Bài học

Hình hộp, Hình lập phương và Lăng trụ đứng — Ôn tập Sxq, Stp, Thể tích

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính đúng diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật, hình lập phương và lăng trụ đứng, vận dụng vào bài toán thực tế có kết hợp đại lượng tỉ lệ thuận.

Kiến thức nền cần nhớ

Với hình hộp chữ nhật có ba kích thước $a, b, h$ : diện tích xung quanh $S_{xq} = 2(a+b)h$ , diện tích toàn phần $S_{tp} = S_{xq} + 2ab$ , thể tích $V = abh$ ; hình lập phương cạnh $a$ là trường hợp đặc biệt với $V = a^3$ . Với lăng trụ đứng có đáy là một đa giác: $S_{xq} =$ chu vi đáy $\times$ chiều cao, $V =$ diện tích đáy $\times$ chiều cao, $S_{tp} = S_{xq} + 2 \times$ diện tích đáy.

Với hình hộp chữ nhật có ba kích thước $a, b, h$: diện tích xung quanh $S_{xq} = 2(a+b)h$, diện tích toàn phần $S_{tp} = S_{xq} + 2ab$, thể tích $V = abh$; hình lập phương cạnh $a$ là trường hợp đặc biệt với $V = a^3$. Với lăng trụ đứng có đáy là một đa giác: $S_{xq} = $ chu vi đáy $\times$ chiều cao, $V = $ diện tích đáy $\times$ chiều cao, $S_{tp} = S_{xq} + 2 \times$ diện tích đáy.

Hình hộp chữ nhật thực chất là một lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật — vì vậy công thức $S_{xq} =$ chu vi đáy $\times$ chiều cao và $V =$ diện tích đáy $\times$ chiều cao của lăng trụ đứng áp dụng đúng cho cả hình hộp chữ nhật; công thức $2(a+b)h$ và $abh$ chỉ là dạng viết riêng, thuận tiện hơn khi đáy là hình chữ nhật với hai cạnh $a, b$ đã biết.

Hình hộp chữ nhật thực chất là một lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật — vì vậy công thức $S_{xq} = $ chu vi đáy $\times$ chiều cao và $V = $ diện tích đáy $\times$ chiều cao của lăng trụ đứng áp dụng đúng cho cả hình hộp chữ nhật; công thức $2(a+b)h$ và $abh$ chỉ là dạng viết riêng, thuận tiện hơn khi đáy là hình chữ nhật với hai cạnh $a, b$ đã biết.

Khởi động

Hình hộp chữ nhật và lăng trụ đứng dùng chung một "triết lí" tính toán: nhân chu vi (hoặc kích thước) đáy với chiều cao để ra diện tích xung quanh, rồi cộng thêm hai đáy để ra diện tích toàn phần. Nắm được triết lí đó, em không cần nhớ máy móc từng công thức riêng cho từng hình. Các bài toán thực tế về hình khối thường xoay quanh ba câu hỏi: cần bao nhiêu vật liệu để làm bề mặt (diện tích toàn phần), cần bao nhiêu sơn hay giấy dán cho các mặt bên (diện tích xung quanh), hoặc chứa được bao nhiêu (thể tích) — nhận đúng câu hỏi nào đang được hỏi quyết định công thức nào được dùng.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Hình hộp chữ nhật

