Bài học

Tỉ lệ thức và Dãy tỉ số bằng nhau — Ôn tập và chọn đúng công cụ

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em vận dụng lại tính chất cơ bản của tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải các bài toán chia phần, đồng thời phân biệt được khi nào một đề bài cần một tỉ lệ thức đơn và khi nào cần cả một dãy tỉ số.

Kiến thức nền cần nhớ

Tỉ lệ thức $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ (với $b, d \neq 0$ ) có tính chất cơ bản: tích hai ngoại tỉ bằng tích hai trung tỉ, tức $a \times d = b \times c$ . Dãy tỉ số bằng nhau $\dfrac{a}{m} = \dfrac{b}{n} = \dfrac{c}{p}$ (với $m, n, p \neq 0$ và $m + n + p \neq 0$ ) có tính chất mở rộng: tỉ số đó bằng luôn cả $\dfrac{a+b+c}{m+n+p}$ , và cũng bằng $\dfrac{a-b}{m-n}$ khi $m \neq n$ . Dãy tỉ số có thể mở rộng cho nhiều hơn ba đại lượng, miễn tổng các mẫu tương ứng khác 0.

Tỉ lệ thức $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ (với $b, d \neq 0$) có tính chất cơ bản: tích hai ngoại tỉ bằng tích hai trung tỉ, tức $a \times d = b \times c$. Dãy tỉ số bằng nhau $\dfrac{a}{m} = \dfrac{b}{n} = \dfrac{c}{p}$ (với $m, n, p \neq 0$ và $m + n + p \neq 0$) có tính chất mở rộng: tỉ số đó bằng luôn cả $\dfrac{a+b+c}{m+n+p}$, và cũng bằng $\dfrac{a-b}{m-n}$ khi $m \neq n$. Dãy tỉ số có thể mở rộng cho nhiều hơn ba đại lượng, miễn tổng các mẫu tương ứng khác 0.

Khởi động

Một lớp học có ba tổ được phân công trồng tổng cộng một số cây theo đúng tỉ lệ số bạn của từng tổ. Biết tổng số cây và tỉ lệ giữa ba tổ, làm sao tìm ra số cây của TỪNG tổ, khi ta không biết trước tổ nào trồng bao nhiêu?

Chọn đúng công cụ: tỉ lệ thức hay dãy tỉ số?

Khi đề chỉ cho MỘT tỉ số cố định giữa HAI đại lượng, và một trong hai giá trị chưa biết, ta viết một tỉ lệ thức rồi dùng tích chéo để tìm ẩn. Khi đề cho tỉ lệ giữa TỪ BA đại lượng trở lên, kèm theo tổng hoặc hiệu đã biết của chúng, ta viết một dãy tỉ số bằng nhau rồi cộng (hoặc trừ) tử số và mẫu số tương ứng — tích chéo lúc này không giải được vì có nhiều hơn một ẩn cùng lúc.

Cụm từ "tỉ lệ với" trong đề bài luôn có nghĩa các đại lượng đó LẬP một dãy tỉ số bằng nhau theo đúng thứ tự liệt kê, chứ không phải các đại lượng đó BẰNG các số liệt kê. Ba số "tỉ lệ với $2, 3, 4$ " có dạng $2k, 3k, 4k$ với $k$ là một hằng số chung nào đó, không nhất thiết bằng đúng $2, 3, 4$ . Đề bài cũng có thể cho tổng của tất cả các phần, hoặc chỉ cho hiệu giữa hai phần cụ thể — đọc kỹ xem dữ kiện đã cho là tổng hay hiệu, vì hai trường hợp dùng công thức cộng và trừ khác nhau trong tính chất dãy tỉ số.

