Bài học

Hình chóp đều — ôn tập tổng hợp

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp đều, kể cả khi đề chỉ cho trung đoạn mà chưa cho sẵn chiều cao — trường hợp đó, em phải tự dùng định lí Pythagore để tìm chiều cao trước khi tính thể tích.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã học cấu trúc hình chóp đều — đỉnh, đáy là đa giác đều, các mặt bên là tam giác cân bằng nhau, trung đoạn là đường cao của một mặt bên; công thức $S_{xq}=\dfrac{\text{chu vi đáy}\times\text{trung đoạn}}{2}$ , $S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}$ , và $V=\dfrac{1}{3}S_{đáy}\times h$ với $h$ là chiều cao hình chóp (khoảng cách từ đỉnh đến tâm đáy), khác với trung đoạn. Ba đại lượng chiều cao, trung đoạn, và cạnh bên đều là những đoạn thẳng khác nhau xuất phát từ đỉnh $S$ , mỗi đoạn phục vụ một công thức riêng — nhầm lẫn giữa chúng là nguồn lỗi phổ biến nhất của cả chủ đề này.

Em đã học cấu trúc hình chóp đều — đỉnh, đáy là đa giác đều, các mặt bên là tam giác cân bằng nhau, trung đoạn là đường cao của một mặt bên; công thức $S_{xq}=\dfrac{\text{chu vi đáy}\times\text{trung đoạn}}{2}$, $S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}$, và $V=\dfrac{1}{3}S_{đáy}\times h$ với $h$ là chiều cao hình chóp (khoảng cách từ đỉnh đến tâm đáy), khác với trung đoạn. Ba đại lượng chiều cao, trung đoạn, và cạnh bên đều là những đoạn thẳng khác nhau xuất phát từ đỉnh $S$, mỗi đoạn phục vụ một công thức riêng — nhầm lẫn giữa chúng là nguồn lỗi phổ biến nhất của cả chủ đề này.

Khởi động

Nhiều bài toán chỉ cho trung đoạn (đường sinh của mặt bên) mà không cho chiều cao thật của hình chóp — hai đại lượng này khác nhau. Muốn tính thể tích, em phải tự tìm chiều cao bằng Pythagore trước, dùng đúng khoảng cách từ tâm đáy đến trung điểm một cạnh đáy chứ không phải đến một đỉnh đáy.

Tín hiệu để biết bài toán hình chóp có cần Pythagore hay không nằm ở việc đề cho ĐẠI LƯỢNG NÀO: nếu đề cho sẵn cả cạnh đáy lẫn chiều cao $h$ , em tính thể tích ngay, không cần Pythagore. Nếu đề chỉ cho trung đoạn (hoặc cạnh bên) mà thiếu chiều cao, hoặc ngược lại chỉ cho chiều cao mà thiếu trung đoạn, đó là tín hiệu chắc chắn cần một bước Pythagore trung gian trước khi tính diện tích hoặc thể tích — đúng như bài toán mái lều ở phần dưới, nơi đề chỉ cho trung đoạn.

Tín hiệu để biết bài toán hình chóp có cần Pythagore hay không nằm ở việc đề cho ĐẠI LƯỢNG NÀO: nếu đề cho sẵn cả cạnh đáy lẫn chiều cao $h$, em tính thể tích ngay, không cần Pythagore. Nếu đề chỉ cho trung đoạn (hoặc cạnh bên) mà thiếu chiều cao, hoặc ngược lại chỉ cho chiều cao mà thiếu trung đoạn, đó là tín hiệu chắc chắn cần một bước Pythagore trung gian trước khi tính diện tích hoặc thể tích — đúng như bài toán mái lều ở phần dưới, nơi đề chỉ cho trung đoạn.

Từ trung đoạn suy ra chiều cao bằng Pythagore

Quy trình từ trung đoạn đến diện tích và thể tích

Lời giải có hình

Tìm chiều cao hình chóp từ trung đoạn

Bước 1

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $a=8$ cm và trung đoạn $SM=5$ cm ( $M$ là trung điểm một cạnh đáy, $O$ là tâm đáy). Vì đáy là hình vuông, khoảng cách từ tâm đáy $O$ đến trung điểm cạnh đáy $M$ bằng nửa cạnh đáy: $OM=\dfrac{a}{2}=4$ cm.Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $a=8$cm và trung đoạn $SM=5$cm ($M$ là trung điểm một cạnh đáy, $O$ là tâm đáy). Vì đáy là hình vuông, khoảng cách từ tâm đáy $O$ đến trung điểm cạnh đáy $M$ bằng nửa cạnh đáy: $OM=\dfrac{a}{2}=4$cm.

