Phần

Đường chéo hình hộp chữ nhật — Pythagore hai lần

Mục tiêu bài học

Sau bài này em tính được đường chéo không gian của hình hộp chữ nhật bằng cách áp dụng định lý Pythagore hai lần liên tiếp — không học thuộc công thức $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ một cách máy móc. Và em chứng minh được vì sao hai đường chéo không gian của hộp luôn bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Kiến thức cần có trước

Em cần vững: định lý Pythagore trong tam giác vuông, và tính chất hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau, cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (đã học ở phần tứ giác lớp 8).

Bài chuẩn so với bài HSG

Đề chuẩn cho sẵn công thức $AC'=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ rồi yêu cầu thay số. Bài HSG hôm nay yêu cầu em tự dựng ra công thức đó bằng hai tam giác vuông liên tiếp — và dùng chính hình chữ nhật vừa dựng để chứng minh một tính chất (hai đường chéo bằng nhau, cắt nhau tại trung điểm), chứ không chỉ tính một con số.

Khởi động

Một hình chữ nhật có hai cạnh 6 cm và 8 cm. Đường chéo của nó dài bao nhiêu? Theo Pythagore: $\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$ cm — bài toán quen thuộc từ lớp 7. Bài học hôm nay dùng lại đúng thao tác này, nhưng áp dụng nó hai lần liên tiếp cho một hình không gian.

Bài toán mở đầu

Bài toán. Hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=3$ cm, $AD=4$ cm, $AA'=12$ cm. Tính đường chéo không gian $AC'$ (đoạn nối hai đỉnh xa nhau nhất của hộp).

Không có tam giác vuông nào trong hình chứa sẵn cả ba số 3, 4, 12 cùng lúc. Nhưng có một tam giác vuông ẩn chứa 3 và 4 (nằm trong mặt đáy), và sau khi tìm ra cạnh thứ ba của tam giác đó, lại có một tam giác vuông khác ẩn chứa cạnh vừa tìm được và số 12.

**Bài toán.** Hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=3$ cm, $AD=4$ cm, $AA'=12$ cm. Tính đường chéo không gian $AC'$ (đoạn nối hai đỉnh xa nhau nhất của hộp). Không có tam giác vuông nào trong hình chứa sẵn cả ba số 3, 4, 12 cùng lúc. Nhưng có một tam giác vuông ẩn chứa 3 và 4 (nằm trong mặt đáy), và sau khi tìm ra cạnh thứ ba của tam giác đó, lại có một tam giác vuông khác ẩn chứa cạnh vừa tìm được và số 12.

Ý tưởng mấu chốt

Đường chéo không gian $AC'$ không nằm trong bất kỳ mặt phẳng đáy hay mặt bên nào của hộp — nó xuyên qua khối hộp. Nhưng nó lại là cạnh huyền của MỘT tam giác vuông rất cụ thể: tam giác $ACC'$ , với $AC$ là đường chéo của mặt đáy và $CC'$ là một cạnh bên. Vậy: tìm $AC$ trước (Pythagore lần 1, trong mặt đáy), rồi tìm $AC'$ từ $AC$ và $CC'$ (Pythagore lần 2, trong mặt phẳng chứa đường chéo đáy và cạnh bên).

Đường chéo không gian $AC'$ không nằm trong bất kỳ mặt phẳng đáy hay mặt bên nào của hộp — nó xuyên qua khối hộp. Nhưng nó lại là cạnh huyền của MỘT tam giác vuông rất cụ thể: tam giác $ACC'$, với $AC$ là đường chéo của mặt đáy và $CC'$ là một cạnh bên. Vậy: tìm $AC$ trước (Pythagore lần 1, trong mặt đáy), rồi tìm $AC'$ từ $AC$ và $CC'$ (Pythagore lần 2, trong mặt phẳng chứa đường chéo đáy và cạnh bên).

