Bài học

Thể tích lăng trụ đứng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được thể tích của một lăng trụ đứng khi biết diện tích đáy và chiều cao, kể cả khi đáy là hình tam giác hoặc hình thang, không chỉ hình chữ nhật.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài về hình hộp chữ nhật đã cho em công thức $V = S_{đáy} \times h$ . Em cũng cần nhớ công thức diện tích tam giác ( $\dfrac{1}{2}$ đáy nhân chiều cao) và diện tích hình thang ( $\dfrac{1}{2}$ tổng hai đáy nhân chiều cao), đã học ở lớp 6.

Bài về hình hộp chữ nhật đã cho em công thức $V = S_{đáy} \times h$. Em cũng cần nhớ công thức diện tích tam giác ($\dfrac{1}{2}$ đáy nhân chiều cao) và diện tích hình thang ($\dfrac{1}{2}$ tổng hai đáy nhân chiều cao), đã học ở lớp 6.

Khởi động

Chiếc lều trại tam giác vuông 6 m, 8 m ở bài trước đã có đủ vải bạt bao phủ. Bây giờ, một câu hỏi khác: cả nhóm cắm trại có đủ chỗ chui vào ngủ không? Cần biết bên trong lều chứa được bao nhiêu mét khối không khí — nhưng đáy lều là tam giác, không phải hình chữ nhật như bể nước hay hộp quà trước đó.

Kiến thức trọng tâm

Với hình hộp chữ nhật, $V = S_{đáy} \times h$ được suy ra từ việc xếp các khối lập phương đơn vị thành từng lớp đáy rồi chồng lên nhau. Quy tắc đó vẫn giữ nguyên cho lăng trụ đứng có đáy là hình bất kì: nếu cắt lăng trụ thành nhiều lát mỏng song song với đáy, mỗi lát đều có hình dạng và diện tích giống hệt đáy — nên tổng thể tích luôn bằng diện tích đáy nhân với chiều cao, dù đáy là hình chữ nhật, tam giác, hay hình thang. Đây là quy tắc được công nhận ở lớp 7, chưa đòi hỏi chứng minh chặt chẽ bằng công cụ cao hơn.

Vậy công thức chung là $V = S_{đáy} \times h$ , trong đó $S_{đáy}$ tính theo đúng công thức của hình đáy: $\dfrac{1}{2}$ đáy × chiều cao nếu đáy là tam giác, $\dfrac{1}{2}$ (tổng hai đáy) × chiều cao nếu đáy là hình thang. Chỉ có một công thức thể tích duy nhất — phần khác nhau nằm ở cách tính $S_{đáy}$ .

Vậy công thức chung là $V = S_{đáy} \times h$, trong đó $S_{đáy}$ tính theo đúng công thức của hình đáy: $\dfrac{1}{2}$ đáy × chiều cao nếu đáy là tam giác, $\dfrac{1}{2}$ (tổng hai đáy) × chiều cao nếu đáy là hình thang. Chỉ có một công thức thể tích duy nhất — phần khác nhau nằm ở cách tính $S_{đáy}$.

Hai lăng trụ có thể tích bằng nhau chưa chắc có cùng hình dạng: một lăng trụ đáy nhỏ nhưng cao có thể chứa đúng bằng một lăng trụ đáy lớn nhưng thấp. Ví dụ, đáy $10$ cm² cao $12$ cm và đáy $15$ cm² cao $8$ cm đều cho thể tích $120$ cm³ — vì $10\times12=15\times8=120$ . Khi đề bài cho thể tích và một đại lượng, luôn xác định rõ đang thiếu $S_{đáy}$ hay thiếu $h$ trước khi chia, vì hai cách chia cho ra hai ý nghĩa khác nhau.

Hai lăng trụ có thể tích bằng nhau chưa chắc có cùng hình dạng: một lăng trụ đáy nhỏ nhưng cao có thể chứa đúng bằng một lăng trụ đáy lớn nhưng thấp. Ví dụ, đáy $10$ cm² cao $12$ cm và đáy $15$ cm² cao $8$ cm đều cho thể tích $120$ cm³ — vì $10\times12=15\times8=120$. Khi đề bài cho thể tích và một đại lượng, luôn xác định rõ đang thiếu $S_{đáy}$ hay thiếu $h$ trước khi chia, vì hai cách chia cho ra hai ý nghĩa khác nhau.

Lời giải có hình

Đáy hình thang vuông của một lăng trụ đứng tứ giác

Bước 1

Đáy của một lăng trụ đứng khác là hình thang vuông ABCD: AB = 8 cm (đáy lớn), DC = 5 cm (đáy nhỏ), AD = 4 cm (đường cao hình thang).

