airdu
Tạo tài khoản

Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.

Bài học

Thalès, tam giác đồng dạng và đường phân giác — bài toán phối hợp

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phối hợp được định lí Thalès, tam giác đồng dạng, và tính chất đường phân giác trong cùng một mạch bài toán — đặc biệt là dùng tam giác đồng dạng để đo một chiều cao không đo trực tiếp được, rồi dùng chính kết quả đó cùng định lí Pythagore để tính thêm một độ dài khác.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã học định lí Thalès (đường thẳng song song một cạnh tam giác chia hai cạnh còn lại theo cùng một tỉ số) và hệ quả của nó; ba trường hợp tam giác đồng dạng c-c-c, c-g-c, g-g; ứng dụng đo gián tiếp bằng tam giác đồng dạng qua bóng nắng; và tính chất đường phân giác trong tam giác — đường phân giác từ một đỉnh chia cạnh đối diện theo đúng tỉ số hai cạnh kề đỉnh đó.
Khởi động
Một cột điện quá cao để đo trực tiếp bằng thước — nhưng bóng nắng của nó thì đo được. Tam giác đồng dạng cho phép suy ra chiều cao cột điện từ chiếc bóng đó. Rồi nếu đề hỏi thêm độ dài một sợi dây cáp neo chéo từ đỉnh cột xuống mặt đất, chiều cao vừa tìm được lại trở thành dữ kiện để dùng Pythagore. Hai công cụ khác nhau, nối tiếp nhau trong cùng một bài toán.
Ba công cụ của bài này rất dễ lẫn vào nhau vì đều làm việc với tỉ số các đoạn thẳng, nhưng mỗi công cụ có một tín hiệu nhận diện riêng. Thấy một đường thẳng được VẼ THÊM song song với một cạnh tam giác — đó là Thalès hoặc hệ quả của nó. Thấy hai tam giác RIÊNG BIỆT (không lồng vào nhau) được so sánh qua góc hoặc tỉ số cạnh — đó là chứng minh đồng dạng, mà trường hợp c-g-c cần đúng hai điều kiện: một góc bằng nhau và hai cặp cạnh kề góc đó tỉ lệ. Thấy đề nhắc rõ 'tia phân giác của góc' cắt một cạnh tam giác — đó là tính chất đường phân giác, không phải Thalès hay đồng dạng, dù công thức tính cũng dựa trên một tỉ số.

Định lí Thalès — ôn tập

Lời giải có hình
Tìm đoạn DE bằng hệ quả định lí Thalès
Bước 1

Cho tam giác $ABC$.

dữ kiện đề bài — tam giác gốc trước khi dựng thêm điểm phụ

Sơ đồ bốn bước quyết định công cụ hình học phù hợp: Thalès, đồng dạng, đo gián tiếp kết hợp Pythagore, hay đường phân giác.1Có đường thẳngsong song mộtcạnh tam giác?Dùng định lí Thalèshoặc hệ quả của nó.2Có hai tam giáccùng góc hoặccạnh tỉ lệ?Chứng minh đồng dạngtheo c-c-c, c-g-c,hoặc g-g.3Cần một chiều dàikhông đo trựctiếp được?Dùng đồng dạng để đogián tiếp, rồiPythagore nếu có gócvuông.4Có tia phân giáctrong tam giác?Dùng tính chất đườngphân giác chia cạnhđối diện.
Chọn công cụ: Thalès, đồng dạng hay đường phân giác

