Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Quan hệ song song, vuông góc và đếm cạnh chéo nhau trong hình hộp chữ nhật
Mục tiêu bài học
Sau bài này em phân loại đúng ba quan hệ có thể xảy ra giữa hai cạnh của hình hộp chữ nhật: song song, cắt nhau tại một đỉnh, hoặc chéo nhau. Và em đếm được tổng số cặp cạnh chéo nhau trong cả 12 cạnh bằng một phép đếm có hệ thống, không liệt kê tay từng cặp.
Kiến thức cần có trước
Em cần nhớ: hình hộp chữ nhật có 8 đỉnh, 12 cạnh, 6 mặt đều là hình chữ nhật. Hai đường thẳng trong không gian chỉ có ba khả năng: cắt nhau, song song, hoặc chéo nhau (không cùng nằm trên một mặt phẳng nào). Và số cách chọn 2 phần tử bất kỳ trong $n$ phần tử bằng $\dfrac{n(n-1)}{2}$.
Bài chuẩn so với bài HSG
Đề chuẩn thường dừng ở mức chỉ ra một cặp cạnh song song hoặc một cặp cạnh vuông góc trên hình vẽ, nhìn hình là trả lời được ngay. Bài HSG hôm nay hỏi một con số duy nhất cho toàn bộ 12 cạnh: có bao nhiêu cặp cạnh chéo nhau? Thử liệt kê tay 66 cặp để lọc ra là việc không ai làm nổi mà không nhầm lẫn trong một bài kiểm tra — em buộc phải nghĩ ra một cách đếm.
Khởi động
Đặt một hộp phấn lên bàn, gọi tên các đỉnh của nó là $ABCD.A'B'C'D'$, với $ABCD$ là mặt đáy và $A'B'C'D'$ là mặt trên ($A$ nằm ngay dưới $A'$, $B$ dưới $B'$, và cứ thế). Cạnh $AB$ và cạnh $A'B'$ nằm trên hai mặt khác nhau nhưng cùng phương, nên chúng song song. Cạnh $AB$ và cạnh $AD$ cùng xuất phát từ đỉnh $A$, nên chúng cắt nhau, và vì các góc của hộp đều vuông nên chúng còn vuông góc với nhau. Còn cạnh $AB$ và cạnh $B'C'$? Hai cạnh này không chung đỉnh, không cùng nằm trên một mặt phẳng, và cũng không song song — đây là một cặp cạnh chéo nhau, quan hệ thứ ba mà bài học hôm nay tập trung vào.
Bài toán mở đầu
**Bài toán.** Hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có 12 cạnh. Hỏi có bao nhiêu cặp cạnh chéo nhau?
Thử liệt kê tay là một cái bẫy rõ ràng: tổng số cách chọn 2 cạnh trong 12 cạnh đã là $\dfrac{12 \cdot 11}{2} = 66$ cặp. Không ai rà tay hết 66 cặp mà không bỏ sót hoặc đếm lặp. Cách làm đúng là đếm phần bù: thay vì đếm trực tiếp các cặp chéo nhau, ta đếm các cặp không chéo nhau — cặp chung đỉnh cộng với cặp song song — rồi lấy 66 trừ đi.
Ý tưởng mấu chốt
Mọi cặp cạnh của hình hộp chữ nhật rơi vào đúng một trong ba nhóm: chung đỉnh (cắt nhau tại một điểm), song song (không chung đỉnh nhưng cùng phương), hoặc chéo nhau (không chung đỉnh, không cùng phương). Ba nhóm này rời nhau và phủ hết 66 cặp, nên: số cặp chéo nhau $= 66 - (\text{số cặp chung đỉnh}) - (\text{số cặp song song})$. Việc còn lại chỉ là đếm hai nhóm dễ hơn nhóm ban đầu.
Vì sao tách ra hai nhóm lại dễ hơn? Vì "chung đỉnh" gắn với từng đỉnh riêng lẻ — dễ đếm theo từng đỉnh một — còn "song song" gắn với từng phương riêng lẻ — dễ đếm theo từng phương một. Cả hai tiêu chí đều quy về đúng công thức chọn 2 phần tử vừa nhắc ở phần kiến thức cần có trước, chỉ khác nhóm đang xét.
Đáy $ABCD$ — bốn đỉnh mặt trên $A', B', C', D'$ nằm thẳng đứng phía trên tương ứng.
Ví dụ
Ví dụ 1 — Đếm cặp cạnh chung đỉnh
1
Mỗi đỉnh của hình hộp chữ nhật có đúng 3 cạnh đi qua (ba cạnh vuông góc đôi một tại đỉnh đó). Có bao nhiêu cặp cạnh chung đỉnh trên toàn hộp?