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính thể tích lăng trụ đứng tam giác

1
Một lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông hai cạnh góc vuông 3 cm, 4 cm, chiều cao lăng trụ 10 cm. Tính thể tích.
2
$S_{đáy} = \dfrac{3 \times 4}{2} = 6$ cm².
$S_{đáy} = \dfrac{3 \times 4}{2} = 6$ cm².
3
$V = S_{đáy} \times h = 6 \times 10 = 60$ cm³.
$V = S_{đáy} \times h = 6 \times 10 = 60$ cm³.
4
Vậy thể tích lăng trụ là 60 cm³.

Ví dụ

Không khí bên trong lều trại (dạng thi)

1
Chiếc lều trại ở bài trước có đáy tam giác vuông hai cạnh 6 m, 8 m, chiều dài lều 4 m. Tính thể tích không khí bên trong lều.
2
$S_{đáy} = \dfrac{6 \times 8}{2} = 24$ m².
$S_{đáy} = \dfrac{6 \times 8}{2} = 24$ m².
3
$V = 24 \times 4 = 96$ m³.
$V = 24 \times 4 = 96$ m³.
4
Vậy lều chứa được 96 m³ không khí bên trong.

Ví dụ

Thể tích lăng trụ đứng đáy hình thang (dạng thi)

1
Một khối gỗ hình lăng trụ đứng có đáy là hình thang vuông với đáy lớn 8 cm, đáy nhỏ 5 cm, chiều cao hình thang 4 cm; chiều cao lăng trụ (chiều dài khối gỗ) là 10 cm. Tính thể tích khối gỗ.
2
$S_{đáy} = \dfrac{(8+5)}{2} \times 4 = \dfrac{13}{2} \times 4 = 26$ cm².
$S_{đáy} = \dfrac{(8+5)}{2} \times 4 = \dfrac{13}{2} \times 4 = 26$ cm².
3
$V = S_{đáy} \times h = 26 \times 10 = 260$ cm³.
$V = S_{đáy} \times h = 26 \times 10 = 260$ cm³.
4
Vậy khối gỗ có thể tích 260 cm³.

Ví dụ

Suy ngược từ thể tích ra chiều cao lăng trụ (dạng thi)

1
Một lăng trụ đứng đáy tam giác diện tích 15 cm² có thể tích 180 cm³. Tính chiều cao lăng trụ.
2
Với chiều cao lăng trụ $h$ (cm, $h>0$ ), ta có $V = S_{đáy} \times h$ , tức $180 = 15 \times h$ .
Với chiều cao lăng trụ $h$ (cm, $h>0$), ta có $V = S_{đáy} \times h$, tức $180 = 15 \times h$.
3
$h = 180 \div 15 = 12$ .
$h = 180 \div 15 = 12$.
4
Vậy chiều cao lăng trụ là 12 cm (TMĐK $h>0$ ).
Vậy chiều cao lăng trụ là 12 cm (TMĐK $h>0$).

Ví dụ

Hai lăng trụ khác đáy, cùng thể tích (dạng thi)

1
Lăng trụ P có đáy tam giác diện tích 10 cm², chiều cao lăng trụ 12 cm. Lăng trụ Q có đáy hình thang diện tích 15 cm². Hai lăng trụ có thể tích bằng nhau. Tính chiều cao lăng trụ Q.
2
$V_P = 10 \times 12 = 120$ cm³.
$V_P = 10 \times 12 = 120$ cm³.
3
Hai lăng trụ có thể tích bằng nhau nên $V_Q = 120$ cm³, tức $15 \times h_Q = 120$ .
Hai lăng trụ có thể tích bằng nhau nên $V_Q = 120$ cm³, tức $15 \times h_Q = 120$.
4
$h_Q = 120 \div 15 = 8$ cm.
$h_Q = 120 \div 15 = 8$ cm.
5
Vậy chiều cao lăng trụ Q là 8 cm — cùng thể tích 120 cm³ nhưng đáy lớn hơn (15 cm² so với 10 cm²) nên chiều cao thấp hơn (8 cm so với 12 cm), đúng theo nhận xét ở trên.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi hay gặp nhất là lấy nhầm chiều cao của tam giác hay hình thang đáy để nhân trực tiếp với một cạnh, thay vì tính đúng diện tích đáy trước rồi mới nhân với chiều cao LĂNG TRỤ. Hai chữ 'chiều cao' xuất hiện ở hai vai trò khác nhau trong cùng một bài toán — luôn đọc kỹ chiều cao nào thuộc về đáy, chiều cao nào là cạnh bên của lăng trụ.

Ghi nhớ

Thể tích mọi lăng trụ đứng đều là V = Sđáy × h, chỉ khác nhau ở công thức tính Sđáy theo hình dạng đáy — tam giác dùng ½ đáy×chiều cao, hình thang dùng ½ tổng hai đáy×chiều cao.

Hai chương vừa qua đã trang bị đủ công cụ tính Sxq, Stp, V cho cả hình hộp chữ nhật lẫn lăng trụ đứng tam giác, tứ giác. Hai chương cuối ôn lại toàn bộ qua các bài toán thực tế tổng hợp.