Bài học

Thống kê và xác suất — ôn tập tổng hợp

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em đọc và lập được bảng tần số từ một cuộc khảo sát, chọn đúng loại biểu đồ để biểu diễn dữ liệu, tính được xác suất lý thuyết của một biến cố, và tính được xác suất thực nghiệm từ kết quả một cuộc thử nghiệm thật, rồi so sánh hai loại xác suất đó với nhau.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã học phân loại dữ liệu định tính và định lượng; cách tổ chức dữ liệu thu thập được thành bảng tần số; chọn biểu đồ cột để so sánh, biểu đồ đường để thể hiện xu hướng theo thời gian; không gian mẫu và công thức xác suất lý thuyết $P(A)=\dfrac{\text{số kết quả thuận lợi}}{\text{tổng số kết quả}}$ khi các kết quả đồng khả năng; và xác suất thực nghiệm $=\dfrac{\text{số lần biến cố xảy ra}}{\text{số lần thử}}$ , càng thử nhiều lần thì càng gần xác suất lý thuyết. Hai công thức xác suất trông giống nhau nhưng khác hẳn về bản chất: công thức lý thuyết đếm trước khi thử, công thức thực nghiệm đếm sau khi đã thử thật — nhầm lẫn cách dùng công thức nào cho bài nào là lỗi phổ biến nhất của cả chủ đề này.

Em đã học phân loại dữ liệu định tính và định lượng; cách tổ chức dữ liệu thu thập được thành bảng tần số; chọn biểu đồ cột để so sánh, biểu đồ đường để thể hiện xu hướng theo thời gian; không gian mẫu và công thức xác suất lý thuyết $P(A)=\dfrac{\text{số kết quả thuận lợi}}{\text{tổng số kết quả}}$ khi các kết quả đồng khả năng; và xác suất thực nghiệm $=\dfrac{\text{số lần biến cố xảy ra}}{\text{số lần thử}}$, càng thử nhiều lần thì càng gần xác suất lý thuyết. Hai công thức xác suất trông giống nhau nhưng khác hẳn về bản chất: công thức lý thuyết đếm trước khi thử, công thức thực nghiệm đếm sau khi đã thử thật — nhầm lẫn cách dùng công thức nào cho bài nào là lỗi phổ biến nhất của cả chủ đề này.

Khởi động

Một cuộc khảo sát trong lớp vừa là dữ liệu để lập bảng tần số và vẽ biểu đồ, vừa là cơ sở để tính xác suất thực nghiệm — chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp, khả năng bạn đó rơi vào một nhóm nào đó chính là tỉ lệ đọc ra từ bảng tần số. Hai mảng kiến thức tưởng tách rời hoá ra dùng chung một bảng số liệu.

Từ bảng tần số đến xác suất thực nghiệm

Khảo sát môn thể thao yêu thích của 40 học sinh

Ví dụ

Xác suất thực nghiệm từ bảng tần số khảo sát

1
Khảo sát $40$ học sinh về môn thể thao yêu thích, kết quả cho ở biểu đồ trên. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm khảo sát. Tính xác suất thực nghiệm để học sinh đó thích bóng đá.
Khảo sát $40$ học sinh về môn thể thao yêu thích, kết quả cho ở biểu đồ trên. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm khảo sát. Tính xác suất thực nghiệm để học sinh đó thích bóng đá.
2
Theo biểu đồ, số học sinh thích bóng đá là $16$ , tổng số học sinh được khảo sát là $40$ .
Theo biểu đồ, số học sinh thích bóng đá là $16$, tổng số học sinh được khảo sát là $40$.
3
Xác suất thực nghiệm $=\dfrac{\text{số học sinh thích bóng đá}}{\text{tổng số học sinh khảo sát}}=\dfrac{16}{40}=\dfrac{2}{5}$ .
Xác suất thực nghiệm $=\dfrac{\text{số học sinh thích bóng đá}}{\text{tổng số học sinh khảo sát}}=\dfrac{16}{40}=\dfrac{2}{5}$.
4
Vậy xác suất thực nghiệm để một học sinh được chọn ngẫu nhiên thích bóng đá là $\dfrac{2}{5}$ , tức $40\%$ .
Vậy xác suất thực nghiệm để một học sinh được chọn ngẫu nhiên thích bóng đá là $\dfrac{2}{5}$, tức $40\%$.

