Bài học

Đề ôn tập tổng hợp cuối năm

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em hoàn thành trọn vẹn một đề ôn tập tổng hợp cuối năm lớp 8, đúng tỉ lệ giữa đại số, hình học và thống kê — xác suất mà một đề kiểm tra cuối năm thường ra, luyện đúng nhịp độ và cách trình bày cần có trong phòng thi.

Cấu trúc đề ôn tập

Đề dưới đây gồm bốn phần, phỏng theo cấu trúc đề kiểm tra cuối năm nhiều trường thường dùng: một phần trắc nghiệm ngắn trải đều các mảng kiến thức, rồi ba phần tự luận theo thứ tự đại số, hình học, và thống kê — xác suất. Xét theo số câu, khoảng một nửa đề dành cho đại số (biểu thức, phương trình, hàm số), khoảng một phần ba dành cho hình học, phần còn lại dành cho thống kê và xác suất — đúng trọng số mà các mảng kiến thức này thường chiếm trong một đề kiểm tra cuối năm. Làm hết đề này một lượt, tính thời gian, rồi đối chiếu lại với đáp án là cách luyện thi hiệu quả hơn nhiều so với chỉ đọc lại lý thuyết từng chương.

Câu 1 của phần tự luận đại số là ví dụ rõ nhất cho toàn bộ triết lý của khoá ôn tập này: không một ý nhỏ nào trong đó là kiến thức mới, nhưng bốn ý gộp lại — phân tích nhân tử, rút gọn phân thức có nêu và giữ ĐKXĐ, giải một phương trình ẩn ở mẫu, và tìm giao điểm hai đường thẳng — đòi hỏi đúng kỹ năng nhận diện tín hiệu đã luyện ở bài trước, chuyển từ mảng này sang mảng khác trong cùng một câu hỏi mà không lẫn lộn công cụ. Câu 2 lặp lại đúng tinh thần đó ở mảng hình học: một bước Pythagore trực tiếp (câu 2a), rồi một chuỗi đồng dạng nối tiếp Pythagore (câu 2b) — đúng mạch bài toán đã luyện ở Chương 4.

Chiến lược làm đề tổng hợp

Phần I — Trắc nghiệm

Phần II — Tự luận: Đại số

Ví dụ

Câu 1 — Phân tích, rút gọn phân thức, phương trình và hàm số (đề tự luận)