2
Tại một đỉnh, số cách chọn 2 trong 3 cạnh gặp nhau ở đó là $\dfrac{3 \cdot 2}{2} = 3$ cặp.
3
Hộp có 8 đỉnh, mỗi đỉnh góp 3 cặp. Một cặp cạnh chung đỉnh chỉ chung nhau tại đúng một đỉnh (hai cạnh phân biệt không thể cùng gặp nhau ở hai đỉnh khác nhau), nên không có chuyện đếm lặp giữa các đỉnh. Tổng: $8 \times 3 = 24$.
4
Tại mỗi đỉnh của hình hộp chữ nhật có đúng 3 cạnh gặp nhau. (1)
Số cách chọn 2 cạnh trong 3 cạnh đó là $\dfrac{3\cdot 2}{2}=3$. (2)
Mỗi cặp cạnh chung đỉnh chỉ chung nhau tại một đỉnh duy nhất nên không bị đếm lặp giữa các đỉnh. Từ (1) và (2), tổng số cặp cạnh chung đỉnh trên toàn hộp là $8 \times 3 = 24$.
Vậy có 24 cặp cạnh chung đỉnh.
Ví dụ
Ví dụ 2 — Đếm cặp song song, suy ra số cặp chéo nhau
1
12 cạnh của hình hộp chữ nhật chia thành 3 phương (3 nhóm cạnh cùng hướng), mỗi phương gồm 4 cạnh song song đôi một. Có bao nhiêu cặp cạnh song song? Từ đó, có bao nhiêu cặp cạnh chéo nhau?
2
Mỗi phương có 4 cạnh song song đôi một, số cách chọn 2 trong 4 là $\dfrac{4\cdot 3}{2}=6$ cặp.
3
Có 3 phương, mỗi phương góp 6 cặp. Hai cạnh khác phương thì không song song nên không bị đếm lặp: tổng $3\times 6=18$ cặp song song.
4
$66 - 24 - 18 = 24$.
5
12 cạnh của hình hộp chữ nhật chia thành 3 phương, mỗi phương gồm 4 cạnh đôi một song song. (1)
Số cặp song song trong một phương là $\dfrac{4\cdot 3}{2}=6$; vì hai cạnh khác phương không thể song song, tổng số cặp song song trên toàn hộp là $3\times 6=18$. (2)
Tổng số cặp cạnh của hộp là $\dfrac{12\cdot 11}{2}=66$. (3)
Theo Ví dụ 1, số cặp chung đỉnh là 24. (4)
Từ (2), (3), (4), ba nhóm chung đỉnh — song song — chéo nhau rời nhau và phủ hết 66 cặp, nên số cặp chéo nhau là $66-24-18=24$.
Vậy hình hộp chữ nhật có 24 cặp cạnh chéo nhau.
Quy trình đếm phần bù áp dụng cho bài toán mở đầu.
Sai lầm phổ biến
(1) Nhầm "không cắt nhau" với "song song" — hai cạnh chéo nhau cũng không cắt nhau, nhưng chúng không song song, nên không được gộp vào nhóm song song; (2) quên rằng một cặp cạnh chung đỉnh chỉ tính tại một đỉnh, dẫn đến đếm lặp nếu vô tình cộng thêm ở đỉnh còn lại.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Thử thách
Tổng kết
Khi cần đếm một loại quan hệ hình học trên nhiều đối tượng, đừng đếm trực tiếp nếu số lượng lớn — đếm phần bù (những gì không thuộc loại cần đếm) thường dễ hơn, miễn là phần bù tách được thành các nhóm rời nhau, mỗi nhóm đếm bằng công thức chọn 2 quen thuộc.
Bài tiếp theo dùng lại đúng bộ đỉnh $A, B, C, D$ vừa làm quen, nhưng đổi trọng tâm: thay vì đếm cạnh, ta tính độ dài đường chéo dài nhất trong hộp — đường chéo không gian nối hai đỉnh xa nhau nhất — bằng cách áp dụng định lý Pythagore không phải một, mà hai lần liên tiếp.
Em cần nhớ: hình hộp chữ nhật có 8 đỉnh, 12 cạnh, 6 mặt đều là hình chữ nhật. Hai đường thẳng trong không gian chỉ có ba khả năng: cắt nhau, song song, hoặc chéo nhau (không cùng nằm trên một mặt phẳng nào). Và số cách chọn 2 phần tử bất kỳ trong n phần tử bằng 2n(n−1).
Đề chuẩn thường dừng ở mức chỉ ra một cặp cạnh song song hoặc một cặp cạnh vuông góc trên hình vẽ, nhìn hình là trả lời được ngay. Bài HSG hôm nay hỏi một con số duy nhất cho toàn bộ 12 cạnh: có bao nhiêu cặp cạnh chéo nhau? Thử liệt kê tay 66 cặp để lọc ra là việc không ai làm nổi mà không nhầm lẫn trong một bài kiểm tra — em buộc phải nghĩ ra một cách đếm.