đáy hình vuông có tâm cách đều bốn cạnh; khoảng cách đó bằng đúng nửa cạnh đáy

Ví dụ

Diện tích và thể tích hình chóp tứ giác đều

1
Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $a=8$ cm và trung đoạn $SM=5$ cm. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp.
Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $a=8$cm và trung đoạn $SM=5$cm. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp.
2
Từ hình vẽ trên, chiều cao hình chóp $SO=3$ cm.
Từ hình vẽ trên, chiều cao hình chóp $SO=3$cm.
3
Chu vi đáy $=4\times8=32$ cm. $S_{xq}=\dfrac{32\times5}{2}=80$ cm².
Chu vi đáy $=4\times8=32$cm. $S_{xq}=\dfrac{32\times5}{2}=80$cm².
4
Diện tích đáy $S_{đáy}=8^2=64$ cm². $S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}=80+64=144$ cm².
Diện tích đáy $S_{đáy}=8^2=64$cm². $S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}=80+64=144$cm².
5
$V=\dfrac{1}{3}\times S_{đáy}\times SO=\dfrac{1}{3}\times64\times3=64$ cm³.
$V=\dfrac{1}{3}\times S_{đáy}\times SO=\dfrac{1}{3}\times64\times3=64$cm³.

Ví dụ

Mái lều hình chóp đều (dạng thi)

1
Một mái lều hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $10$ m và trung đoạn $13$ m. Tính diện tích vải bạt cần dùng để phủ kín bốn mặt bên (không tính đáy vì đáy là mặt đất), và tính thể tích không khí bên trong lều.
Một mái lều hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $10$m và trung đoạn $13$m. Tính diện tích vải bạt cần dùng để phủ kín bốn mặt bên (không tính đáy vì đáy là mặt đất), và tính thể tích không khí bên trong lều.
2
$OM=\dfrac{10}{2}=5$ m. Áp dụng Pythagore trong tam giác vuông $SOM$ : $SO=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$ m.
$OM=\dfrac{10}{2}=5$m. Áp dụng Pythagore trong tam giác vuông $SOM$: $SO=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$m.
3
Chu vi đáy $=4\times10=40$ m. Diện tích bốn mặt bên $S_{xq}=\dfrac{40\times13}{2}=260$ m².
Chu vi đáy $=4\times10=40$m. Diện tích bốn mặt bên $S_{xq}=\dfrac{40\times13}{2}=260$m².
4
Diện tích đáy $=10^2=100$ m². $V=\dfrac{1}{3}\times100\times12=400$ m³.
Diện tích đáy $=10^2=100$m². $V=\dfrac{1}{3}\times100\times12=400$m³.
5
Thay lại vào hệ thức Pythagore: $5^2+12^2=25+144=169=13^2$ , đúng bằng $SM^2$ đã cho — xác nhận chiều cao $SO=12$ m không sai.
Thay lại vào hệ thức Pythagore: $5^2+12^2=25+144=169=13^2$, đúng bằng $SM^2$ đã cho — xác nhận chiều cao $SO=12$m không sai.
6
Vậy cần $260$ m² vải bạt cho bốn mặt bên, và thể tích không khí bên trong lều là $400$ m³.
Vậy cần $260$m² vải bạt cho bốn mặt bên, và thể tích không khí bên trong lều là $400$m³.

