Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Tổng ba góc, Tam giác bằng nhau và Tam giác cân — Chứng minh tổng hợp
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em vận dụng phối hợp định lí tổng ba góc của tam giác, ba trường hợp bằng nhau của tam giác (c.c.c, c.g.c, g.c.g) và tính chất tam giác cân để hoàn thành một chứng minh hình học đầy đủ.
Kiến thức nền cần nhớ
Tổng ba góc trong của một tam giác luôn bằng $180^\circ$; góc ngoài của một tam giác (tại một đỉnh) bằng tổng hai góc trong không kề với nó. Góc ngoài chỉ xuất hiện khi ta kéo dài một cạnh ra ngoài tại một đỉnh; tại mỗi đỉnh có hai góc ngoài (kéo dài về hai phía), nhưng chúng bằng nhau vì đối đỉnh, nên đề bài chỉ cần nói "góc ngoài tại đỉnh đó" mà không cần chỉ rõ kéo dài về phía nào. Hai tam giác bằng nhau khi ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau (c.c.c), hoặc hai cặp cạnh và góc xen giữa bằng nhau (c.g.c), hoặc một cặp cạnh và hai góc kề cạnh đó bằng nhau (g.c.g). Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau, kéo theo hai góc ở đáy bằng nhau; chiều ngược lại cũng đúng — nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó cân tại đỉnh đối diện với cạnh nối hai góc đó.
Thứ tự các chữ cái trong tên trường hợp (c.c.c, c.g.c, g.c.g) không phải ngẫu nhiên — nó mô tả đúng thứ tự các yếu tố tương ứng khi viết hai tam giác bằng nhau. Trong c.g.c, góc phải nằm GIỮA hai cạnh đã cho (góc xen giữa), không phải một góc bất kỳ kề với một trong hai cạnh; trong g.c.g, góc phải là hai góc KỀ với cạnh đã cho. Nhầm vị trí góc là lỗi khiến nhiều bài chứng minh áp dụng sai trường hợp dù các yếu tố bằng nhau đều đúng.
Khởi động
Một tam giác cân dường như "đối xứng" một cách trực quan — nhưng làm sao chứng minh chặt chẽ rằng đường trung tuyến ứng với cạnh đáy của nó cũng chính là đường cao, chứ không chỉ là quan sát bằng mắt?
Ví dụ minh hoạ
Lời giải có hình
Chứng minh trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân là đường cao
Bước 1
Cho tam giác ABC cân tại A, tức $AB = AC$.
Ví dụ
Tính góc bằng tổng ba góc và góc ngoài của tam giác
1
Tam giác DEF có góc D $= 52^\circ$, góc ngoài tại đỉnh E bằng $115^\circ$. Tính góc E và góc F.
2
Góc ngoài tại đỉnh E bằng tổng hai góc trong không kề với nó, tức góc D và góc F: góc D + góc F $= 115^\circ$.
3
Suy ra góc F $= 115^\circ - 52^\circ = 63^\circ$.
4
Theo định lí tổng ba góc của tam giác: góc D + góc E + góc F $= 180^\circ$, nên góc E $= 180^\circ - 52^\circ - 63^\circ = 65^\circ$.
5
Vậy góc F $= 63^\circ$, góc E $= 65^\circ$; kiểm tra lại góc ngoài tại E kề bù với góc E: $180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ (TMĐK).
Ví dụ
Nhận diện trường hợp bằng nhau góc-cạnh-góc
1
Cho tam giác ABC và tam giác DEF có góc B = góc E, cạnh BC = EF, góc C = góc F. Hai tam giác này có bằng nhau không? Vì sao?
2
Dữ kiện cho một cặp cạnh (BC = EF) và hai cặp góc kề với cạnh đó (góc B = góc E, góc C = góc F) — đúng dạng "một cạnh và hai góc kề cạnh đó".
3
Đây là trường hợp bằng nhau góc-cạnh-góc (g.c.g).
4
Theo trường hợp g.c.g, $\triangle ABC = \triangle DEF$, kéo theo mọi cạnh và góc tương ứng còn lại của hai tam giác cũng bằng nhau, chẳng hạn $AB = DE$ và $AC = DF$.
5
Vậy hai tam giác bằng nhau theo trường hợp g.c.g.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Sai lầm thường gặp
Bẫy thường gặp
Dễ nhầm góc ngoài với góc trong CÙNG đỉnh — thực chất góc ngoài kề bù với góc trong cùng đỉnh, và bằng TỔNG hai góc trong ở hai đỉnh còn lại, chứ không phải một góc riêng lẻ nào khác. Khi viết chứng minh c.c.c, cũng cần liệt kê đủ CẢ BA cặp cạnh bằng nhau, thiếu một cặp là chứng minh chưa hoàn chỉnh. Với g.c.g, hai góc phải KỀ với cạnh đã cho — nhầm sang một góc đối diện cạnh đó làm bài chứng minh sai trường hợp dù kết luận cuối có thể vẫn đúng bằng cách khác.
