat{xOy} = 2 \times \widehat{xOz}$ — giống hệt cách dùng ngược của công thức trung điểm ở Chương 3, chỉ đổi đoạn thẳng thành góc.

Công thức tia phân giác cũng dùng được theo chiều ngược: biết một nửa $\widehat{xOz}$, suy ra cả góc $\widehat{xOy} = 2 \times \widehat{xOz}$ — giống hệt cách dùng ngược của công thức trung điểm ở Chương 3, chỉ đổi đoạn thẳng thành góc.

Ví dụ minh họa

Ví dụ

Tính hai nửa qua tia phân giác

1
Góc $\widehat{xOy} = 70°$ có tia phân giác $Oz$ . Tính $\widehat{xOz}$ .
Góc $\widehat{xOy} = 70°$ có tia phân giác $Oz$. Tính $\widehat{xOz}$.
2
Vì $Oz$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ nên $\widehat{xOz} = \dfrac{\widehat{xOy}}{2} = \dfrac{70°}{2} = 35°$ . Vậy $\widehat{xOz} = 35°$ .
Vì $Oz$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ nên $\widehat{xOz} = \dfrac{\widehat{xOy}}{2} = \dfrac{70°}{2} = 35°$. Vậy $\widehat{xOz} = 35°$.

Ví dụ

Hai bước cộng góc liên tiếp (dạng thi)

1
Cho góc bẹt $\widehat{xOy} = 180°$ . Tia $Oz$ nằm giữa $Ox$ , $Oy$ sao cho $\widehat{xOz} = 120°$ . Tia $Ot$ là tia phân giác của $\widehat{zOy}$ . a) Tính $\widehat{zOy}$ . b) Tính $\widehat{zOt}$ .
Cho góc bẹt $\widehat{xOy} = 180°$. Tia $Oz$ nằm giữa $Ox$, $Oy$ sao cho $\widehat{xOz} = 120°$. Tia $Ot$ là tia phân giác của $\widehat{zOy}$. a) Tính $\widehat{zOy}$. b) Tính $\widehat{zOt}$.
2
a) Vì $Oz$ nằm giữa $Ox$ , $Oy$ nên theo hệ thức cộng góc, $\widehat{xOz} + \widehat{zOy} = \widehat{xOy}$ (1). Thay số vào (1): $120° + \widehat{zOy} = 180°$ , suy ra $\widehat{zOy} = 60°$ . b) Vì $Ot$ là tia phân giác của $\widehat{zOy}$ nên $\widehat{zOt} = \dfrac{\widehat{zOy}}{2} = \dfrac{60°}{2} = 30°$ . Vậy $\widehat{zOy} = 60°$ và $\widehat{zOt} = 30°$ .
a) Vì $Oz$ nằm giữa $Ox$, $Oy$ nên theo hệ thức cộng góc, $\widehat{xOz} + \widehat{zOy} = \widehat{xOy}$ (1). Thay số vào (1): $120° + \widehat{zOy} = 180°$, suy ra $\widehat{zOy} = 60°$. b) Vì $Ot$ là tia phân giác của $\widehat{zOy}$ nên $\widehat{zOt} = \dfrac{\widehat{zOy}}{2} = \dfrac{60°}{2} = 30°$. Vậy $\widehat{zOy} = 60°$ và $\widehat{zOt} = 30°$.

Ví dụ

Kiểm tra một tia có phải tia phân giác không

1
Góc $\widehat{xOy} = 90°$ , tia $Oz$ nằm giữa $Ox$ , $Oy$ với $\widehat{xOz} = 45°$ . Tia $Oz$ có phải tia phân giác của $\widehat{xOy}$ không?
Góc $\widehat{xOy} = 90°$, tia $Oz$ nằm giữa $Ox$, $Oy$ với $\widehat{xOz} = 45°$. Tia $Oz$ có phải tia phân giác của $\widehat{xOy}$ không?
2
Vì $Oz$ nằm giữa $Ox$ , $Oy$ nên theo hệ thức cộng góc, $\widehat{zOy} = \widehat{xOy} - \widehat{xOz} = 90° - 45° = 45°$ . Ta thấy $\widehat{xOz} = \widehat{zOy} = 45°$ , thỏa cả hai điều kiện: nằm giữa và chia đều. Vậy $Oz$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ .
Vì $Oz$ nằm giữa $Ox$, $Oy$ nên theo hệ thức cộng góc, $\widehat{zOy} = \widehat{xOy} - \widehat{xOz} = 90° - 45° = 45°$. Ta thấy $\widehat{xOz} = \widehat{zOy} = 45°$, thỏa cả hai điều kiện: nằm giữa và chia đều. Vậy $Oz$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$.

