Bài học

Góc đặc biệt và Hai đường thẳng song song — Vận dụng tổng hợp

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em vận dụng phối hợp hai góc đối đỉnh, hai góc kề bù, dấu hiệu và tính chất hai đường thẳng song song, cùng tiên đề Euclid, để tính các góc còn lại trong một hình vẽ có nhiều đường thẳng cắt nhau.

Kiến thức nền cần nhớ

Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh góc kia; hai góc đối đỉnh luôn bằng nhau. Hai góc kề bù có chung một cạnh, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau; tổng số đo hai góc kề bù luôn bằng $180^\circ$ . Khi một cát tuyến cắt hai đường thẳng, nó tạo ra các cặp góc so le trong, đồng vị, trong cùng phía — nếu hai đường thẳng song song thì so le trong bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau; ngược lại, một trong ba dấu hiệu đó đúng thì suy ra hai đường thẳng song song. Tiên đề Euclid khẳng định: qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh góc kia; hai góc đối đỉnh luôn bằng nhau. Hai góc kề bù có chung một cạnh, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau; tổng số đo hai góc kề bù luôn bằng $180^\circ$. Khi một cát tuyến cắt hai đường thẳng, nó tạo ra các cặp góc so le trong, đồng vị, trong cùng phía — nếu hai đường thẳng song song thì so le trong bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau; ngược lại, một trong ba dấu hiệu đó đúng thì suy ra hai đường thẳng song song. Tiên đề Euclid khẳng định: qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Dấu hiệu và tính chất là hai chiều suy luận ngược nhau của cùng một sự thật: dấu hiệu đi từ "góc bằng nhau" đến kết luận "song song", còn tính chất đi từ "đã biết song song" đến kết luận "góc bằng nhau". Đề bài luôn cho biết em đang ở chiều nào — hỏi "chứng minh hai đường thẳng song song" thì dùng dấu hiệu; hỏi "tính góc" khi đã biết hai đường thẳng song song thì dùng tính chất.

Khởi động

Một hình vẽ đề kiểm tra thường không cho sẵn số đo của MỌI góc — chỉ cho một góc, rồi yêu cầu tính các góc còn lại. Muốn làm được, em phải nhận ra đúng cặp góc nào đang liên hệ với góc đã biết: đối đỉnh, kề bù, so le trong hay đồng vị. Ví dụ, khi hai đường kẻ trên vở ô li chắc chắn song song và một đường chéo cắt qua, mọi góc tạo ra đều suy ra được mà không cần đo, miễn nhận đúng cặp góc.

Trong một hình vẽ có từ ba đường thẳng trở lên, việc đầu tiên là xác định đâu là hai đường thẳng ĐANG được xét là song song, và đâu là cát tuyến cắt qua cả hai. Cùng một đường thẳng có thể đóng vai trò cát tuyến cho cặp đường thẳng này, nhưng lại là một trong hai đường thẳng song song đang xét ở một câu hỏi khác của cùng bài toán — luôn đọc lại đúng vai trò mà đề bài gán cho từng đường thẳng trước khi áp dụng dấu hiệu hay tính chất.

Ví dụ minh hoạ

Lời giải có hình

Tính các góc tạo bởi hai đường thẳng song song và một cát tuyến

Bước 1

Cho hai đường thẳng $m$ (qua C, A, D) và $n$ (qua E, B, F) song song với nhau, cùng bị một cát tuyến cắt lần lượt tại A và B. Biết góc DAB $= 45^\circ$ .Cho hai đường thẳng $m$ (qua C, A, D) và $n$ (qua E, B, F) song song với nhau, cùng bị một cát tuyến cắt lần lượt tại A và B. Biết góc DAB $= 45^\circ$.

Ví dụ

Tìm số đo góc bằng cách lập phương trình

1
Hai góc kề bù có số đo lần lượt là $3x + 10$ (độ) và $2x + 15$ (độ). Tìm $x$ và số đo mỗi góc.
Hai góc kề bù có số đo lần lượt là $3x + 10$ (độ) và $2x + 15$ (độ). Tìm $x$ và số đo mỗi góc.
2
Vì hai góc kề bù có tổng số đo bằng $180^\circ$ : $(3x + 10) + (2x + 15) = 180$ .
Vì hai góc kề bù có tổng số đo bằng $180^\circ$: $(3x + 10) + (2x + 15) = 180$.
3
Rút gọn: $5x + 25 = 180 \Leftrightarrow 5x = 155 \Leftrightarrow x = 31$ .
Rút gọn: $5x + 25 = 180 \Leftrightarrow 5x = 155 \Leftrightarrow x = 31$.
4
Góc thứ nhất: $3(31) + 10 = 103^\circ$ . Góc thứ hai: $2(31) + 15 = 77^\circ$ .
Góc thứ nhất: $3(31) + 10 = 103^\circ$. Góc thứ hai: $2(31) + 15 = 77^\circ$.
5
Vậy $x = 31$ ; hai góc kề bù có số đo $103^\circ$ và $77^\circ$ (kiểm tra: $103 + 77 = 180$ , TMĐK).
Vậy $x = 31$; hai góc kề bù có số đo $103^\circ$ và $77^\circ$ (kiểm tra: $103 + 77 = 180$, TMĐK).

Ví dụ

Kiểm tra hai đường thẳng có song song hay không

1
Một cát tuyến cắt hai đường thẳng $p$ và $q$ , tạo một cặp góc đồng vị lần lượt là $68^\circ$ và $72^\circ$ . Hai đường thẳng $p, q$ có song song với nhau không?
Một cát tuyến cắt hai đường thẳng $p$ và $q$, tạo một cặp góc đồng vị lần lượt là $68^\circ$ và $72^\circ$. Hai đường thẳng $p, q$ có song song với nhau không?
2
Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, nếu một cặp góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song.
3
Ở đây $68^\circ \neq 72^\circ$ , cặp góc đồng vị KHÔNG bằng nhau.
Ở đây $68^\circ \neq 72^\circ$, cặp góc đồng vị KHÔNG bằng nhau.
4
Vậy hai đường thẳng $p$ và $q$ KHÔNG song song với nhau, vì dấu hiệu nhận biết không được thỏa mãn.
Vậy hai đường thẳng $p$ và $q$ KHÔNG song song với nhau, vì dấu hiệu nhận biết không được thỏa mãn.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Bẫy thường gặp

Trong một hình có nhiều đường thẳng cắt nhau, rất dễ nhầm góc đồng vị với góc so le trong nếu không xác định rõ cát tuyến đang xét là đường nào. Trước khi kết luận, luôn nêu rõ: hai góc đó nằm ở hai giao điểm nào, cùng phía hay khác phía với cát tuyến, trong hay ngoài hai đường thẳng.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Đối đỉnh thì bằng nhau; kề bù thì bù nhau (tổng $180^\circ$ ). Khi hai đường thẳng song song: so le trong bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau — và ngược lại, một trong ba dấu hiệu ấy đúng thì hai đường thẳng song song.

Đối đỉnh thì bằng nhau; kề bù thì bù nhau (tổng $180^\circ$). Khi hai đường thẳng song song: so le trong bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau — và ngược lại, một trong ba dấu hiệu ấy đúng thì hai đường thẳng song song.

Cầu nối

Bài tiếp theo dùng chính công cụ góc và song song này để chứng minh định lí tổng ba góc của một tam giác, rồi ôn lại ba trường hợp bằng nhau và tính chất tam giác cân.