Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Các đường đồng quy trong tam giác — Ôn tập và ứng dụng
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em nhớ lại bốn đường đồng quy của tam giác — trung tuyến với trọng tâm, phân giác, trung trực, đường cao với trực tâm — và áp dụng đúng tính chất trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ số $2:1$ cho một độ dài lấy từ một tỉ lệ thức đã giải trước đó.
Kiến thức nền cần nhớ
Trong một tam giác, ba đường trung tuyến (nối một đỉnh với trung điểm cạnh đối diện) đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm, và trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ số $2:1$ tính từ đỉnh. Ba đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm cách đều ba cạnh — tâm đường tròn nội tiếp. Ba đường trung trực của ba cạnh đồng quy tại một điểm cách đều ba đỉnh — tâm đường tròn ngoại tiếp. Ba đường cao đồng quy tại trực tâm.
Đừng nhầm đường trung tuyến (nối đỉnh với trung điểm cạnh đối diện, luôn đi qua một đỉnh) với đường trung trực (vuông góc với một cạnh tại trung điểm của nó, không nhất thiết đi qua đỉnh nào). Hai tên gọi gần giống nhau về mặt chữ nhưng mô tả hai đối tượng hình học khác hẳn nhau. Muốn biết đề bài đang hỏi về đường nào, hãy nhìn từ khóa: "trọng tâm", "tỉ số 2:1" → trung tuyến; "cách đều hai cạnh", "nội tiếp" → phân giác; "cách đều hai đỉnh", "ngoại tiếp" → trung trực; "vuông góc với cạnh đối diện" → đường cao.
Bốn đường đồng quy này không phải bốn công cụ tách biệt để học thuộc riêng lẻ — chúng đều là hệ quả của cùng một ý tưởng: một tập hợp điểm thỏa một tính chất hình học (cách đều hai điểm, cách đều hai đường thẳng, chia đoạn theo tỉ số cố định) luôn tạo thành một đường thẳng, và ba đường thẳng cùng loại như vậy luôn giao nhau tại đúng một điểm. Nhớ được ý tưởng chung này giúp em không nhầm lẫn bốn đường với nhau khi làm bài tổng hợp.
Khởi động
Bốn đường đồng quy nghe có vẻ giống nhau vì đều "gặp nhau tại một điểm" — nhưng điểm đồng quy của mỗi loại đường mang một ý nghĩa khác hẳn nhau: một điểm cách đều ba cạnh, một điểm cách đều ba đỉnh, và một điểm chia đường trung tuyến theo tỉ số cố định. Làm sao phân biệt và áp dụng đúng?
Ví dụ minh hoạ
Lời giải có hình
Tính khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh và đến trung điểm cạnh đối diện
Bước 1
Cho tam giác ABC với M là trung điểm BC; AM là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A.
Ví dụ
Áp dụng tính chất đường phân giác
1
Tia phân giác trong của góc A trong tam giác ABC tạo với hai cạnh AB, AC hai góc bằng nhau. Biết góc A $= 76^\circ$, tính mỗi góc tạo bởi tia phân giác đó với hai cạnh.
2
Theo định nghĩa, tia phân giác của một góc chia góc đó thành hai góc bằng nhau, mỗi góc bằng một nửa góc ban đầu.
3
Mỗi góc tạo bởi tia phân giác với một cạnh bằng $\dfrac{76^\circ}{2} = 38^\circ$.
4
Vậy tia phân giác của góc A tạo với AB một góc $38^\circ$ và với AC một góc $38^\circ$.
Ví dụ
Áp dụng tính chất đường trung trực để chứng minh tam giác cân
1
Cho tam giác ABC. Biết đường trung trực của cạnh BC đi qua đỉnh A. Chứng tỏ tam giác ABC cân tại A.
2
Theo tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, mọi điểm nằm trên đường trung trực của BC đều cách đều hai đầu mút B và C.
3
Vì A nằm trên đường trung trực của BC (giả thiết), nên A cách đều B và C, tức $AB = AC$.
4
Theo định nghĩa, tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân.
5
Vậy tam giác ABC cân tại A.
Ví dụ
Trực tâm của tam giác vuông
1
Trong tam giác vuông tại A, trực tâm của tam giác trùng với điểm nào? Giải thích.
2
Vì góc A $= 90^\circ$, cạnh AB vuông góc với cạnh AC. Do đó AB chính là đường cao xuất phát từ đỉnh B (vuông góc với cạnh AC), và AC chính là đường cao xuất phát từ đỉnh C (vuông góc với cạnh AB).