Cụm từ "tỉ lệ với" trong đề bài luôn có nghĩa các đại lượng đó LẬP một dãy tỉ số bằng nhau theo đúng thứ tự liệt kê, chứ không phải các đại lượng đó BẰNG các số liệt kê. Ba số "tỉ lệ với $2, 3, 4$" có dạng $2k, 3k, 4k$ với $k$ là một hằng số chung nào đó, không nhất thiết bằng đúng $2, 3, 4$. Đề bài cũng có thể cho tổng của tất cả các phần, hoặc chỉ cho hiệu giữa hai phần cụ thể — đọc kỹ xem dữ kiện đã cho là tổng hay hiệu, vì hai trường hợp dùng công thức cộng và trừ khác nhau trong tính chất dãy tỉ số.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tìm thành phần chưa biết của một tỉ lệ thức

1
Trong một tam giác, độ dài đường trung tuyến $AM$ thỏa tỉ lệ thức $\dfrac{AM}{24} = \dfrac{3}{4}$ . Tính $AM$ .
Trong một tam giác, độ dài đường trung tuyến $AM$ thỏa tỉ lệ thức $\dfrac{AM}{24} = \dfrac{3}{4}$. Tính $AM$.
2
Theo tính chất cơ bản của tỉ lệ thức, hai tích chéo bằng nhau: $AM \times 4 = 24 \times 3$ .
Theo tính chất cơ bản của tỉ lệ thức, hai tích chéo bằng nhau: $AM \times 4 = 24 \times 3$.
3
Suy ra $AM = \dfrac{24 \times 3}{4} = \dfrac{72}{4} = 18$ .
Suy ra $AM = \dfrac{24 \times 3}{4} = \dfrac{72}{4} = 18$.
4
Vậy $AM = 18$ (cm) — độ dài trung tuyến này sẽ được dùng lại khi ta ôn về trọng tâm tam giác ở một chương sau.
Vậy $AM = 18$ (cm) — độ dài trung tuyến này sẽ được dùng lại khi ta ôn về trọng tâm tam giác ở một chương sau.

Ví dụ

Chia ba số theo một tỉ lệ cho trước, biết tổng

1
Ba số $x, y, z$ tỉ lệ với $2, 3, 4$ và có tổng bằng $27$ . Tìm $x, y, z$ .
Ba số $x, y, z$ tỉ lệ với $2, 3, 4$ và có tổng bằng $27$. Tìm $x, y, z$.
2
Vì $x, y, z$ tỉ lệ với $2, 3, 4$ nên $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4}$ .
Vì $x, y, z$ tỉ lệ với $2, 3, 4$ nên $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4}$.
3
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta cộng các tử và các mẫu tương ứng: $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4} = \dfrac{x+y+z}{2+3+4} = \dfrac{27}{9} = 3$ .
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta cộng các tử và các mẫu tương ứng: $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4} = \dfrac{x+y+z}{2+3+4} = \dfrac{27}{9} = 3$.
4
Vậy $x = 2 \times 3 = 6$ ; $y = 3 \times 3 = 9$ ; $z = 4 \times 3 = 12$ .
Vậy $x = 2 \times 3 = 6$; $y = 3 \times 3 = 9$; $z = 4 \times 3 = 12$.
5
Vậy $x = 6$ , $y = 9$ , $z = 12$ — kiểm tra lại: $6 + 9 + 12 = 27$ (TMĐK). Bộ giá trị $x = 6, y = 9$ này sẽ quay lại khi ta ôn về đa thức nhiều biến.
Vậy $x = 6$, $y = 9$, $z = 12$ — kiểm tra lại: $6 + 9 + 12 = 27$ (TMĐK). Bộ giá trị $x = 6, y = 9$ này sẽ quay lại khi ta ôn về đa thức nhiều biến.

