Bài học

Đa thức và hằng đẳng thức — ôn tập phối hợp

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em rút gọn được những biểu thức đa thức phối hợp nhiều phép tính trong cùng một bài — cộng trừ đa thức, nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, và các hằng đẳng thức đáng nhớ — đúng dạng một câu hỏi ôn tập cuối năm hay ra, thay vì mỗi kỹ năng chỉ xuất hiện riêng lẻ như lúc mới học.

Kiến thức nền cần nhớ

Suốt học kỳ, em đã lần lượt học cộng trừ đa thức nhiều biến, nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, và bảy hằng đẳng thức đáng nhớ: bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, hiệu hai bình phương, lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, tổng hai lập phương, hiệu hai lập phương. Bài ôn tập này không dạy lại từng công thức — em cần nhớ và tra lại nếu quên — mà tập trung vào một kỹ năng khó hơn: nhận ra đúng lúc nào một cụm biểu thức khớp sẵn với một hằng đẳng thức, lúc nào chỉ cần nhân trực tiếp, và phối hợp cả hai trong một bài toán rút gọn nhiều bước.

Khởi động

Một đề kiểm tra thường không hỏi trần trụi 'khai triển $(x+3)^2$ ', mà đưa ra một biểu thức dài như $(x+4)^2-(x-4)(x+4)+2x(x-3)$ và yêu cầu rút gọn. Nhìn qua, biểu thức có ba cụm khác nhau — một hằng đẳng thức, một hằng đẳng thức khác, và một phép nhân đơn thức với đa thức. Bài học này luyện đúng kỹ năng tách và xử lý từng cụm đó, rồi ghép kết quả lại cho chính xác.

Một đề kiểm tra thường không hỏi trần trụi 'khai triển $(x+3)^2$', mà đưa ra một biểu thức dài như $(x+4)^2-(x-4)(x+4)+2x(x-3)$ và yêu cầu rút gọn. Nhìn qua, biểu thức có ba cụm khác nhau — một hằng đẳng thức, một hằng đẳng thức khác, và một phép nhân đơn thức với đa thức. Bài học này luyện đúng kỹ năng tách và xử lý từng cụm đó, rồi ghép kết quả lại cho chính xác.

Phối hợp phép toán đa thức và hằng đẳng thức

Với một biểu thức nhiều cụm, việc đầu tiên là đọc từng cụm và tự hỏi: cụm này khớp dạng nào trong bảy hằng đẳng thức, hay chỉ là một phép nhân bình thường? $(x+4)^2$ khớp dạng $(A+B)^2$ ; $(x-4)(x+4)$ khớp dạng hiệu hai bình phương $(A-B)(A+B)$ ; còn $2x(x-3)$ không khớp hằng đẳng thức nào cả, chỉ là nhân đơn thức với đa thức bình thường. Xử lý xong từng cụm, em cộng trừ các đa thức kết quả lại bằng cách gộp các hạng tử đồng dạng, đúng kỹ năng cộng trừ đa thức đã học từ Chương 1. Một điểm rất hay bị mất điểm: khi trừ một cụm đã khai triển, dấu trừ phải đổi dấu mọi hạng tử bên trong cụm đó, không chỉ hạng tử đầu tiên.

Với một biểu thức nhiều cụm, việc đầu tiên là đọc từng cụm và tự hỏi: cụm này khớp dạng nào trong bảy hằng đẳng thức, hay chỉ là một phép nhân bình thường? $(x+4)^2$ khớp dạng $(A+B)^2$; $(x-4)(x+4)$ khớp dạng hiệu hai bình phương $(A-B)(A+B)$; còn $2x(x-3)$ không khớp hằng đẳng thức nào cả, chỉ là nhân đơn thức với đa thức bình thường. Xử lý xong từng cụm, em cộng trừ các đa thức kết quả lại bằng cách gộp các hạng tử đồng dạng, đúng kỹ năng cộng trừ đa thức đã học từ Chương 1. Một điểm rất hay bị mất điểm: khi trừ một cụm đã khai triển, dấu trừ phải đổi dấu mọi hạng tử bên trong cụm đó, không chỉ hạng tử đầu tiên.

