Bài học

Phương trình bậc nhất, ẩn ở mẫu, trị tuyệt đối và giải toán bằng lập phương trình — ôn tập

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải thành thạo phương trình bậc nhất ở nhiều dạng — cơ bản, có ẩn ở mẫu, chứa dấu giá trị tuyệt đối — và áp dụng đúng quy trình năm bước để giải một bài toán thực tế bằng cách lập phương trình.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã học quy tắc chuyển vế đổi dấu và nhân/chia hai vế với cùng một số khác $0$ để giải phương trình $ax+b=0$ ; cách tìm ĐKXĐ và loại nghiệm không thoả mãn khi phương trình có ẩn ở mẫu; cách tách phương trình $|A|=B$ ( $B\ge0$ ) thành hai trường hợp $A=B$ hoặc $A=-B$ ; và quy trình năm bước giải bài toán bằng cách lập phương trình — gọi ẩn, biểu diễn các đại lượng khác qua ẩn, lập phương trình từ mối quan hệ trong đề, giải phương trình, rồi đối chiếu điều kiện và kết luận.

Em đã học quy tắc chuyển vế đổi dấu và nhân/chia hai vế với cùng một số khác $0$ để giải phương trình $ax+b=0$; cách tìm ĐKXĐ và loại nghiệm không thoả mãn khi phương trình có ẩn ở mẫu; cách tách phương trình $|A|=B$ ($B\ge0$) thành hai trường hợp $A=B$ hoặc $A=-B$; và quy trình năm bước giải bài toán bằng cách lập phương trình — gọi ẩn, biểu diễn các đại lượng khác qua ẩn, lập phương trình từ mối quan hệ trong đề, giải phương trình, rồi đối chiếu điều kiện và kết luận.

Khởi động

Trong đề kiểm tra cuối năm, phương trình ẩn ở mẫu, phương trình trị tuyệt đối và bài toán lập phương trình thường xuất hiện cùng nhau trong một câu hỏi lớn nhiều ý. Bài ôn tập này gom cả ba dạng lại, mỗi dạng một ví dụ, để em luyện phản xạ chuyển đổi giữa chúng.

Bốn dạng phương trình của mảng này có tín hiệu nhận diện riêng, và tín hiệu đó quyết định bước đầu tiên em phải làm trước khi chuyển vế bất cứ điều gì. Ẩn nằm ở mẫu số — dấu hiệu là em nhìn thấy chữ $x$ bên dưới một dấu gạch phân số — bắt buộc phải tìm ĐKXĐ trước tiên, nếu không nghiệm tìm được có thể chính là giá trị làm mẫu bằng $0$ . Phương trình có dấu giá trị tuyệt đối bắt buộc phải tách hai trường hợp và kiểm tra điều kiện của vế còn lại. Một đề bài kể chuyện — quãng đường, thời gian, khối lượng, giá tiền — không phải phương trình có sẵn, mà là tín hiệu cần tự đặt ẩn và tự lập phương trình theo quy trình năm bước. Nhận đúng tín hiệu trước khi viết dòng đầu tiên giúp tránh cả ba lỗi phổ biến nhất của mảng phương trình: quên ĐKXĐ, quên điều kiện trị tuyệt đối, và quên điều kiện thực tế của ẩn.

Bốn dạng phương trình của mảng này có tín hiệu nhận diện riêng, và tín hiệu đó quyết định bước đầu tiên em phải làm trước khi chuyển vế bất cứ điều gì. Ẩn nằm ở mẫu số — dấu hiệu là em nhìn thấy chữ $x$ bên dưới một dấu gạch phân số — bắt buộc phải tìm ĐKXĐ trước tiên, nếu không nghiệm tìm được có thể chính là giá trị làm mẫu bằng $0$. Phương trình có dấu giá trị tuyệt đối bắt buộc phải tách hai trường hợp và kiểm tra điều kiện của vế còn lại. Một đề bài kể chuyện — quãng đường, thời gian, khối lượng, giá tiền — không phải phương trình có sẵn, mà là tín hiệu cần tự đặt ẩn và tự lập phương trình theo quy trình năm bước. Nhận đúng tín hiệu trước khi viết dòng đầu tiên giúp tránh cả ba lỗi phổ biến nhất của mảng phương trình: quên ĐKXĐ, quên điều kiện trị tuyệt đối, và quên điều kiện thực tế của ẩn.