1
Một chiếc thùng các-tông dạng hình hộp chữ nhật có kích thước $6$ dm $\times$ $4$ dm $\times$ $5$ dm (dài, rộng, cao). Tính $S_{xq}$ , $S_{tp}$ và thể tích của thùng.
Một chiếc thùng các-tông dạng hình hộp chữ nhật có kích thước $6$ dm $\times$ $4$ dm $\times$ $5$ dm (dài, rộng, cao). Tính $S_{xq}$, $S_{tp}$ và thể tích của thùng.
2
$S_{xq} = 2(a+b)h = 2(6+4) \times 5 = 2 \times 10 \times 5 = 100$ (dm $^2$ ).
$S_{xq} = 2(a+b)h = 2(6+4) \times 5 = 2 \times 10 \times 5 = 100$ (dm$^2$).
3
$S_{tp} = S_{xq} + 2ab = 100 + 2 \times 6 \times 4 = 100 + 48 = 148$ (dm $^2$ ).
$S_{tp} = S_{xq} + 2ab = 100 + 2 \times 6 \times 4 = 100 + 48 = 148$ (dm$^2$).
4
$V = abh = 6 \times 4 \times 5 = 120$ (dm $^3$ ).
$V = abh = 6 \times 4 \times 5 = 120$ (dm$^3$).
5
Vậy thùng có $S_{xq} = 100$ dm $^2$ , $S_{tp} = 148$ dm $^2$ , $V = 120$ dm $^3$ .
Vậy thùng có $S_{xq} = 100$ dm$^2$, $S_{tp} = 148$ dm$^2$, $V = 120$ dm$^3$.

Ví dụ

Lăng trụ đứng đáy tam giác cân

1
Một lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân với cạnh đáy $10$ cm, chiều cao ứng với cạnh đáy của tam giác là $12$ cm (diện tích đáy tính được ngay từ hai số này), hai cạnh bên của tam giác đáy dài $13$ cm mỗi cạnh; chiều cao của lăng trụ là $15$ cm. Tính $S_{xq}$ , $S_{tp}$ và thể tích.
Một lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân với cạnh đáy $10$ cm, chiều cao ứng với cạnh đáy của tam giác là $12$ cm (diện tích đáy tính được ngay từ hai số này), hai cạnh bên của tam giác đáy dài $13$ cm mỗi cạnh; chiều cao của lăng trụ là $15$ cm. Tính $S_{xq}$, $S_{tp}$ và thể tích.
2
Diện tích tam giác đáy: $S_{đáy} = \dfrac{10 \times 12}{2} = 60$ (cm $^2$ ).
Diện tích tam giác đáy: $S_{đáy} = \dfrac{10 \times 12}{2} = 60$ (cm$^2$).
3
Chu vi đáy: $10 + 13 + 13 = 36$ (cm).
Chu vi đáy: $10 + 13 + 13 = 36$ (cm).
4
$S_{xq} = 36 \times 15 = 540$ (cm $^2$ ); $V = S_{đáy} \times$ chiều cao $= 60 \times 15 = 900$ (cm $^3$ ) — chiều cao lăng trụ (15 cm) khác với chiều cao 12 cm của tam giác đáy, đừng nhầm hai đại lượng cùng tên "chiều cao" nhưng đo hai thứ khác nhau.
$S_{xq} = 36 \times 15 = 540$ (cm$^2$); $V = S_{đáy} \times$ chiều cao $= 60 \times 15 = 900$ (cm$^3$) — chiều cao lăng trụ (15 cm) khác với chiều cao 12 cm của tam giác đáy, đừng nhầm hai đại lượng cùng tên "chiều cao" nhưng đo hai thứ khác nhau.
5
Diện tích toàn phần: $S_{tp} = S_{xq} + 2 S_{đáy} = 540 + 120 = 660$ (cm $^2$ ). Vậy $S_{xq} = 540$ cm $^2$ , $S_{tp} = 660$ cm $^2$ , $V = 900$ cm $^3$ .
Diện tích toàn phần: $S_{tp} = S_{xq} + 2 S_{đáy} = 540 + 120 = 660$ (cm$^2$). Vậy $S_{xq} = 540$ cm$^2$, $S_{tp} = 660$ cm$^2$, $V = 900$ cm$^3$.

Ví dụ

Hình lập phương và đổi đơn vị thể tích

1
Một bể nước dạng hình lập phương có cạnh $2$ m. Tính thể tích bể theo đơn vị lít, biết $1\ \text{m}^3 = 1000$ lít.
Một bể nước dạng hình lập phương có cạnh $2$ m. Tính thể tích bể theo đơn vị lít, biết $1\ \text{m}^3 = 1000$ lít.
2
$V = a^3 = 2^3 = 8$ (m $^3$ ).
$V = a^3 = 2^3 = 8$ (m$^3$).
3
$8\ \text{m}^3 = 8 \times 1000 = 8000$ (lít).
$8\ \text{m}^3 = 8 \times 1000 = 8000$ (lít).
4
Vậy bể chứa được tối đa 8000 lít nước.