Ví dụ

Nhận biết biểu đồ gây hiểu lầm

1
Một biểu đồ cột so sánh doanh thu hai cửa hàng $A$ và $B$ vẽ trục tung bắt đầu từ mốc $80$ (thay vì $0$ ). Trên biểu đồ, cột $A$ trông cao gấp đôi cột $B$ , dù doanh thu thật của $A$ chỉ hơn $B$ khoảng $10\%$ . Vì sao biểu đồ này gây hiểu lầm, và nên sửa thế nào?
Một biểu đồ cột so sánh doanh thu hai cửa hàng $A$ và $B$ vẽ trục tung bắt đầu từ mốc $80$ (thay vì $0$). Trên biểu đồ, cột $A$ trông cao gấp đôi cột $B$, dù doanh thu thật của $A$ chỉ hơn $B$ khoảng $10\%$. Vì sao biểu đồ này gây hiểu lầm, và nên sửa thế nào?
2
Trục tung không bắt đầu từ $0$ làm phần cột phía dưới mốc $80$ bị cắt khỏi hình vẽ. Mắt người xem so sánh CHIỀU CAO còn lại của hai cột, chứ không so sánh đúng GIÁ TRỊ thật — một chênh lệch nhỏ ở phần trên cùng bị phóng đại thành một chênh lệch lớn về mặt thị giác.
Trục tung không bắt đầu từ $0$ làm phần cột phía dưới mốc $80$ bị cắt khỏi hình vẽ. Mắt người xem so sánh CHIỀU CAO còn lại của hai cột, chứ không so sánh đúng GIÁ TRỊ thật — một chênh lệch nhỏ ở phần trên cùng bị phóng đại thành một chênh lệch lớn về mặt thị giác.
3
Vẽ lại biểu đồ với trục tung bắt đầu từ $0$ , để chiều cao mỗi cột phản ánh đúng tỉ lệ giá trị thật; hoặc giữ nguyên cách vẽ nhưng ghi rõ giá trị số ngay trên mỗi cột, để người đọc không chỉ dựa vào ấn tượng thị giác.
Vẽ lại biểu đồ với trục tung bắt đầu từ $0$, để chiều cao mỗi cột phản ánh đúng tỉ lệ giá trị thật; hoặc giữ nguyên cách vẽ nhưng ghi rõ giá trị số ngay trên mỗi cột, để người đọc không chỉ dựa vào ấn tượng thị giác.
4
Một biểu đồ đúng số liệu vẫn có thể gây hiểu lầm nếu cách trình bày (trục cắt, tỉ lệ không đều) khiến người đọc so sánh sai — đọc biểu đồ cẩn thận nghĩa là kiểm tra cả trục số, không chỉ nhìn chiều cao cột.

Xác suất lý thuyết và so sánh với thực nghiệm

Ví dụ

Xác suất lý thuyết rút bi từ hộp

1
Một hộp có $4$ bi xanh, $3$ bi đỏ, $5$ bi vàng, các viên bi giống hệt nhau về kích thước. Rút ngẫu nhiên một bi. Tính xác suất rút được bi đỏ.
Một hộp có $4$ bi xanh, $3$ bi đỏ, $5$ bi vàng, các viên bi giống hệt nhau về kích thước. Rút ngẫu nhiên một bi. Tính xác suất rút được bi đỏ.
2
Tổng số bi trong hộp: $4+3+5=12$ , mỗi bi có cùng khả năng được rút.
Tổng số bi trong hộp: $4+3+5=12$, mỗi bi có cùng khả năng được rút.
3
$P(\text{bi đỏ})=\dfrac{\text{số bi đỏ}}{\text{tổng số bi}}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$ .
$P(\text{bi đỏ})=\dfrac{\text{số bi đỏ}}{\text{tổng số bi}}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$.
4
Vậy xác suất rút được bi đỏ là $\dfrac{1}{4}$ .
Vậy xác suất rút được bi đỏ là $\dfrac{1}{4}$.