Vì sao chọn đúng hai tam giác này mà không phải cặp nào khác? Vì $CC'$ vuông góc với toàn bộ mặt đáy — nên nó vuông góc với mọi đoạn thẳng nằm trong mặt đáy, kể cả $AC$ . Đó là lý do tam giác $ACC'$ luôn vuông tại $C$ , không phụ thuộc hình chữ nhật đáy có kích thước bao nhiêu.

Vì sao chọn đúng hai tam giác này mà không phải cặp nào khác? Vì $CC'$ vuông góc với toàn bộ mặt đáy — nên nó vuông góc với mọi đoạn thẳng nằm trong mặt đáy, kể cả $AC$. Đó là lý do tam giác $ACC'$ luôn vuông tại $C$, không phụ thuộc hình chữ nhật đáy có kích thước bao nhiêu.

Lời giải có hình

Tam giác vuông ABC trong mặt đáy — tìm đường chéo mặt AC

Bước 1

Cho hình chữ nhật đáy ABCD với AB = 3 cm, AD = BC = 4 cm.

Lời giải có hình

Hình chữ nhật ACC'A' — đường chéo không gian AC' và tính chất hai đường chéo

Bước 1

AC là đường chéo mặt vừa tính (5 cm); CC' là cạnh bên AA' của hộp (12 cm), vuông góc với mặt đáy nên vuông góc với AC.

CC' vuông góc với cả mặt đáy nên vuông góc với AC

Toạ độ thật dùng để kiểm chứng bộ ba 5-12-13 và tính chất hai đường chéo bằng nhau, cắt nhau tại trung điểm.

Ví dụ

Ví dụ 1 — Tính đường chéo không gian AC'

1
Hình hộp chữ nhật có $AB=3$ cm, $AD=4$ cm, $AA'=12$ cm. Tính $AC'$ .
Hình hộp chữ nhật có $AB=3$ cm, $AD=4$ cm, $AA'=12$ cm. Tính $AC'$.
2
Trong mặt đáy, tam giác $ABC$ vuông tại $B$ : $AC^2=AB^2+BC^2=3^2+4^2=25$ , suy ra $AC=5$ cm.
Trong mặt đáy, tam giác $ABC$ vuông tại $B$: $AC^2=AB^2+BC^2=3^2+4^2=25$, suy ra $AC=5$ cm.
3
Trong mặt phẳng $(ACC'A')$ , tam giác $ACC'$ vuông tại $C$ (vì $CC' \perp$ mặt đáy): $AC'^2=AC^2+CC'^2=5^2+12^2=169$ , suy ra $AC'=13$ cm.
Trong mặt phẳng $(ACC'A')$, tam giác $ACC'$ vuông tại $C$ (vì $CC' \perp$ mặt đáy): $AC'^2=AC^2+CC'^2=5^2+12^2=169$, suy ra $AC'=13$ cm.
4
Công thức quen thuộc $AC'=\sqrt{AB^2+AD^2+AA'^2}$ chỉ là cách viết gộp hai bước Pythagore này lại — nhớ CÁCH DỰNG hai tam giác vuông quan trọng hơn nhớ công thức, vì khi đề bài đổi dữ kiện (ví dụ cho $AC'$ và hai cạnh, hỏi cạnh còn lại), em vẫn dùng lại được đúng hai tam giác đó.
Công thức quen thuộc $AC'=\sqrt{AB^2+AD^2+AA'^2}$ chỉ là cách viết gộp hai bước Pythagore này lại — nhớ CÁCH DỰNG hai tam giác vuông quan trọng hơn nhớ công thức, vì khi đề bài đổi dữ kiện (ví dụ cho $AC'$ và hai cạnh, hỏi cạnh còn lại), em vẫn dùng lại được đúng hai tam giác đó.
5
Trong mặt đáy $ABCD$ , tam giác $ABC$ vuông tại $B$ (góc của hình chữ nhật). Theo định lý Pythagore: $AC^2=AB^2+BC^2=3^2+4^2=25$ , suy ra $AC=5$ cm. (1)

$CC'$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$ nên $CC' \perp AC$ , tức tam giác $ACC'$ vuông tại $C$ . (2)

Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông $ACC'$ : $AC'^2=AC^2+CC'^2$ . (3)

Thay (1) và $CC'=AA'=12$ cm vào (3): $AC'^2=5^2+12^2=169$ , suy ra $AC'=13$ cm.

