Bài học

Ứng dụng xác suất thực nghiệm và ôn tập chương

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em dùng được xác suất thực nghiệm để ước lượng tỉ lệ trong một tình huống thực tế, và ôn lại toàn bộ chương: bảng số liệu, biểu đồ và xác suất thực nghiệm.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã biết tính xác suất thực nghiệm của một kết quả bằng tần số chia cho tổng số lần thử. Bài này dùng chính công thức đó, nhưng theo chiều ngược lại: từ xác suất thực nghiệm đã tính, ƯỚC LƯỢNG một số lượng chưa biết trong thực tế.

Khởi động

Một hộp kín có ba màu thẻ đỏ, xanh, vàng, không biết trước có bao nhiêu thẻ mỗi màu. Không được mở hộp đếm hết — làm sao ước lượng tỉ lệ mỗi màu chỉ bằng cách rút thẻ nhiều lần?

Kiến thức trọng tâm

Muốn ước lượng tỉ lệ trong một hộp kín, ta rút thẻ CÓ HOÀN LẠI: mỗi lần rút một thẻ, ghi lại màu, rồi trả thẻ đó về hộp trước khi rút lần sau. Hoàn lại giữ cho tỉ lệ các màu trong hộp không đổi qua từng lần rút, nên các lần rút có điều kiện giống hệt nhau.

Lặp việc rút thẻ nhiều lần, đếm tần số mỗi màu, rồi tính xác suất thực nghiệm của mỗi màu bằng tần số chia cho tổng số lần rút — đúng công thức đã học ở bài trước. Một cách kiểm tra hợp lý: tổng xác suất thực nghiệm của MỌI kết quả có thể xảy ra phải bằng 1 (bằng 100%), vì mỗi lần rút chắc chắn ra một trong các màu đã liệt kê.

Dùng xác suất thực nghiệm để ước lượng: nếu biết (hoặc giả sử) tổng số thẻ trong hộp, số thẻ mỗi màu ước lượng bằng xác suất thực nghiệm của màu đó nhân với tổng số thẻ. Đây chỉ là một ước lượng dựa trên số lần thử đã có, không phải con số chắc chắn tuyệt đối — thử càng nhiều lần, ước lượng càng đáng tin hơn.

Cách ước lượng này áp dụng được cho nhiều tình huống ngoài hộp thẻ: ước lượng tỉ lệ hạt giống nảy mầm từ một đợt gieo thử, ước lượng tỉ lệ sản phẩm lỗi từ một lô hàng kiểm tra mẫu, hay ước lượng tỉ lệ cổ động viên ủng hộ một đội bóng từ một cuộc khảo sát nhỏ. Nguyên tắc chung luôn giống nhau: thử nhiều lần trong cùng điều kiện, tính xác suất thực nghiệm, rồi dùng tỉ số đó để ước lượng cho một số lượng lớn hơn chưa đếm được hết.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Ước lượng số thẻ mỗi màu trong hộp kín

1
Rút thẻ có hoàn lại 50 lần từ một hộp kín có ba màu, đếm được: Đỏ 18 lần, Xanh 20 lần, Vàng 12 lần. Tính xác suất thực nghiệm mỗi màu, rồi ước lượng nếu hộp có tổng cộng 25 thẻ thì có khoảng bao nhiêu thẻ mỗi màu.
2
$P_{tn}(\text{Đỏ})=\dfrac{18}{50}=0{,}36$ ; $P_{tn}(\text{Xanh})=\dfrac{20}{50}=0{,}4$ ; $P_{tn}(\text{Vàng})=\dfrac{12}{50}=0{,}24$ .
$P_{tn}(\text{Đỏ})=\dfrac{18}{50}=0{,}36$; $P_{tn}(\text{Xanh})=\dfrac{20}{50}=0{,}4$; $P_{tn}(\text{Vàng})=\dfrac{12}{50}=0{,}24$.
3
Cộng ba xác suất thực nghiệm: $0{,}36+0{,}4+0{,}24=1$ — hợp lý, vì mỗi lần rút chắc chắn ra một trong ba màu.
Cộng ba xác suất thực nghiệm: $0{,}36+0{,}4+0{,}24=1$ — hợp lý, vì mỗi lần rút chắc chắn ra một trong ba màu.
4
Với 25 thẻ trong hộp: Đỏ ước lượng $0{,}36\times 25=9$ thẻ; Xanh ước lượng $0{,}4\times 25=10$ thẻ; Vàng ước lượng $0{,}24\times 25=6$ thẻ.
Với 25 thẻ trong hộp: Đỏ ước lượng $0{,}36\times 25=9$ thẻ; Xanh ước lượng $0{,}4\times 25=10$ thẻ; Vàng ước lượng $0{,}24\times 25=6$ thẻ.
5
Vậy hộp có khoảng 9 thẻ Đỏ, 10 thẻ Xanh, 6 thẻ Vàng, tổng ước lượng $9+10+6=25$ thẻ — đúng bằng tổng số thẻ đã cho.
Vậy hộp có khoảng 9 thẻ Đỏ, 10 thẻ Xanh, 6 thẻ Vàng, tổng ước lượng $9+10+6=25$ thẻ — đúng bằng tổng số thẻ đã cho.