Ví dụ

Hai tia phân giác của một cặp kề bù (dạng thi)

1
Hai góc $\widehat{mOn}$ và $\widehat{nOp}$ kề bù. Tia $Ot_1$ là tia phân giác của $\widehat{mOn}$ , tia $Ot_2$ là tia phân giác của $\widehat{nOp}$ . Tính $\widehat{t_1Ot_2}$ .
Hai góc $\widehat{mOn}$ và $\widehat{nOp}$ kề bù. Tia $Ot_1$ là tia phân giác của $\widehat{mOn}$, tia $Ot_2$ là tia phân giác của $\widehat{nOp}$. Tính $\widehat{t_1Ot_2}$.
2
Vì $Ot_1$ là tia phân giác của $\widehat{mOn}$ nên $\widehat{t_1On} = \dfrac{\widehat{mOn}}{2}$ (1). Vì $Ot_2$ là tia phân giác của $\widehat{nOp}$ nên $\widehat{nOt_2} = \dfrac{\widehat{nOp}}{2}$ (2). Tia $On$ nằm giữa $Ot_1$ và $Ot_2$ , nên theo hệ thức cộng góc, $\widehat{t_1Ot_2} = \widehat{t_1On} + \widehat{nOt_2}$ . Từ (1), (2): $\widehat{t_1Ot_2} = \dfrac{\widehat{mOn} + \widehat{nOp}}{2}$ . Vì $\widehat{mOn}$ , $\widehat{nOp}$ kề bù nên $\widehat{mOn} + \widehat{nOp} = 180°$ , suy ra $\widehat{t_1Ot_2} = \dfrac{180°}{2} = 90°$ . Vậy hai tia phân giác của một cặp góc kề bù luôn vuông góc với nhau.
Vì $Ot_1$ là tia phân giác của $\widehat{mOn}$ nên $\widehat{t_1On} = \dfrac{\widehat{mOn}}{2}$ (1). Vì $Ot_2$ là tia phân giác của $\widehat{nOp}$ nên $\widehat{nOt_2} = \dfrac{\widehat{nOp}}{2}$ (2). Tia $On$ nằm giữa $Ot_1$ và $Ot_2$, nên theo hệ thức cộng góc, $\widehat{t_1Ot_2} = \widehat{t_1On} + \widehat{nOt_2}$. Từ (1), (2): $\widehat{t_1Ot_2} = \dfrac{\widehat{mOn} + \widehat{nOp}}{2}$. Vì $\widehat{mOn}$, $\widehat{nOp}$ kề bù nên $\widehat{mOn} + \widehat{nOp} = 180°$, suy ra $\widehat{t_1Ot_2} = \dfrac{180°}{2} = 90°$. Vậy hai tia phân giác của một cặp góc kề bù luôn vuông góc với nhau.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Giống lỗi ở trung điểm: chỉ cần $Oz$ nằm giữa $Ox$ , $Oy$ đã vội kết luận là tia phân giác — phải kiểm tra thêm hai góc tạo ra có bằng nhau hay không. Một lỗi khác: cộng nhầm góc khi $Oz$ KHÔNG nằm giữa $Ox$ , $Oy$ — hệ thức cộng góc chỉ áp dụng đúng khi tia đó thực sự nằm giữa hai cạnh.

Giống lỗi ở trung điểm: chỉ cần $Oz$ nằm giữa $Ox$, $Oy$ đã vội kết luận là tia phân giác — phải kiểm tra thêm hai góc tạo ra có bằng nhau hay không. Một lỗi khác: cộng nhầm góc khi $Oz$ KHÔNG nằm giữa $Ox$, $Oy$ — hệ thức cộng góc chỉ áp dụng đúng khi tia đó thực sự nằm giữa hai cạnh.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Tia phân giác $Oz$ của $\widehat{xOy}$ : nằm giữa $Ox$ , $Oy$ và chia đều góc, $\widehat{xOz} = \widehat{zOy} = \dfrac{\widehat{xOy}}{2}$ . Hệ thức cộng góc $\widehat{xOz} + \widehat{zOy} = \widehat{xOy}$ áp dụng khi $Oz$ nằm giữa hai cạnh.

Tia phân giác $Oz$ của $\widehat{xOy}$: nằm giữa $Ox$, $Oy$ và chia đều góc, $\widehat{xOz} = \widehat{zOy} = \dfrac{\widehat{xOy}}{2}$. Hệ thức cộng góc $\widehat{xOz} + \widehat{zOy} = \widehat{xOy}$ áp dụng khi $Oz$ nằm giữa hai cạnh.

Cầu nối

Chương cuối cùng gom lại toàn bộ công cụ của khóa học — điểm, đường thẳng, tia, đoạn thẳng, trung điểm, góc, kề bù, kề phụ, tia phân giác — trong các bài toán tổng hợp đúng phong cách đề kiểm tra.