Kiểm tra nhanh
Ghi nhớ
Tổng ba góc tam giác bằng $180^\circ$; góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề. Ba trường hợp bằng nhau: c.c.c, c.g.c, g.c.g — chú ý đúng vị trí góc (xen giữa với c.g.c, kề cạnh với g.c.g). Trong tam giác cân, trung tuyến ứng với đỉnh cân đồng thời là đường cao, và hai góc đáy bằng nhau (cả hai chiều thuận, ngược).
Cầu nối
Chương tiếp theo ôn lại bốn đường đồng quy của tam giác — trong đó tính chất trọng tâm sẽ được áp dụng ngay với độ dài trung tuyến $AM = 18$ cm đã tìm được từ tỉ lệ thức ở Chương 1. Đường trung tuyến AM vừa chứng minh vuông góc với đáy trong ví dụ trên cũng chính là một trong bốn loại đường đồng quy đó.
Tổng ba góc trong của một tam giác luôn bằng 180∘; góc ngoài của một tam giác (tại một đỉnh) bằng tổng hai góc trong không kề với nó. Góc ngoài chỉ xuất hiện khi ta kéo dài một cạnh ra ngoài tại một đỉnh; tại mỗi đỉnh có hai góc ngoài (kéo dài về hai phía), nhưng chúng bằng nhau vì đối đỉnh, nên đề bài chỉ cần nói "góc ngoài tại đỉnh đó" mà không cần chỉ rõ kéo dài về phía nào. Hai tam giác bằng nhau khi ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau (c.c.c), hoặc hai cặp cạnh và góc xen giữa bằng nhau (c.g.c), hoặc một cặp cạnh và hai góc kề cạnh đó bằng nhau (g.c.g). Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau, kéo theo hai góc ở đáy bằng nhau; chiều ngược lại cũng đúng — nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó cân tại đỉnh đối diện với cạnh nối hai góc đó.
Thứ tự các chữ cái trong tên trường hợp (c.c.c, c.g.c, g.c.g) không phải ngẫu nhiên — nó mô tả đúng thứ tự các yếu tố tương ứng khi viết hai tam giác bằng nhau. Trong c.g.c, góc phải nằm GIỮA hai cạnh đã cho (góc xen giữa), không phải một góc bất kỳ kề với một trong hai cạnh; trong g.c.g, góc phải là hai góc KỀ với cạnh đã cho. Nhầm vị trí góc là lỗi khiến nhiều bài chứng minh áp dụng sai trường hợp dù các yếu tố bằng nhau đều đúng.
Cho tam giác ABC cân tại A, tức AB=AC.
Tam giác DEF có góc D =52∘, góc ngoài tại đỉnh E bằng 115∘. Tính góc E và góc F.
Góc ngoài tại đỉnh E bằng tổng hai góc trong không kề với nó, tức góc D và góc F: góc D + góc F =115∘.
Suy ra góc F =115∘−52∘=63∘.
Theo định lí tổng ba góc của tam giác: góc D + góc E + góc F =180∘, nên góc E =180∘−52∘−63∘=65∘.
Vậy góc F =63∘, góc E =65∘; kiểm tra lại góc ngoài tại E kề bù với góc E: 180∘−65∘=115∘ (TMĐK).
Theo trường hợp g.c.g, △ABC=△DEF, kéo theo mọi cạnh và góc tương ứng còn lại của hai tam giác cũng bằng nhau, chẳng hạn AB=DE và AC=DF.
Dễ nhầm góc ngoài với góc trong CÙNG đỉnh — thực chất góc ngoài kề bù với góc trong cùng đỉnh, và bằng TỔNG hai góc trong ở hai đỉnh còn lại, chứ không phải một góc riêng lẻ nào khác. Khi viết chứng minh c.c.c, cũng cần liệt kê đủ CẢ BA cặp cạnh bằng nhau, thiếu một cặp là chứng minh chưa hoàn chỉnh. Với g.c.g, hai góc phải KỀ với cạnh đã cho — nhầm sang một góc đối diện cạnh đó làm bài chứng minh sai trường hợp dù kết luận cuối có thể vẫn đúng bằng cách khác.
Tổng ba góc tam giác bằng 180∘; góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề. Ba trường hợp bằng nhau: c.c.c, c.g.c, g.c.g — chú ý đúng vị trí góc (xen giữa với c.g.c, kề cạnh với g.c.g). Trong tam giác cân, trung tuyến ứng với đỉnh cân đồng thời là đường cao, và hai góc đáy bằng nhau (cả hai chiều thuận, ngược).
Chương tiếp theo ôn lại bốn đường đồng quy của tam giác — trong đó tính chất trọng tâm sẽ được áp dụng ngay với độ dài trung tuyến AM=18 cm đã tìm được từ tỉ lệ thức ở Chương 1. Đường trung tuyến AM vừa chứng minh vuông góc với đáy trong ví dụ trên cũng chính là một trong bốn loại đường đồng quy đó.