Vậy đường chéo không gian $AC'=13$ cm.
Trong mặt đáy $ABCD$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$ (góc của hình chữ nhật). Theo định lý Pythagore: $AC^2=AB^2+BC^2=3^2+4^2=25$, suy ra $AC=5$ cm. (1) $CC'$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$ nên $CC' \perp AC$, tức tam giác $ACC'$ vuông tại $C$. (2) Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông $ACC'$: $AC'^2=AC^2+CC'^2$. (3) Thay (1) và $CC'=AA'=12$ cm vào (3): $AC'^2=5^2+12^2=169$, suy ra $AC'=13$ cm. Vậy đường chéo không gian $AC'=13$ cm.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Chứng minh hai đường chéo không gian bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm

1
Với hình hộp chữ nhật ở Ví dụ 1, gọi $O$ là giao điểm của $AC'$ và $CA'$ (hai trong bốn đường chéo không gian của hộp). Chứng minh $AC'=CA'$ và $O$ là trung điểm của cả hai đoạn.
Với hình hộp chữ nhật ở Ví dụ 1, gọi $O$ là giao điểm của $AC'$ và $CA'$ (hai trong bốn đường chéo không gian của hộp). Chứng minh $AC'=CA'$ và $O$ là trung điểm của cả hai đoạn.
2
$AC \parallel A'C'$ (hai đường chéo của hai mặt đáy song song và bằng nhau vì hai mặt đáy là hai hình chữ nhật bằng nhau, xếp chồng song song) và $AA' \parallel CC'$ (hai cạnh bên của hộp). Vậy $ACC'A'$ là hình bình hành. Vì $AA' \perp AC$ (đã chỉ ra ở Ví dụ 1), hình bình hành này có một góc vuông, nên nó là hình chữ nhật.
$AC \parallel A'C'$ (hai đường chéo của hai mặt đáy song song và bằng nhau vì hai mặt đáy là hai hình chữ nhật bằng nhau, xếp chồng song song) và $AA' \parallel CC'$ (hai cạnh bên của hộp). Vậy $ACC'A'$ là hình bình hành. Vì $AA' \perp AC$ (đã chỉ ra ở Ví dụ 1), hình bình hành này có một góc vuông, nên nó là hình chữ nhật.
3
Trong một hình chữ nhật, hai đường chéo luôn bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Mà $AC'$ và $CA'$ chính là hai đường chéo của hình chữ nhật $ACC'A'$ vừa dựng.
Trong một hình chữ nhật, hai đường chéo luôn bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Mà $AC'$ và $CA'$ chính là hai đường chéo của hình chữ nhật $ACC'A'$ vừa dựng.
4
$AC'$ và $CA'$ là hai trong bốn đường chéo không gian của cả hộp $ABCD.A'B'C'D'$ — bài toán vừa chứng minh xong một tính chất của TOÀN BỘ hộp, chỉ bằng cách nhận ra một hình chữ nhật thật sự ẩn bên trong nó, không cần đến toạ độ hay công thức nào khác.
$AC'$ và $CA'$ là hai trong bốn đường chéo không gian của cả hộp $ABCD.A'B'C'D'$ — bài toán vừa chứng minh xong một tính chất của TOÀN BỘ hộp, chỉ bằng cách nhận ra một hình chữ nhật thật sự ẩn bên trong nó, không cần đến toạ độ hay công thức nào khác.
5
Ta có $AC \parallel A'C'$ và $AC=A'C'$ (hai đường chéo của hai mặt đáy bằng nhau, xếp chồng song song). (1)

Ta có $AA' \parallel CC'$ và $AA'=CC'$ (hai cạnh bên của hình hộp chữ nhật). (2)

Từ (1) và (2), tứ giác $ACC'A'$ là hình bình hành. (3)

Mặt khác, $AA' \perp$ mặt đáy $(ABCD)$ nên $AA' \perp AC$ , tức góc $\widehat{A'AC}=90^\circ$ . (4)

Từ (3) và (4), $ACC'A'$ là hình chữ nhật (hình bình hành có một góc vuông).

