Bài học

Đồ thị, hệ số góc và giao điểm hai đường thẳng — ôn tập phối hợp

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em vẽ và đọc được đồ thị hàm số bậc nhất, so sánh hệ số góc để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, và tìm được toạ độ giao điểm của hai đường thẳng bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm — đúng kỹ năng giải phương trình vừa ôn ở bài trước, áp dụng vào một bài toán đồ thị.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã học hàm số bậc nhất $y=ax+b$ ( $a\ne0$ ): đồng biến khi $a>0$ , nghịch biến khi $a<0$ ; đồ thị là một đường thẳng, xác định bằng hai điểm, thường chọn giao điểm với hai trục toạ độ; hệ số $a$ là hệ số góc, thể hiện độ dốc của đường thẳng; và hai đường thẳng $y=ax+b$ , $y=a'x+b'$ song song khi $a=a', b\ne b'$ , trùng nhau khi $a=a', b=b'$ , cắt nhau khi $a\ne a'$ .

Em đã học hàm số bậc nhất $y=ax+b$ ($a\ne0$): đồng biến khi $a>0$, nghịch biến khi $a<0$; đồ thị là một đường thẳng, xác định bằng hai điểm, thường chọn giao điểm với hai trục toạ độ; hệ số $a$ là hệ số góc, thể hiện độ dốc của đường thẳng; và hai đường thẳng $y=ax+b$, $y=a'x+b'$ song song khi $a=a', b\ne b'$, trùng nhau khi $a=a', b=b'$, cắt nhau khi $a\ne a'$.

Khởi động

Hai đường thẳng cắt nhau tại đúng một điểm — nhưng toạ độ điểm đó là bao nhiêu? Câu trả lời không nằm trên đồ thị vẽ tay (dễ đọc sai một ô lưới), mà nằm ở việc giải một phương trình bậc nhất, đúng kỹ năng em vừa ôn ở bài trước.

Tìm giao điểm bằng cách giải phương trình

Tại giao điểm của hai đường thẳng $d_1: y=a_1x+b_1$ và $d_2: y=a_2x+b_2$ , cả hai đường đi qua cùng một điểm, nên tung độ của điểm đó tính theo $d_1$ phải bằng tung độ tính theo $d_2$ . Từ đó lập được phương trình $a_1x+b_1=a_2x+b_2$ , gọi là phương trình hoành độ giao điểm — giải phương trình bậc nhất này ra $x$ , rồi thay $x$ vào một trong hai hàm số để tính $y$ , là có ngay toạ độ giao điểm, chính xác tuyệt đối, không phụ thuộc vào việc vẽ hình có khéo tay hay không.

Tại giao điểm của hai đường thẳng $d_1: y=a_1x+b_1$ và $d_2: y=a_2x+b_2$, cả hai đường đi qua cùng một điểm, nên tung độ của điểm đó tính theo $d_1$ phải bằng tung độ tính theo $d_2$. Từ đó lập được phương trình $a_1x+b_1=a_2x+b_2$, gọi là phương trình hoành độ giao điểm — giải phương trình bậc nhất này ra $x$, rồi thay $x$ vào một trong hai hàm số để tính $y$, là có ngay toạ độ giao điểm, chính xác tuyệt đối, không phụ thuộc vào việc vẽ hình có khéo tay hay không.

Phương trình hoành độ giao điểm không phải lúc nào cũng có đúng một nghiệm — và điều đó kể lại chính câu chuyện vị trí tương đối vừa ôn ở trên, chỉ bằng ngôn ngữ đại số thay vì hình học. Khi $a_1=a_2$ , phương trình $a_1x+b_1=a_2x+b_2$ rút gọn thành $b_1=b_2$ : nếu $b_1\ne b_2$ đây là một phương trình vô nghiệm — không có $x$ nào thoả — khớp đúng với hai đường thẳng song song, không bao giờ gặp nhau; nếu $b_1=b_2$ thì mọi $x$ đều là nghiệm, khớp với hai đường thẳng trùng nhau, 'gặp nhau' tại mọi điểm. Khi $a_1\ne a_2$ , phương trình luôn có đúng một nghiệm, khớp với hai đường thẳng cắt nhau tại đúng một điểm. Xét bằng đại số (số nghiệm của một phương trình) hay xét bằng hình học (vị trí hai đường thẳng), kết quả luôn khớp nhau — đây không phải hai kỹ năng tách rời, mà là một sự thật nhìn từ hai góc.