1
Cho $A = x^2(x-3) + 4(3-x)$ . Phân tích $A$ thành nhân tử. Ta viết lại $4(3-x)=-4(x-3)$ , nên $A = x^2(x-3) - 4(x-3) = (x-3)(x^2-4) = (x-3)(x-2)(x+2)$ .
Cho $A = x^2(x-3) + 4(3-x)$. Phân tích $A$ thành nhân tử. Ta viết lại $4(3-x)=-4(x-3)$, nên $A = x^2(x-3) - 4(x-3) = (x-3)(x^2-4) = (x-3)(x-2)(x+2)$.
2
Cho $M=\dfrac{A}{x^2-4}=\dfrac{(x-3)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)}$ . Mẫu $x^2-4=(x-2)(x+2)$ bằng $0$ khi $x=2$ hoặc $x=-2$ , nên ĐKXĐ: $x\ne2, x\ne-2$ . Giản ước: $M=x-3$ (ĐKXĐ giữ nguyên như trên).
Cho $M=\dfrac{A}{x^2-4}=\dfrac{(x-3)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)}$. Mẫu $x^2-4=(x-2)(x+2)$ bằng $0$ khi $x=2$ hoặc $x=-2$, nên ĐKXĐ: $x\ne2, x\ne-2$. Giản ước: $M=x-3$ (ĐKXĐ giữ nguyên như trên).
3
Giải phương trình $2x-4=6$ : $2x=10 \Rightarrow x=5$ . Vì $5\ne2$ và $5\ne-2$ (TMĐK), thay vào $M$ đã rút gọn: $M=5-3=2$ . Vậy $M=2$ khi $x=5$ .
Giải phương trình $2x-4=6$: $2x=10 \Rightarrow x=5$. Vì $5\ne2$ và $5\ne-2$ (TMĐK), thay vào $M$ đã rút gọn: $M=5-3=2$. Vậy $M=2$ khi $x=5$.
4
Giải phương trình $\dfrac{x-3}{x+1}=2$ . ĐKXĐ: $x\ne-1$ . Khử mẫu: $x-3=2(x+1) \Rightarrow x-3=2x+2 \Rightarrow -x=5 \Rightarrow x=-5$ . Vì $-5\ne-1$ (TMĐK), phương trình có nghiệm $x=-5$ .
Giải phương trình $\dfrac{x-3}{x+1}=2$. ĐKXĐ: $x\ne-1$. Khử mẫu: $x-3=2(x+1) \Rightarrow x-3=2x+2 \Rightarrow -x=5 \Rightarrow x=-5$. Vì $-5\ne-1$ (TMĐK), phương trình có nghiệm $x=-5$.
5
Tìm toạ độ giao điểm của $y=3x-2$ và $y=-x+6$ . Phương trình hoành độ giao điểm: $3x-2=-x+6 \Rightarrow 4x=8 \Rightarrow x=2$ . Thay vào $y=3x-2$ : $y=3\cdot2-2=4$ . Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $(2;4)$ .
Tìm toạ độ giao điểm của $y=3x-2$ và $y=-x+6$. Phương trình hoành độ giao điểm: $3x-2=-x+6 \Rightarrow 4x=8 \Rightarrow x=2$. Thay vào $y=3x-2$: $y=3\cdot2-2=4$. Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $(2;4)$.

Phần III — Tự luận: Hình học

Ví dụ

Câu 2 — Pythagore và bài toán đo gián tiếp phối hợp (đề tự luận)

1
Hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=5$ cm, $AD=12$ cm. Tính đường chéo $AC$ . Vì $ABCD$ là hình chữ nhật, tam giác $ABC$ vuông tại $B$ , áp dụng Pythagore: $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$ cm.
Hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=5$cm, $AD=12$cm. Tính đường chéo $AC$. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, áp dụng Pythagore: $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$cm.
2
Một em học sinh cao $1{,}5$ m có bóng dài $2$ m. Cùng lúc, một cột cờ có bóng dài $12$ m. Tính chiều cao cột cờ. Do hai tam giác đồng dạng (g-g): $\dfrac{h}{1{,}5}=\dfrac{12}{2} \Rightarrow h=1{,}5\times6=9$ m.
Một em học sinh cao $1{,}5$m có bóng dài $2$m. Cùng lúc, một cột cờ có bóng dài $12$m. Tính chiều cao cột cờ. Do hai tam giác đồng dạng (g-g): $\dfrac{h}{1{,}5}=\dfrac{12}{2} \Rightarrow h=1{,}5\times6=9$m.
3
Một dây chằng neo từ đỉnh cột cờ xuống một điểm trên mặt đất, cách chân cột $12$ m theo phương ngang. Tính độ dài dây chằng. Tam giác vuông tại chân cột (cột thẳng đứng, mặt đất nằm ngang): $\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ m.
Một dây chằng neo từ đỉnh cột cờ xuống một điểm trên mặt đất, cách chân cột $12$m theo phương ngang. Tính độ dài dây chằng. Tam giác vuông tại chân cột (cột thẳng đứng, mặt đất nằm ngang): $\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$m.
4
Vậy cột cờ cao $9$ m, và dây chằng neo dài $15$ m.
Vậy cột cờ cao $9$m, và dây chằng neo dài $15$m.