Phương trình ẩn ở mẫu và trị tuyệt đối — ôn tập nhanh

Ví dụ

Phương trình ẩn ở mẫu

1
Giải phương trình $\dfrac{3}{x-1} = \dfrac{2}{x+1}$ .
Giải phương trình $\dfrac{3}{x-1} = \dfrac{2}{x+1}$.
2
Mẫu khác $0$ khi $x \ne 1$ và $x \ne -1$ .
Mẫu khác $0$ khi $x \ne 1$ và $x \ne -1$.
3
Nhân chéo hai vế: $3(x+1) = 2(x-1)$ .
Nhân chéo hai vế: $3(x+1) = 2(x-1)$.
4
$3x+3=2x-2 \Rightarrow x=-5$ .
$3x+3=2x-2 \Rightarrow x=-5$.
5
$x=-5$ thoả ĐKXĐ ( $-5\ne1, -5\ne-1$ ), là nghiệm TMĐK. Vậy phương trình có nghiệm $x=-5$ .
$x=-5$ thoả ĐKXĐ ($-5\ne1, -5\ne-1$), là nghiệm TMĐK. Vậy phương trình có nghiệm $x=-5$.

Ví dụ

Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

1
Giải phương trình $|2x-3|=x+3$ .
Giải phương trình $|2x-3|=x+3$.
2
Vì $|2x-3|\ge0$ , phương trình chỉ có nghiệm khi $x+3\ge0$ , tức $x\ge-3$ .
Vì $|2x-3|\ge0$, phương trình chỉ có nghiệm khi $x+3\ge0$, tức $x\ge-3$.
3
Trường hợp 1: $2x-3=x+3 \Rightarrow x=6$ (thoả $x\ge-3$ ). Trường hợp 2: $2x-3=-(x+3) \Rightarrow 2x-3=-x-3 \Rightarrow 3x=0 \Rightarrow x=0$ (thoả $x\ge-3$ ).
Trường hợp 1: $2x-3=x+3 \Rightarrow x=6$ (thoả $x\ge-3$). Trường hợp 2: $2x-3=-(x+3) \Rightarrow 2x-3=-x-3 \Rightarrow 3x=0 \Rightarrow x=0$ (thoả $x\ge-3$).
4
Cả hai giá trị đều thoả điều kiện, vậy phương trình có hai nghiệm: $x=6$ và $x=0$ .
Cả hai giá trị đều thoả điều kiện, vậy phương trình có hai nghiệm: $x=6$ và $x=0$.

Quy trình giải toán bằng cách lập phương trình

Giải toán bằng cách lập phương trình

Ví dụ

Bài toán công việc chung (dạng thi)

1
Vòi A chảy một mình đầy bể trong $12$ giờ. Nếu hai vòi A và B cùng chảy thì sau $4$ giờ đầy bể. Hỏi nếu chảy một mình, vòi B mất bao lâu để đầy bể?
Vòi A chảy một mình đầy bể trong $12$ giờ. Nếu hai vòi A và B cùng chảy thì sau $4$ giờ đầy bể. Hỏi nếu chảy một mình, vòi B mất bao lâu để đầy bể?
2
Gọi $x$ (giờ, $x>0$ ) là thời gian vòi B chảy một mình đầy bể. Mỗi giờ, vòi A chảy được $\dfrac{1}{12}$ bể, vòi B chảy được $\dfrac{1}{x}$ bể.
Gọi $x$ (giờ, $x>0$) là thời gian vòi B chảy một mình đầy bể. Mỗi giờ, vòi A chảy được $\dfrac{1}{12}$ bể, vòi B chảy được $\dfrac{1}{x}$ bể.
3
Mỗi giờ hai vòi cùng chảy được $\dfrac{1}{4}$ bể (vì cùng chảy $4$ giờ thì đầy), nên $\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{4}$ .
Mỗi giờ hai vòi cùng chảy được $\dfrac{1}{4}$ bể (vì cùng chảy $4$ giờ thì đầy), nên $\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{4}$.
4
Nhân hai vế với $12x$ ( $x\ne0$ , thoả điều kiện $x>0$ đã đặt): $x+12=3x \Rightarrow 12=2x \Rightarrow x=6$ .
Nhân hai vế với $12x$ ($x\ne0$, thoả điều kiện $x>0$ đã đặt): $x+12=3x \Rightarrow 12=2x \Rightarrow x=6$.
5
$x=6$ thoả mãn điều kiện $x>0$ . Vậy nếu chảy một mình, vòi B mất $6$ giờ để đầy bể.
$x=6$ thoả mãn điều kiện $x>0$. Vậy nếu chảy một mình, vòi B mất $6$ giờ để đầy bể.