Phương trình hoành độ giao điểm không phải lúc nào cũng có đúng một nghiệm — và điều đó kể lại chính câu chuyện vị trí tương đối vừa ôn ở trên, chỉ bằng ngôn ngữ đại số thay vì hình học. Khi $a_1=a_2$, phương trình $a_1x+b_1=a_2x+b_2$ rút gọn thành $b_1=b_2$: nếu $b_1\ne b_2$ đây là một phương trình vô nghiệm — không có $x$ nào thoả — khớp đúng với hai đường thẳng song song, không bao giờ gặp nhau; nếu $b_1=b_2$ thì mọi $x$ đều là nghiệm, khớp với hai đường thẳng trùng nhau, 'gặp nhau' tại mọi điểm. Khi $a_1\ne a_2$, phương trình luôn có đúng một nghiệm, khớp với hai đường thẳng cắt nhau tại đúng một điểm. Xét bằng đại số (số nghiệm của một phương trình) hay xét bằng hình học (vị trí hai đường thẳng), kết quả luôn khớp nhau — đây không phải hai kỹ năng tách rời, mà là một sự thật nhìn từ hai góc.

Ví dụ

Tìm giao điểm hai đường thẳng

1
Cho hai đường thẳng $d_1: y=2x-1$ và $d_2: y=-x+5$ . Tìm toạ độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$ .
Cho hai đường thẳng $d_1: y=2x-1$ và $d_2: y=-x+5$. Tìm toạ độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$.
2
Tại giao điểm, hai đường thẳng có cùng tung độ, nên $2x-1=-x+5$ .
Tại giao điểm, hai đường thẳng có cùng tung độ, nên $2x-1=-x+5$.
3
$2x+x=5+1 \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2$ .
$2x+x=5+1 \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2$.
4
Thay $x=2$ vào $d_1$ : $y=2\cdot2-1=3$ .
Thay $x=2$ vào $d_1$: $y=2\cdot2-1=3$.
5
Vậy $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại điểm $M(2;3)$ . Hệ số góc của $d_1$ là $2$ và của $d_2$ là $-1$ , khác nhau, nên hai đường thẳng chắc chắn cắt nhau tại đúng một điểm, khớp với điều kiện cắt nhau đã học.
Vậy $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại điểm $M(2;3)$. Hệ số góc của $d_1$ là $2$ và của $d_2$ là $-1$, khác nhau, nên hai đường thẳng chắc chắn cắt nhau tại đúng một điểm, khớp với điều kiện cắt nhau đã học.

Giao điểm của hai đường thẳng

Ví dụ

Điều kiện song song và giao điểm với trục hoành (dạng thi)

1
Tìm $m$ để đường thẳng $d_3: y=(m-2)x+1$ song song với đường thẳng $d_4: y=3x-4$ . Với giá trị $m$ vừa tìm được, tính toạ độ giao điểm của $d_3$ với trục hoành.
Tìm $m$ để đường thẳng $d_3: y=(m-2)x+1$ song song với đường thẳng $d_4: y=3x-4$. Với giá trị $m$ vừa tìm được, tính toạ độ giao điểm của $d_3$ với trục hoành.
2
$d_3$ song song $d_4$ khi hệ số góc bằng nhau và hệ số tự do khác nhau: $m-2=3$ và $1 \ne -4$ (luôn đúng).
$d_3$ song song $d_4$ khi hệ số góc bằng nhau và hệ số tự do khác nhau: $m-2=3$ và $1 \ne -4$ (luôn đúng).
3
$m-2=3 \Rightarrow m=5$ .
$m-2=3 \Rightarrow m=5$.
4
Với $m=5$ : $d_3: y=3x+1$ . Giao điểm với trục hoành ứng với $y=0$ : $3x+1=0 \Rightarrow x=-\dfrac{1}{3}$ .
Với $m=5$: $d_3: y=3x+1$. Giao điểm với trục hoành ứng với $y=0$: $3x+1=0 \Rightarrow x=-\dfrac{1}{3}$.
5
Vậy $m=5$ , và $d_3$ cắt trục hoành tại điểm $\left(-\dfrac{1}{3};0\right)$ .
Vậy $m=5$, và $d_3$ cắt trục hoành tại điểm $\left(-\dfrac{1}{3};0\right)$.