Tam giác đồng dạng trong đo gián tiếp

Ví dụ
Chứng minh đồng dạng bằng trường hợp cạnh-góc-cạnh
  1. 1
    Cho tam giác $ABC$ có $AC=8$cm, $AB=6$cm, $BC=10$cm. Trên $AC$ lấy $D$ với $AD=4$cm, trên $AB$ lấy $E$ với $AE=3$cm. Chứng minh tam giác $ADE$ đồng dạng tam giác $ACB$, rồi tính $DE$.
  2. 2
    $\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$; $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
  3. 3
    Hai tam giác $ADE$ và $ACB$ có góc $A$ chung, và hai cặp cạnh kề góc đó tỉ lệ với nhau ($\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{1}{2}$), nên đồng dạng theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c): tam giác $ADE \sim$ tam giác $ACB$ theo tỉ số $\dfrac{1}{2}$.
  4. 4
    Vì đồng dạng theo tỉ số $\dfrac{1}{2}$, mọi cặp cạnh tương ứng cũng theo tỉ số đó: $\dfrac{DE}{CB}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow DE=10\times\dfrac{1}{2}=5$cm.
  5. 5
    Vậy tam giác $ADE \sim$ tam giác $ACB$, và $DE=5$cm.
Ví dụ
Đo gián tiếp chiều cao bằng tam giác đồng dạng
  1. 1
    Một em học sinh cao $1{,}2$m đứng cạnh một cột điện, đo được bóng của mình dài $1{,}6$m. Cùng thời điểm đó, bóng của cột điện đo được dài $8$m. Tính chiều cao cột điện.
  2. 2

    Vì các tia sáng mặt trời song song, tam giác tạo bởi học sinh và bóng của em, và tam giác tạo bởi cột điện và bóng của nó, đồng dạng với nhau theo trường hợp góc-góc — cùng góc tạo bởi tia sáng, cùng góc vuông với mặt đất.

  3. 3
    Gọi $h$ (m) là chiều cao cột điện. Do đồng dạng, tỉ số chiều cao bằng tỉ số bóng tương ứng: $\dfrac{h}{1{,}2} = \dfrac{8}{1{,}6}$.
  4. 4
    $h = 1{,}2 \times \dfrac{8}{1{,}6} = 1{,}2\times5 = 6$.
  5. 5

    Vậy cột điện cao 66m.

Lời giải có hình
Từ chiều cao đo gián tiếp, dùng Pythagore tính dây cáp neo
Bước 1

Chân cột điện tại $B$, đỉnh cột tại $A$ (cột thẳng đứng nên $AB \perp$ mặt đất). Một dây cáp neo từ đỉnh $A$ xuống điểm $E$ trên mặt đất, cách chân cột $B$ một khoảng $BE=8$m.

cột điện dựng thẳng đứng trên mặt đất nằm ngang, nên hai đường này luôn vuông góc với nhau

Tính chất đường phân giác — ôn tập nhanh

Ví dụ
Tính hai đoạn do đường phân giác chia ra
  1. 1
    Tam giác $ABC$ có $AB=10$cm, $AC=15$cm, $BC=20$cm. Tia phân giác của góc $A$ cắt $BC$ tại $D$. Tính $DB$ và $DC$.
  2. 2
    $\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}$.
  3. 3
    Đặt $DB=2k, DC=3k$. Vì $DB+DC=BC=20$: $2k+3k=20 \Rightarrow 5k=20 \Rightarrow k=4$.
  4. 4
    Vậy $DB=2\times4=8$cm, $DC=3\times4=12$cm.
Bẫy thường gặp
Lỗi hay gặp: viết sai tỉ số của đường phân giác, nhớ nhầm $\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AC}{AB}$ thay vì đúng phải là $\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$ — cạnh kề đỉnh nào thì tương ứng với đoạn bên phía cạnh đối diện của đỉnh đó. Lỗi thứ hai: trong bài toán đo gián tiếp kết hợp Pythagore, quên rằng kết quả đo gián tiếp (chiều cao) phải hoàn tất trước, mới có đủ dữ kiện cho bước Pythagore tiếp theo — hai bước không thể đảo ngược thứ tự.

Ba công cụ của bài này thường nối tiếp nhau: Thalès/hệ quả cho một tỉ lệ đoạn thẳng, đồng dạng cho một chiều dài đo gián tiếp, và khi đã có hai cạnh vuông góc với nhau, Pythagore cho cạnh còn lại. Đường phân giác là một tính chất riêng, dùng khi đề nhắc rõ tia phân giác trong tam giác.

Chương sau rời khỏi hình phẳng, chuyển sang hình chóp đều trong không gian, rồi khép lại phần ôn tập theo chủ đề bằng thống kê và xác suất.