Ví dụ

Chia tỉ lệ khi đề cho hiệu thay vì tổng

1
Hai đội trồng cây có số cây trồng tỉ lệ với $5$ và $7$ . Đội thứ hai trồng nhiều hơn đội thứ nhất $18$ cây. Hỏi mỗi đội trồng bao nhiêu cây?
Hai đội trồng cây có số cây trồng tỉ lệ với $5$ và $7$. Đội thứ hai trồng nhiều hơn đội thứ nhất $18$ cây. Hỏi mỗi đội trồng bao nhiêu cây?
2
Gọi số cây đội một, đội hai lần lượt là $x, y$ . Ta có $\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{7}$ , và $y - x = 18$ .
Gọi số cây đội một, đội hai lần lượt là $x, y$. Ta có $\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{7}$, và $y - x = 18$.
3
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, $\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{7} = \dfrac{y-x}{7-5} = \dfrac{18}{2} = 9$ .
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, $\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{7} = \dfrac{y-x}{7-5} = \dfrac{18}{2} = 9$.
4
Vậy $x = 5 \times 9 = 45$ ; $y = 7 \times 9 = 63$ .
Vậy $x = 5 \times 9 = 45$; $y = 7 \times 9 = 63$.
5
Vậy đội thứ nhất trồng 45 cây, đội thứ hai trồng 63 cây; kiểm tra $63 - 45 = 18$ (TMĐK).
Vậy đội thứ nhất trồng 45 cây, đội thứ hai trồng 63 cây; kiểm tra $63 - 45 = 18$ (TMĐK).

Ví dụ

Chia tỉ lệ ba cạnh của một tam giác, biết chu vi

1
Ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với $3, 4, 5$ và có chu vi $36$ cm. Tính độ dài mỗi cạnh.
Ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với $3, 4, 5$ và có chu vi $36$ cm. Tính độ dài mỗi cạnh.
2
Gọi ba cạnh là $x, y, z$ (cm): $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5}$ , và chu vi $x + y + z = 36$ .
Gọi ba cạnh là $x, y, z$ (cm): $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5}$, và chu vi $x + y + z = 36$.
3
$\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5} = \dfrac{x+y+z}{3+4+5} = \dfrac{36}{12} = 3$ .
$\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5} = \dfrac{x+y+z}{3+4+5} = \dfrac{36}{12} = 3$.
4
Vậy $x = 3 \times 3 = 9$ ; $y = 4 \times 3 = 12$ ; $z = 5 \times 3 = 15$ (cm).
Vậy $x = 3 \times 3 = 9$; $y = 4 \times 3 = 12$; $z = 5 \times 3 = 15$ (cm).
5
Vậy ba cạnh tam giác lần lượt là 9 cm, 12 cm, 15 cm; kiểm tra $9 + 12 + 15 = 36$ (TMĐK).
Vậy ba cạnh tam giác lần lượt là 9 cm, 12 cm, 15 cm; kiểm tra $9 + 12 + 15 = 36$ (TMĐK).

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Bẫy thường gặp

Nhiều bạn đọc "tỉ lệ với $2, 3, 4$ " rồi gán trực tiếp $x = 2, y = 3, z = 4$ — điều này chỉ đúng khi tổng của $2 + 3 + 4$ trùng khớp với tổng đề bài cho. Cách làm đúng luôn là viết dãy tỉ số $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4}$ rồi tính tỉ số chung, chứ không suy đoán bằng mắt.

Nhiều bạn đọc "tỉ lệ với $2, 3, 4$" rồi gán trực tiếp $x = 2, y = 3, z = 4$ — điều này chỉ đúng khi tổng của $2 + 3 + 4$ trùng khớp với tổng đề bài cho. Cách làm đúng luôn là viết dãy tỉ số $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4}$ rồi tính tỉ số chung, chứ không suy đoán bằng mắt.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Tỉ lệ thức đơn dùng tích chéo khi chỉ có hai đại lượng và một ẩn. Dãy tỉ số bằng nhau dùng khi có từ ba đại lượng trở lên cùng tỉ lệ, kèm tổng hoặc hiệu đã biết — cộng hoặc trừ tử và mẫu tương ứng rồi tính tỉ số chung.

Cầu nối

Chương tiếp theo ôn lại đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch — một dạng quan hệ khác hẳn tỉ lệ thức tĩnh ở trên, vì nó mô tả HAI đại lượng cùng biến thiên theo nhau — rồi quay lại dùng ngay các giá trị $x = 6, y = 9$ vừa tìm được để tính giá trị một đa thức nhiều biến.