Ví dụ

Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm, rồi tìm giao điểm

1
Viết phương trình đường thẳng $d_5$ đi qua hai điểm $A(1;5)$ và $B(3;13)$ . Sau đó tìm toạ độ giao điểm của $d_5$ với đường thẳng $d_6: y=-x+11$ .
Viết phương trình đường thẳng $d_5$ đi qua hai điểm $A(1;5)$ và $B(3;13)$. Sau đó tìm toạ độ giao điểm của $d_5$ với đường thẳng $d_6: y=-x+11$.
2
$a=\dfrac{13-5}{3-1}=\dfrac{8}{2}=4$ .
$a=\dfrac{13-5}{3-1}=\dfrac{8}{2}=4$.
3
Đường thẳng có dạng $y=4x+b$ . Thay toạ độ điểm $A(1;5)$ : $5=4\cdot1+b \Rightarrow b=1$ . Vậy $d_5: y=4x+1$ .
Đường thẳng có dạng $y=4x+b$. Thay toạ độ điểm $A(1;5)$: $5=4\cdot1+b \Rightarrow b=1$. Vậy $d_5: y=4x+1$.
4
Thay $x=3$ vào $d_5$ : $y=4\cdot3+1=13$ , đúng bằng tung độ điểm $B$ đã cho — xác nhận $d_5$ đúng.
Thay $x=3$ vào $d_5$: $y=4\cdot3+1=13$, đúng bằng tung độ điểm $B$ đã cho — xác nhận $d_5$ đúng.
5
$4x+1=-x+11 \Rightarrow 5x=10 \Rightarrow x=2$ ; thay vào $d_5$ : $y=4\cdot2+1=9$ .
$4x+1=-x+11 \Rightarrow 5x=10 \Rightarrow x=2$; thay vào $d_5$: $y=4\cdot2+1=9$.
6
Vậy $d_5: y=4x+1$ , và $d_5$ cắt $d_6$ tại điểm $(2;9)$ .
Vậy $d_5: y=4x+1$, và $d_5$ cắt $d_6$ tại điểm $(2;9)$.

Bẫy thường gặp

Lỗi hay gặp nhất: nhầm điều kiện song song ( $a=a', b\ne b'$ ) với trùng nhau ( $a=a', b=b'$ ) — quên kiểm tra $b\ne b'$ nên chấp nhận cả trường hợp hai đường trùng nhau. Lỗi thứ hai: khi tìm giao điểm với trục hoành hay trục tung, nhầm lẫn cho $x=0$ hay $y=0$ — giao với trục hoành thì $y=0$ , giao với trục tung thì $x=0$ . Lỗi thứ ba, khi viết phương trình đường thẳng qua hai điểm: quên bước kiểm tra lại bằng điểm còn lại, nên không phát hiện được một phép tính hệ số góc bị sai từ đầu.

Lỗi hay gặp nhất: nhầm điều kiện song song ($a=a', b\ne b'$) với trùng nhau ($a=a', b=b'$) — quên kiểm tra $b\ne b'$ nên chấp nhận cả trường hợp hai đường trùng nhau. Lỗi thứ hai: khi tìm giao điểm với trục hoành hay trục tung, nhầm lẫn cho $x=0$ hay $y=0$ — giao với trục hoành thì $y=0$, giao với trục tung thì $x=0$. Lỗi thứ ba, khi viết phương trình đường thẳng qua hai điểm: quên bước kiểm tra lại bằng điểm còn lại, nên không phát hiện được một phép tính hệ số góc bị sai từ đầu.

Tìm giao điểm hai đường thẳng: lập phương trình hoành độ giao điểm, giải ra $x$ , thay vào một hàm số để tính $y$ . Xét vị trí tương đối: so sánh hệ số góc trước ( $a=a'$ hay $a\ne a'$ ), rồi mới xét đến hệ số tự do khi cần phân biệt song song với trùng nhau. Sau khi tìm được toạ độ giao điểm, luôn kiểm tra lại bằng cách thay vào PHƯƠNG TRÌNH CÒN LẠI (không phải phương trình vừa dùng để tính $y$ ) — nếu cả hai vế khớp nhau, kết quả chắc chắn đúng, vì điểm giao thật sự phải thoả mãn đồng thời cả hai đường thẳng.

Tìm giao điểm hai đường thẳng: lập phương trình hoành độ giao điểm, giải ra $x$, thay vào một hàm số để tính $y$. Xét vị trí tương đối: so sánh hệ số góc trước ($a=a'$ hay $a\ne a'$), rồi mới xét đến hệ số tự do khi cần phân biệt song song với trùng nhau. Sau khi tìm được toạ độ giao điểm, luôn kiểm tra lại bằng cách thay vào PHƯƠNG TRÌNH CÒN LẠI (không phải phương trình vừa dùng để tính $y$) — nếu cả hai vế khớp nhau, kết quả chắc chắn đúng, vì điểm giao thật sự phải thoả mãn đồng thời cả hai đường thẳng.

Phần đại số của khoá ôn tập khép lại ở đây. Cả ba chương vừa qua — đa thức và hằng đẳng thức, phân thức và phương trình, hàm số bậc nhất — đều dựa trên cùng một mạch kỹ năng: phân tích cấu trúc biểu thức, giải phương trình bậc nhất, và đối chiếu điều kiện trước khi kết luận. Chương sau chuyển hẳn sang hình học — nơi định lí Pythagore, các tứ giác, định lí Thalès và tam giác đồng dạng thường xuất hiện chung trong một bài toán, đòi hỏi đúng kỹ năng phối hợp nhiều công cụ vừa luyện ở phần đại số, chỉ khác đối tượng làm việc là hình vẽ thay vì biểu thức.