Lời giải có hình

Câu 2b minh hoạ — dây chằng cột cờ

Bước 1

Cột cờ có chân tại $B$ , đỉnh tại $A$ , cao $AB=9$ m (tính được từ phép đo gián tiếp ở Câu 2b). Dây chằng neo từ đỉnh $A$ xuống điểm $D$ trên mặt đất, cách chân cột $B$ một khoảng $BD=12$ m theo phương ngang. Vì cột thẳng đứng nên $AB \perp$ mặt đất.Cột cờ có chân tại $B$, đỉnh tại $A$, cao $AB=9$m (tính được từ phép đo gián tiếp ở Câu 2b). Dây chằng neo từ đỉnh $A$ xuống điểm $D$ trên mặt đất, cách chân cột $B$ một khoảng $BD=12$m theo phương ngang. Vì cột thẳng đứng nên $AB \perp$ mặt đất.

Phần IV — Tự luận: Thống kê và xác suất

Ví dụ

Câu 3 — Bảng tần số và xác suất thực nghiệm (đề tự luận)

1
Khảo sát phương tiện đến trường của $30$ học sinh, kết quả: đi bộ $6$ bạn, xe đạp $18$ bạn, xe buýt $6$ bạn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm khảo sát. Tính xác suất thực nghiệm để học sinh đó đi xe đạp.
Khảo sát phương tiện đến trường của $30$ học sinh, kết quả: đi bộ $6$ bạn, xe đạp $18$ bạn, xe buýt $6$ bạn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm khảo sát. Tính xác suất thực nghiệm để học sinh đó đi xe đạp.
2
$6+18+6=30$ , đúng bằng tổng số học sinh được khảo sát, nên bảng tần số hợp lệ.
$6+18+6=30$, đúng bằng tổng số học sinh được khảo sát, nên bảng tần số hợp lệ.
3
$P_{\text{thực nghiệm}}(\text{xe đạp})=\dfrac{18}{30}=\dfrac{3}{5}$ .
$P_{\text{thực nghiệm}}(\text{xe đạp})=\dfrac{18}{30}=\dfrac{3}{5}$.
4
Vì tổng ba nhóm phương tiện đúng bằng tổng số học sinh khảo sát, mọi kết quả (đi bộ, xe đạp, xe buýt) đều đồng khả năng được chọn theo đúng tỉ lệ trong bảng — không nhóm nào bị bỏ sót hay đếm trùng.
5
Vậy xác suất thực nghiệm để một học sinh được chọn ngẫu nhiên đi xe đạp là $\dfrac{3}{5}$ , tức $60\%$ .
Vậy xác suất thực nghiệm để một học sinh được chọn ngẫu nhiên đi xe đạp là $\dfrac{3}{5}$, tức $60\%$.

Khi làm một đề tổng hợp thật, phân bổ thời gian theo đúng trọng số điểm: dành nhiều thời gian nhất cho phần đại số vì chiếm tỉ lệ lớn nhất, nhưng đừng bỏ qua phần thống kê — xác suất chỉ vì nó ngắn, vì đây thường là phần dễ lấy trọn điểm nhất nếu đọc kỹ bảng số liệu. Luôn viết lại kết luận bằng một câu 'Vậy …' đầy đủ đơn vị cho mỗi câu tự luận, kể cả khi đã tính đúng — thiếu câu kết luận vẫn có thể bị trừ điểm trình bày. Với câu hình học nhiều ý như Câu 2, kiểm tra riêng từng ý bằng phép tính ngược trước khi chuyển sang ý kế tiếp, để một sai sót ở ý đầu không kéo theo sai toàn bộ các ý sau.

Đề ôn tập này khép lại toàn bộ chương trình Toán 8 nền tảng. Những công cụ vừa ôn — đa thức và nhân tử, phân thức và phương trình, hàm số bậc nhất, Pythagore và các tứ giác, Thalès và tam giác đồng dạng, hình chóp đều, thống kê và xác suất — chính là nền cho phần đại số và hình học của đề tuyển sinh vào lớp 10, nơi từng công cụ này sẽ được dùng lại và mở rộng thêm.