Khi một câu hỏi ôn tập ghép ba phép toán vào một biểu thức duy nhất, đó chính là tín hiệu cho biết em đang cần LÀM VIỆC THEO CỤM chứ không phải theo từng phép tính rời rạc: mỗi cụm ngoặc là một bài toán nhỏ độc lập, có thể xử lý bằng đúng một công cụ (khai triển hằng đẳng thức, hoặc nhân đơn thức với đa thức), rồi mới ghép các kết quả nhỏ lại bằng phép cộng trừ đa thức. Nhận ra cấu trúc 'nhiều cụm nhỏ, mỗi cụm một công cụ' trước khi đặt bút tính là kỹ năng mà một bài tập chỉ luyện một hằng đẳng thức duy nhất không bao giờ dạy được.

Ví dụ

Rút gọn biểu thức phối hợp ba phép toán

1
Rút gọn biểu thức $B = (x+4)^2 - (x-4)(x+4) + 2x(x-3)$ .
Rút gọn biểu thức $B = (x+4)^2 - (x-4)(x+4) + 2x(x-3)$.
2
Ta có $(x+4)^2 = x^2+8x+16$ (bình phương của một tổng); $(x-4)(x+4) = x^2-16$ (hiệu hai bình phương); $2x(x-3) = 2x^2-6x$ (nhân đơn thức với đa thức).
Ta có $(x+4)^2 = x^2+8x+16$ (bình phương của một tổng); $(x-4)(x+4) = x^2-16$ (hiệu hai bình phương); $2x(x-3) = 2x^2-6x$ (nhân đơn thức với đa thức).
3
Suy ra $B = (x^2+8x+16) - (x^2-16) + (2x^2-6x)$ . Bỏ ngoặc, đổi dấu cụm thứ hai vì đứng sau dấu trừ: $B = x^2+8x+16-x^2+16+2x^2-6x$ .
Suy ra $B = (x^2+8x+16) - (x^2-16) + (2x^2-6x)$. Bỏ ngoặc, đổi dấu cụm thứ hai vì đứng sau dấu trừ: $B = x^2+8x+16-x^2+16+2x^2-6x$.
4
Nhóm các hạng tử cùng bậc: $(x^2-x^2+2x^2) + (8x-6x) + (16+16) = 2x^2+2x+32$ .
Nhóm các hạng tử cùng bậc: $(x^2-x^2+2x^2) + (8x-6x) + (16+16) = 2x^2+2x+32$.
5
Vậy $B = 2x^2+2x+32$ .
Vậy $B = 2x^2+2x+32$.

Quy trình rút gọn biểu thức phối hợp

Ví dụ

Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức (dạng thi)

1
Cho biểu thức $C = (2x-3)^2 - (2x-1)(2x+1) + 3(x-2)(x+2)$ . Rút gọn $C$ , rồi tính giá trị của $C$ tại $x=-1$ .
Cho biểu thức $C = (2x-3)^2 - (2x-1)(2x+1) + 3(x-2)(x+2)$. Rút gọn $C$, rồi tính giá trị của $C$ tại $x=-1$.
2
$(2x-3)^2 = 4x^2-12x+9$ ; $(2x-1)(2x+1) = 4x^2-1$ ; $3(x-2)(x+2) = 3(x^2-4) = 3x^2-12$ .
$(2x-3)^2 = 4x^2-12x+9$; $(2x-1)(2x+1) = 4x^2-1$; $3(x-2)(x+2) = 3(x^2-4) = 3x^2-12$.
3
$C = (4x^2-12x+9) - (4x^2-1) + (3x^2-12) = 4x^2-12x+9-4x^2+1+3x^2-12$ . Gộp hạng tử đồng dạng: $C = 3x^2-12x-2$ .
$C = (4x^2-12x+9) - (4x^2-1) + (3x^2-12) = 4x^2-12x+9-4x^2+1+3x^2-12$. Gộp hạng tử đồng dạng: $C = 3x^2-12x-2$.
4
Với $x=-1$ : $C = 3\cdot(-1)^2 - 12\cdot(-1) - 2 = 3+12-2 = 13$ .
Với $x=-1$: $C = 3\cdot(-1)^2 - 12\cdot(-1) - 2 = 3+12-2 = 13$.
5
Vậy $C = 3x^2-12x-2$ , và $C=13$ khi $x=-1$ .
Vậy $C = 3x^2-12x-2$, và $C=13$ khi $x=-1$.