Ví dụ

Đọc biểu đồ cột kết hợp tính xác suất thực nghiệm (dạng thi)

1
Bốn đợt kiểm tra rút thẻ có hoàn lại từ cùng một hộp, số lần ra thẻ đỏ mỗi đợt: Đợt 1 (20 lần thử): 7 lần đỏ; Đợt 2 (20 lần thử): 9 lần đỏ; Đợt 3 (30 lần thử): 12 lần đỏ; Đợt 4 (30 lần thử): 14 lần đỏ. Tính xác suất thực nghiệm thẻ đỏ của từng đợt, và tính xác suất thực nghiệm gộp cả bốn đợt.
2
Đợt 1: $\dfrac{7}{20}=0{,}35$ ; Đợt 2: $\dfrac{9}{20}=0{,}45$ ; Đợt 3: $\dfrac{12}{30}=0{,}4$ ; Đợt 4: $\dfrac{14}{30}\approx 0{,}467$ .
Đợt 1: $\dfrac{7}{20}=0{,}35$; Đợt 2: $\dfrac{9}{20}=0{,}45$; Đợt 3: $\dfrac{12}{30}=0{,}4$; Đợt 4: $\dfrac{14}{30}\approx 0{,}467$.
3
Bốn tỉ số dao động trong khoảng $0{,}35$ đến $0{,}467$ , không tăng liên tục hay giảm liên tục qua từng đợt riêng lẻ.
Bốn tỉ số dao động trong khoảng $0{,}35$ đến $0{,}467$, không tăng liên tục hay giảm liên tục qua từng đợt riêng lẻ.
4
Gộp cả bốn đợt: tổng số lần ra đỏ là $7+9+12+14=42$ , tổng số lần thử là $20+20+30+30=100$ , nên xác suất thực nghiệm gộp là $\dfrac{42}{100}=0{,}42$ .
Gộp cả bốn đợt: tổng số lần ra đỏ là $7+9+12+14=42$, tổng số lần thử là $20+20+30+30=100$, nên xác suất thực nghiệm gộp là $\dfrac{42}{100}=0{,}42$.
5
Vậy xác suất thực nghiệm thẻ đỏ dao động từ $0{,}35$ đến $0{,}467$ qua từng đợt riêng lẻ, nhưng khi gộp đủ dữ liệu cả bốn đợt, xác suất thực nghiệm ổn định ở khoảng $0{,}42$ — một con số đáng tin hơn vì dựa trên nhiều lần thử hơn.
Vậy xác suất thực nghiệm thẻ đỏ dao động từ $0{,}35$ đến $0{,}467$ qua từng đợt riêng lẻ, nhưng khi gộp đủ dữ liệu cả bốn đợt, xác suất thực nghiệm ổn định ở khoảng $0{,}42$ — một con số đáng tin hơn vì dựa trên nhiều lần thử hơn.

Xác suất thực nghiệm từng đợt lần lượt là

0{,}35

;

0{,}45

;

0{,}4

; khoảng

0{,}467

; gộp cả bốn đợt là

0{,}42

.Xác suất thực nghiệm từng đợt lần lượt là $0{,}35$; $0{,}45$; $0{,}4$; khoảng $0{,}467$; gộp cả bốn đợt là $0{,}42$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi thường gặp nhất là quên hoàn lại thẻ sau mỗi lần rút, khiến tỉ lệ trong hộp thay đổi qua các lần và số liệu không còn đáng tin cậy để ước lượng. Lỗi khác là gộp sai dữ liệu nhiều đợt: cộng trực tiếp các xác suất thực nghiệm của từng đợt riêng lẻ (ví dụ $0{,}35+0{,}45+0{,}4+0{,}467$ ) thay vì gộp đúng bằng tổng số lần xuất hiện chia cho tổng số lần thử của cả bốn đợt cộng lại.

Lỗi thường gặp nhất là quên hoàn lại thẻ sau mỗi lần rút, khiến tỉ lệ trong hộp thay đổi qua các lần và số liệu không còn đáng tin cậy để ước lượng. Lỗi khác là gộp sai dữ liệu nhiều đợt: cộng trực tiếp các xác suất thực nghiệm của từng đợt riêng lẻ (ví dụ $0{,}35+0{,}45+0{,}4+0{,}467$) thay vì gộp đúng bằng tổng số lần xuất hiện chia cho tổng số lần thử của cả bốn đợt cộng lại.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Ước lượng tỉ lệ trong hộp kín: rút có hoàn lại nhiều lần, đếm tần số mỗi loại, tính xác suất thực nghiệm bằng tần số chia tổng số lần rút, rồi nhân với tổng số lượng để ước lượng. Tổng xác suất thực nghiệm của mọi kết quả có thể xảy ra luôn bằng 1. Gộp nhiều đợt số liệu bằng đúng tổng số lần xuất hiện chia tổng số lần thử, không cộng trực tiếp các tỉ số riêng lẻ.

Khóa học tiếp theo trong chương trình lớp 6 sẽ ôn tập tổng hợp cả ba mạch kiến thức đã học suốt năm — Số và Đại số, Hình học và Đo lường, cùng Thống kê và Xác suất — theo đúng cấu trúc một đề kiểm tra cuối năm.