Ví dụ

So sánh xác suất lý thuyết và thực nghiệm (dạng thi)

1
Gieo một con xúc xắc sáu mặt $60$ lần, kết quả ghi lại cho thấy mặt $6$ chấm xuất hiện $12$ lần. Tính xác suất thực nghiệm xuất hiện mặt $6$ chấm, rồi so sánh với xác suất lý thuyết.
Gieo một con xúc xắc sáu mặt $60$ lần, kết quả ghi lại cho thấy mặt $6$ chấm xuất hiện $12$ lần. Tính xác suất thực nghiệm xuất hiện mặt $6$ chấm, rồi so sánh với xác suất lý thuyết.
2
$P_{\text{thực nghiệm}}(\text{mặt 6 chấm})=\dfrac{12}{60}=\dfrac{1}{5}$ .
$P_{\text{thực nghiệm}}(\text{mặt 6 chấm})=\dfrac{12}{60}=\dfrac{1}{5}$.
3
Xúc xắc có $6$ mặt đồng khả năng, nên $P_{\text{lý thuyết}}(\text{mặt 6 chấm})=\dfrac{1}{6}$ .
Xúc xắc có $6$ mặt đồng khả năng, nên $P_{\text{lý thuyết}}(\text{mặt 6 chấm})=\dfrac{1}{6}$.
4
$\dfrac{1}{5}=0{,}2$ và $\dfrac{1}{6}\approx0{,}167$ , hai giá trị khá gần nhau dù không trùng khớp tuyệt đối — số lần thử càng lớn, xác suất thực nghiệm càng tiến gần xác suất lý thuyết.
$\dfrac{1}{5}=0{,}2$ và $\dfrac{1}{6}\approx0{,}167$, hai giá trị khá gần nhau dù không trùng khớp tuyệt đối — số lần thử càng lớn, xác suất thực nghiệm càng tiến gần xác suất lý thuyết.

Bẫy thường gặp

Lỗi hay gặp: tính xác suất thực nghiệm dựa trên tổng số LẦN THỬ thay vì đúng số lần biến cố xảy ra, hoặc ngược lại. Lỗi thứ hai: khi tính xác suất lý thuyết, quên kiểm tra các kết quả có thật sự đồng khả năng hay không — công thức $P(A)=\dfrac{\text{thuận lợi}}{\text{tổng số}}$ chỉ đúng khi mọi kết quả có cùng khả năng xảy ra.

Xác suất lý thuyết dựa trên đếm kết quả thuận lợi trên tổng số kết quả đồng khả năng, tính được ngay cả khi chưa thử nghiệm lần nào. Xác suất thực nghiệm dựa trên số liệu thật đã thu thập, và càng thử nhiều lần thì càng tiệm cận xác suất lý thuyết. Một bảng tần số khảo sát vừa là dữ liệu để vẽ biểu đồ, vừa là dữ liệu để tính xác suất thực nghiệm — hai kỹ năng tưởng khác nhau thực ra dùng chung một bảng số liệu gốc, chỉ khác câu hỏi đặt ra cho bảng đó.

Đến đây, toàn bộ sáu mảng kiến thức của Toán 8 nền tảng — đa thức, phân thức và phương trình, hàm số, hình học phẳng, hình chóp đều, thống kê và xác suất — đã được ôn lại đầy đủ, mỗi mảng qua ít nhất một bài toán liên chủ đề đúng độ khó đề kiểm tra cuối năm. Chương cuối cùng luyện kỹ năng nhận diện nhanh nên dùng công cụ nào cho một bài toán mới, rồi thử sức với một đề ôn tập tổng hợp cuối năm.