Ví dụ

Tìm cạnh đáy từ diện tích xung quanh đã cho (mở rộng nhanh)

1
Một hình chóp tứ giác đều có diện tích xung quanh $S_{xq}=60$ cm² và trung đoạn $SM=5$ cm. Tính cạnh đáy, chiều cao, và thể tích của hình chóp.
Một hình chóp tứ giác đều có diện tích xung quanh $S_{xq}=60$cm² và trung đoạn $SM=5$cm. Tính cạnh đáy, chiều cao, và thể tích của hình chóp.
2
$S_{xq}=\dfrac{4a\times SM}{2}=2a\times SM$ , nên $60=2a\times5=10a \Rightarrow a=6$ cm.
$S_{xq}=\dfrac{4a\times SM}{2}=2a\times SM$, nên $60=2a\times5=10a \Rightarrow a=6$cm.
3
$OM=\dfrac{6}{2}=3$ cm. $SO=\sqrt{SM^2-OM^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$ cm.
$OM=\dfrac{6}{2}=3$cm. $SO=\sqrt{SM^2-OM^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$cm.
4
$V=\dfrac{1}{3}\times a^2\times SO=\dfrac{1}{3}\times36\times4=48$ cm³.
$V=\dfrac{1}{3}\times a^2\times SO=\dfrac{1}{3}\times36\times4=48$cm³.
5
Vậy cạnh đáy $6$ cm, chiều cao $4$ cm, thể tích $48$ cm³.
Vậy cạnh đáy $6$cm, chiều cao $4$cm, thể tích $48$cm³.

Ví dụ

Hình chóp tam giác đều — tìm trung đoạn từ chiều cao (mở rộng nhanh)

1
Một hình chóp tam giác đều có chiều cao $SO=8$ cm. Khoảng cách từ tâm đáy $O$ đến trung điểm một cạnh đáy là $OM=6$ cm. Tính trung đoạn $SM$ .
Một hình chóp tam giác đều có chiều cao $SO=8$cm. Khoảng cách từ tâm đáy $O$ đến trung điểm một cạnh đáy là $OM=6$cm. Tính trung đoạn $SM$.
2
$SO$ là đường cao hình chóp, vuông góc với mặt đáy, nên vuông góc với $OM$ nằm trong mặt đáy. Tam giác $SOM$ vuông tại $O$ .
$SO$ là đường cao hình chóp, vuông góc với mặt đáy, nên vuông góc với $OM$ nằm trong mặt đáy. Tam giác $SOM$ vuông tại $O$.
3
$SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ cm.
$SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$cm.
4
Vậy trung đoạn $SM=10$ cm. Ví dụ này đi ngược chiều so với hai ví dụ trước — thay vì tìm chiều cao từ trung đoạn, ở đây tìm trung đoạn từ chiều cao — nhưng vẫn cùng một tam giác vuông $SOM$ và cùng một định lí Pythagore.
Vậy trung đoạn $SM=10$cm. Ví dụ này đi ngược chiều so với hai ví dụ trước — thay vì tìm chiều cao từ trung đoạn, ở đây tìm trung đoạn từ chiều cao — nhưng vẫn cùng một tam giác vuông $SOM$ và cùng một định lí Pythagore.

Bẫy thường gặp

Lỗi nặng nhất: dùng nhầm trung đoạn thay cho chiều cao khi tính thể tích, hoặc ngược lại dùng chiều cao thay cho trung đoạn khi tính diện tích xung quanh — hai công thức đòi hỏi hai đại lượng khác nhau. Lỗi thứ hai: khi tìm chiều cao bằng Pythagore, dùng nhầm khoảng cách từ tâm đến một ĐỈNH đáy (nửa đường chéo) thay vì đến trung điểm một CẠNH đáy — hai khoảng cách này khác nhau và chỉ khoảng cách đến trung điểm cạnh mới tạo tam giác vuông với trung đoạn.

Trung đoạn dùng để tính diện tích xung quanh/toàn phần; chiều cao thật (từ đỉnh đến tâm đáy) dùng để tính thể tích. Khi đề chỉ cho trung đoạn, luôn tính $OM=\dfrac{a}{2}$ (đáy vuông) trước, rồi dùng Pythagore trong tam giác vuông $SOM$ để suy ra chiều cao. Bài toán có thể hỏi theo chiều ngược lại — cho chiều cao, tìm trung đoạn hoặc cạnh đáy — nhưng luôn quay về đúng một tam giác vuông $SOM$ và một định lí Pythagore duy nhất.

Bài học sau rời hẳn hình học, quay về ôn tập mảng thống kê và xác suất — thu thập, phân loại dữ liệu, đọc biểu đồ, và tính xác suất theo cả hai cách lý thuyết lẫn thực nghiệm, khép lại đúng sáu mảng kiến thức mà chương trình Toán 8 nền tảng đã xây dựng suốt học kỳ.