Ví dụ

Bài toán chuyển động — hai xe gặp nhau (dạng thi)

1
Hai bạn đi xe đạp từ hai địa điểm $A$ và $B$ cách nhau $42$ km, xuất phát cùng lúc và đi ngược chiều nhau, sau $2$ giờ thì gặp nhau. Biết vận tốc bạn đi từ $A$ nhanh hơn vận tốc bạn đi từ $B$ là $3$ km/h. Tính vận tốc mỗi bạn.
Hai bạn đi xe đạp từ hai địa điểm $A$ và $B$ cách nhau $42$km, xuất phát cùng lúc và đi ngược chiều nhau, sau $2$ giờ thì gặp nhau. Biết vận tốc bạn đi từ $A$ nhanh hơn vận tốc bạn đi từ $B$ là $3$km/h. Tính vận tốc mỗi bạn.
2
Gọi $x$ (km/h, $x>0$ ) là vận tốc bạn đi từ $B$ . Khi đó vận tốc bạn đi từ $A$ là $x+3$ (km/h).
Gọi $x$ (km/h, $x>0$) là vận tốc bạn đi từ $B$. Khi đó vận tốc bạn đi từ $A$ là $x+3$ (km/h).
3
Sau $2$ giờ, bạn từ $A$ đi được $2(x+3)$ km, bạn từ $B$ đi được $2x$ km.
Sau $2$ giờ, bạn từ $A$ đi được $2(x+3)$ km, bạn từ $B$ đi được $2x$ km.
4
Hai người đi ngược chiều gặp nhau nên tổng hai quãng đường bằng khoảng cách $AB$ : $2x+2(x+3)=42$ .
Hai người đi ngược chiều gặp nhau nên tổng hai quãng đường bằng khoảng cách $AB$: $2x+2(x+3)=42$.
5
$2x+2x+6=42 \Rightarrow 4x=36 \Rightarrow x=9$ .
$2x+2x+6=42 \Rightarrow 4x=36 \Rightarrow x=9$.
6
$x=9$ thoả điều kiện $x>0$ . Vậy vận tốc bạn đi từ $B$ là $9$ km/h, vận tốc bạn đi từ $A$ là $9+3=12$ km/h.
$x=9$ thoả điều kiện $x>0$. Vậy vận tốc bạn đi từ $B$ là $9$km/h, vận tốc bạn đi từ $A$ là $9+3=12$km/h.

Bẫy thường gặp

Ba lỗi hay gặp khi ôn tập phương trình: quên tìm ĐKXĐ trước khi khử mẫu, dẫn đến giữ lại một nghiệm thực ra làm mẫu bằng $0$ ; quên điều kiện của vế phải khi giải phương trình trị tuyệt đối, chấp nhận cả nghiệm khiến $B<0$ ; và trong bài toán lập phương trình, quên đối chiếu nghiệm với điều kiện thực tế của ẩn — một khoảng thời gian, một quãng đường không thể âm. Với bài toán hai xe gặp nhau, lỗi riêng hay gặp là cộng nhầm thành trừ hai quãng đường — chỉ trừ khi hai xe đi CÙNG chiều và đuổi kịp nhau, còn đi NGƯỢC chiều gặp nhau thì luôn cộng hai quãng đường lại bằng khoảng cách ban đầu. Ba dạng bài của chương này — ẩn ở mẫu, trị tuyệt đối, lập phương trình — thường xuất hiện chung trong một đề, nên luyện phản xạ nhận đúng dạng trước khi giải quan trọng không kém luyện kỹ thuật giải từng dạng.

Ba lỗi hay gặp khi ôn tập phương trình: quên tìm ĐKXĐ trước khi khử mẫu, dẫn đến giữ lại một nghiệm thực ra làm mẫu bằng $0$; quên điều kiện của vế phải khi giải phương trình trị tuyệt đối, chấp nhận cả nghiệm khiến $B<0$; và trong bài toán lập phương trình, quên đối chiếu nghiệm với điều kiện thực tế của ẩn — một khoảng thời gian, một quãng đường không thể âm. Với bài toán hai xe gặp nhau, lỗi riêng hay gặp là cộng nhầm thành trừ hai quãng đường — chỉ trừ khi hai xe đi CÙNG chiều và đuổi kịp nhau, còn đi NGƯỢC chiều gặp nhau thì luôn cộng hai quãng đường lại bằng khoảng cách ban đầu. Ba dạng bài của chương này — ẩn ở mẫu, trị tuyệt đối, lập phương trình — thường xuất hiện chung trong một đề, nên luyện phản xạ nhận đúng dạng trước khi giải quan trọng không kém luyện kỹ thuật giải từng dạng.

Phương trình ẩn ở mẫu: luôn tìm ĐKXĐ trước khi khử mẫu. Phương trình trị tuyệt đối: tách hai trường hợp và kiểm tra điều kiện của vế phải. Bài toán lập phương trình: gọi ẩn kèm điều kiện thực tế ngay từ đầu, và luôn đối chiếu nghiệm với điều kiện đó trước khi kết luận.

Chương sau chuyển sang một cách nhìn khác của cùng mối quan hệ giữa hai đại lượng: hàm số bậc nhất và đồ thị của nó, nơi việc giải phương trình vừa ôn lại xuất hiện theo một vai trò mới — tìm giao điểm của hai đường thẳng.