Do đó hai đường chéo $AC'$ và $CA'$ của hình chữ nhật $ACC'A'$ bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường.

Vậy $AC'=CA'$ và $O$ là trung điểm của cả $AC'$ lẫn $CA'$ — điều phải chứng minh.
Ta có $AC \parallel A'C'$ và $AC=A'C'$ (hai đường chéo của hai mặt đáy bằng nhau, xếp chồng song song). (1) Ta có $AA' \parallel CC'$ và $AA'=CC'$ (hai cạnh bên của hình hộp chữ nhật). (2) Từ (1) và (2), tứ giác $ACC'A'$ là hình bình hành. (3) Mặt khác, $AA' \perp$ mặt đáy $(ABCD)$ nên $AA' \perp AC$, tức góc $\widehat{A'AC}=90^\circ$. (4) Từ (3) và (4), $ACC'A'$ là hình chữ nhật (hình bình hành có một góc vuông). Do đó hai đường chéo $AC'$ và $CA'$ của hình chữ nhật $ACC'A'$ bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường. Vậy $AC'=CA'$ và $O$ là trung điểm của cả $AC'$ lẫn $CA'$ — điều phải chứng minh.

Sai lầm phổ biến

(1) Nhầm đường chéo MẶT (nằm trên một mặt của hộp, ví dụ $AC$ ) với đường chéo KHÔNG GIAN (xuyên qua khối hộp, ví dụ $AC'$ ) — đây là hai đại lượng khác nhau và bài toán luôn cần cả hai; (2) áp dụng Pythagore một lần rồi dừng lại, quên rằng kết quả của bước 1 (đường chéo mặt) chỉ là dữ kiện đầu vào cho bước 2, chưa phải đáp số cuối cùng.

(1) Nhầm đường chéo MẶT (nằm trên một mặt của hộp, ví dụ $AC$) với đường chéo KHÔNG GIAN (xuyên qua khối hộp, ví dụ $AC'$) — đây là hai đại lượng khác nhau và bài toán luôn cần cả hai; (2) áp dụng Pythagore một lần rồi dừng lại, quên rằng kết quả của bước 1 (đường chéo mặt) chỉ là dữ kiện đầu vào cho bước 2, chưa phải đáp số cuối cùng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Tổng kết

Đường chéo không gian của hình hộp chữ nhật luôn là cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là ĐƯỜNG CHÉO MẶT ĐÁY và MỘT CẠNH BÊN. Nhớ đúng hai tam giác vuông này — tam giác chứa đường chéo mặt, rồi tam giác chứa đường chéo mặt và cạnh bên — quan trọng hơn nhớ công thức gộp $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ , vì nó còn cho ra một hình chữ nhật thật sự dùng để chứng minh các tính chất khác của hộp.

Đường chéo không gian của hình hộp chữ nhật luôn là cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là ĐƯỜNG CHÉO MẶT ĐÁY và MỘT CẠNH BÊN. Nhớ đúng hai tam giác vuông này — tam giác chứa đường chéo mặt, rồi tam giác chứa đường chéo mặt và cạnh bên — quan trọng hơn nhớ công thức gộp $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$, vì nó còn cho ra một hình chữ nhật thật sự dùng để chứng minh các tính chất khác của hộp.

Chương tiếp theo đổi sang một khối hình mới: lăng trụ đứng có đáy KHÔNG phải hình chữ nhật. Kỹ thuật "tìm tam giác vuông ẩn" vẫn còn nguyên giá trị, nhưng lần này tam giác vuông đó nằm ngay trong MẶT ĐÁY của lăng trụ, trước khi ta tính đến diện tích và thể tích.