Đặt một hộp phấn lên bàn, gọi tên các đỉnh của nó là ABCD.A′B′C′D′, với ABCD là mặt đáy và A′B′C′D′ là mặt trên (A nằm ngay dưới A′, B dưới B′, và cứ thế). Cạnh AB và cạnh A′B′ nằm trên hai mặt khác nhau nhưng cùng phương, nên chúng song song. Cạnh AB và cạnh AD cùng xuất phát từ đỉnh A, nên chúng cắt nhau, và vì các góc của hộp đều vuông nên chúng còn vuông góc với nhau. Còn cạnh AB và cạnh B′C′? Hai cạnh này không chung đỉnh, không cùng nằm trên một mặt phẳng, và cũng không song song — đây là một cặp cạnh chéo nhau, quan hệ thứ ba mà bài học hôm nay tập trung vào.
Bài toán. Hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có 12 cạnh. Hỏi có bao nhiêu cặp cạnh chéo nhau?
Thử liệt kê tay là một cái bẫy rõ ràng: tổng số cách chọn 2 cạnh trong 12 cạnh đã là 212⋅11=66 cặp. Không ai rà tay hết 66 cặp mà không bỏ sót hoặc đếm lặp. Cách làm đúng là đếm phần bù: thay vì đếm trực tiếp các cặp chéo nhau, ta đếm các cặp không chéo nhau — cặp chung đỉnh cộng với cặp song song — rồi lấy 66 trừ đi.
Mọi cặp cạnh của hình hộp chữ nhật rơi vào đúng một trong ba nhóm: chung đỉnh (cắt nhau tại một điểm), song song (không chung đỉnh nhưng cùng phương), hoặc chéo nhau (không chung đỉnh, không cùng phương). Ba nhóm này rời nhau và phủ hết 66 cặp, nên: số cặp chéo nhau =66−(soˆˊ cặp chung đỉnh)−(soˆˊ cặp song song). Việc còn lại chỉ là đếm hai nhóm dễ hơn nhóm ban đầu.
Đáy ABCD — bốn đỉnh mặt trên A′,B′,C′,D′ nằm thẳng đứng phía trên tương ứng.
Tại một đỉnh, số cách chọn 2 trong 3 cạnh gặp nhau ở đó là 23⋅2=3 cặp.
Hộp có 8 đỉnh, mỗi đỉnh góp 3 cặp. Một cặp cạnh chung đỉnh chỉ chung nhau tại đúng một đỉnh (hai cạnh phân biệt không thể cùng gặp nhau ở hai đỉnh khác nhau), nên không có chuyện đếm lặp giữa các đỉnh. Tổng: 8×3=24.
Tại mỗi đỉnh của hình hộp chữ nhật có đúng 3 cạnh gặp nhau. (1)
Số cách chọn 2 cạnh trong 3 cạnh đó là 23⋅2=3. (2)
Mỗi cặp cạnh chung đỉnh chỉ chung nhau tại một đỉnh duy nhất nên không bị đếm lặp giữa các đỉnh. Từ (1) và (2), tổng số cặp cạnh chung đỉnh trên toàn hộp là 8×3=24.
Vậy có 24 cặp cạnh chung đỉnh.
Mỗi phương có 4 cạnh song song đôi một, số cách chọn 2 trong 4 là 24⋅3=6 cặp.
Có 3 phương, mỗi phương góp 6 cặp. Hai cạnh khác phương thì không song song nên không bị đếm lặp: tổng 3×6=18 cặp song song.
66−24−18=24.
12 cạnh của hình hộp chữ nhật chia thành 3 phương, mỗi phương gồm 4 cạnh đôi một song song. (1)
Số cặp song song trong một phương là 24⋅3=6; vì hai cạnh khác phương không thể song song, tổng số cặp song song trên toàn hộp là 3×6=18. (2)
Tổng số cặp cạnh của hộp là 212⋅11=66. (3)
Theo Ví dụ 1, số cặp chung đỉnh là 24. (4)
Từ (2), (3), (4), ba nhóm chung đỉnh — song song — chéo nhau rời nhau và phủ hết 66 cặp, nên số cặp chéo nhau là 66−24−18=24.
Vậy hình hộp chữ nhật có 24 cặp cạnh chéo nhau.
Bài tiếp theo dùng lại đúng bộ đỉnh A,B,C,D vừa làm quen, nhưng đổi trọng tâm: thay vì đếm cạnh, ta tính độ dài đường chéo dài nhất trong hộp — đường chéo không gian nối hai đỉnh xa nhau nhất — bằng cách áp dụng định lý Pythagore không phải một, mà hai lần liên tiếp.