Ví dụ

Bài toán vật liệu kết hợp đại lượng tỉ lệ thuận

1
Lượng sơn cần dùng tỉ lệ thuận với diện tích cần sơn. Sơn toàn bộ diện tích toàn phần ( $S_{tp} = 148$ dm $^2$ ) của thùng ở ví dụ đầu tiên cần $0{,}3$ lít sơn. Hỏi cần bao nhiêu lít sơn để sơn một thùng khác có $S_{tp} = 296$ dm $^2$ ?
Lượng sơn cần dùng tỉ lệ thuận với diện tích cần sơn. Sơn toàn bộ diện tích toàn phần ($S_{tp} = 148$ dm$^2$) của thùng ở ví dụ đầu tiên cần $0{,}3$ lít sơn. Hỏi cần bao nhiêu lít sơn để sơn một thùng khác có $S_{tp} = 296$ dm$^2$?
2
Lượng sơn và diện tích cần sơn là hai đại lượng tỉ lệ thuận (theo giả thiết đề bài), nên khi diện tích tăng bao nhiêu lần, lượng sơn cũng tăng bấy nhiêu lần.
3
Vì $296 = 148 \times 2$ nên diện tích thùng thứ hai gấp đôi diện tích thùng thứ nhất.
Vì $296 = 148 \times 2$ nên diện tích thùng thứ hai gấp đôi diện tích thùng thứ nhất.
4
Theo tính chất tỉ lệ thuận, lượng sơn cũng gấp đôi: $0{,}3 \times 2 = 0{,}6$ (lít).
Theo tính chất tỉ lệ thuận, lượng sơn cũng gấp đôi: $0{,}3 \times 2 = 0{,}6$ (lít).
5
Vậy cần $0{,}6$ lít sơn để sơn thùng có $S_{tp} = 296$ dm $^2$ — kết quả này chỉ phụ thuộc vào tỉ lệ diện tích, không phụ thuộc hình dạng cụ thể của thùng, đúng bản chất của đại lượng tỉ lệ thuận.
Vậy cần $0{,}6$ lít sơn để sơn thùng có $S_{tp} = 296$ dm$^2$ — kết quả này chỉ phụ thuộc vào tỉ lệ diện tích, không phụ thuộc hình dạng cụ thể của thùng, đúng bản chất của đại lượng tỉ lệ thuận.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Bẫy thường gặp

Rất nhiều bạn nhầm $S_{xq}$ (chỉ tính các mặt bên) với $S_{tp}$ (phải cộng thêm hai mặt đáy) — đọc kĩ đề hỏi diện tích NÀO trước khi tính. Cũng cần đổi các kích thước về cùng một đơn vị trước khi thay vào công thức, nếu đề cho các số đo ở đơn vị khác nhau. Với hình lập phương, nhớ $S_{tp} = 6a^2$ (sáu mặt bằng nhau) — nhầm thành $4a^2$ (quên hai đáy) là lỗi thường gặp.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Sxq = chu vi đáy × chiều cao (dùng chung cho hộp và lăng trụ, vì hình hộp chữ nhật cũng là một lăng trụ đứng đáy tứ giác). Stp = Sxq + 2 × diện tích đáy. V = diện tích đáy × chiều cao.

Cầu nối

Chương cuối cùng trước khi luyện đề tổng hợp chuyển sang thống kê và xác suất — nơi số hữu tỉ ở Chương 1 sẽ quay lại lần nữa, lần này để tính điểm trung bình của một bảng số liệu. Công thức Sxq, Stp, V vừa ôn cũng sẽ xuất hiện lại dưới dạng trắc nghiệm trong đề kiểm tra minh họa ở chương cuối.