3
Hai đường cao này (AB và AC) cắt nhau ngay tại đỉnh A; đường cao thứ ba (kẻ từ A xuống BC) cũng đi qua A.
4
Vậy trực tâm của tam giác vuông tại A chính là đỉnh A.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Sai lầm thường gặp
Bẫy thường gặp
Rất dễ nhầm trọng tâm (giao điểm ba đường trung tuyến) với trực tâm (giao điểm ba đường cao) — hai điểm này chỉ trùng nhau trong tam giác đều, còn với tam giác thường thì chúng là hai điểm khác nhau, ở hai vị trí khác nhau.
Kiểm tra nhanh
Ghi nhớ
Trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ số $2:1$ tính từ đỉnh. Phân giác đồng quy tại tâm đường tròn nội tiếp (cách đều ba cạnh); trung trực đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp (cách đều ba đỉnh); đường cao đồng quy tại trực tâm.
Cầu nối
Bài tiếp theo rời tam giác để ôn lại hình hộp chữ nhật, hình lập phương và lăng trụ đứng — vẫn dùng lại kĩ năng tính toán và cả tính chất tỉ lệ thuận vừa ôn ở Chương 2.
Sau bài này, em nhớ lại bốn đường đồng quy của tam giác — trung tuyến với trọng tâm, phân giác, trung trực, đường cao với trực tâm — và áp dụng đúng tính chất trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ số 2:1 cho một độ dài lấy từ một tỉ lệ thức đã giải trước đó.
Trong một tam giác, ba đường trung tuyến (nối một đỉnh với trung điểm cạnh đối diện) đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm, và trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ số 2:1 tính từ đỉnh. Ba đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm cách đều ba cạnh — tâm đường tròn nội tiếp. Ba đường trung trực của ba cạnh đồng quy tại một điểm cách đều ba đỉnh — tâm đường tròn ngoại tiếp. Ba đường cao đồng quy tại trực tâm.
Đừng nhầm đường trung tuyến (nối đỉnh với trung điểm cạnh đối diện, luôn đi qua một đỉnh) với đường trung trực (vuông góc với một cạnh tại trung điểm của nó, không nhất thiết đi qua đỉnh nào). Hai tên gọi gần giống nhau về mặt chữ nhưng mô tả hai đối tượng hình học khác hẳn nhau. Muốn biết đề bài đang hỏi về đường nào, hãy nhìn từ khóa: "trọng tâm", "tỉ số 2:1" → trung tuyến; "cách đều hai cạnh", "nội tiếp" → phân giác; "cách đều hai đỉnh", "ngoại tiếp" → trung trực; "vuông góc với cạnh đối diện" → đường cao.
Bốn đường đồng quy này không phải bốn công cụ tách biệt để học thuộc riêng lẻ — chúng đều là hệ quả của cùng một ý tưởng: một tập hợp điểm thỏa một tính chất hình học (cách đều hai điểm, cách đều hai đường thẳng, chia đoạn theo tỉ số cố định) luôn tạo thành một đường thẳng, và ba đường thẳng cùng loại như vậy luôn giao nhau tại đúng một điểm. Nhớ được ý tưởng chung này giúp em không nhầm lẫn bốn đường với nhau khi làm bài tổng hợp.
Tia phân giác trong của góc A trong tam giác ABC tạo với hai cạnh AB, AC hai góc bằng nhau. Biết góc A =76∘, tính mỗi góc tạo bởi tia phân giác đó với hai cạnh.
Mỗi góc tạo bởi tia phân giác với một cạnh bằng 276∘=38∘.
Vậy tia phân giác của góc A tạo với AB một góc 38∘ và với AC một góc 38∘.
Vì A nằm trên đường trung trực của BC (giả thiết), nên A cách đều B và C, tức AB=AC.
Vì góc A =90∘, cạnh AB vuông góc với cạnh AC. Do đó AB chính là đường cao xuất phát từ đỉnh B (vuông góc với cạnh AC), và AC chính là đường cao xuất phát từ đỉnh C (vuông góc với cạnh AB).
Trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ số 2:1 tính từ đỉnh. Phân giác đồng quy tại tâm đường tròn nội tiếp (cách đều ba cạnh); trung trực đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp (cách đều ba đỉnh); đường cao đồng quy tại trực tâm.