Ví dụ

Kiểm tra kết quả rút gọn bằng cách thay số

1
Kiểm tra kết quả rút gọn $B=2x^2+2x+32$ ở ví dụ đầu tiên bằng cách thay $x=1$ vào cả biểu thức gốc lẫn biểu thức đã rút gọn.
Kiểm tra kết quả rút gọn $B=2x^2+2x+32$ ở ví dụ đầu tiên bằng cách thay $x=1$ vào cả biểu thức gốc lẫn biểu thức đã rút gọn.
2
$(1+4)^2-(1-4)(1+4)+2\cdot1\cdot(1-3) = 25-(-3)\cdot5+2\cdot(-2) = 25+15-4=36$ .
$(1+4)^2-(1-4)(1+4)+2\cdot1\cdot(1-3) = 25-(-3)\cdot5+2\cdot(-2) = 25+15-4=36$.
3
$2\cdot1^2+2\cdot1+32=2+2+32=36$ .
$2\cdot1^2+2\cdot1+32=2+2+32=36$.
4
Hai kết quả trùng nhau, càng chắc chắn bước rút gọn ở ví dụ 1 không sai. Đây là cách tự kiểm tra nhanh mọi bài rút gọn, không riêng gì bài này — chọn một giá trị $x$ dễ tính, thay vào cả hai bên, nếu khớp nhau thì kết quả rút gọn đáng tin.
Hai kết quả trùng nhau, càng chắc chắn bước rút gọn ở ví dụ 1 không sai. Đây là cách tự kiểm tra nhanh mọi bài rút gọn, không riêng gì bài này — chọn một giá trị $x$ dễ tính, thay vào cả hai bên, nếu khớp nhau thì kết quả rút gọn đáng tin.

Ví dụ

Rút gọn biểu thức bậc ba (mở rộng nhanh)

1
Rút gọn $D=(x+2)^3-(x-2)^3$ .
Rút gọn $D=(x+2)^3-(x-2)^3$.
2
$(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8$ ; $(x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8$ (áp dụng lập phương của một tổng và một hiệu).
$(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8$; $(x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8$ (áp dụng lập phương của một tổng và một hiệu).
3
$D=(x^3+6x^2+12x+8)-(x^3-6x^2+12x-8)=x^3-x^3+6x^2-(-6x^2)+12x-12x+8-(-8)=12x^2+16$ .
$D=(x^3+6x^2+12x+8)-(x^3-6x^2+12x-8)=x^3-x^3+6x^2-(-6x^2)+12x-12x+8-(-8)=12x^2+16$.
4
Các hạng tử bậc lẻ $12x$ và hạng tử bậc ba $x^3$ đã triệt tiêu lẫn nhau — hiệu của hai lập phương liền kề luôn chỉ còn lại các số hạng có hệ số gấp đôi trong khai triển lập phương của một tổng, đúng quy luật vừa thấy ở $2ab$ trong hiệu hai bình phương.
Các hạng tử bậc lẻ $12x$ và hạng tử bậc ba $x^3$ đã triệt tiêu lẫn nhau — hiệu của hai lập phương liền kề luôn chỉ còn lại các số hạng có hệ số gấp đôi trong khai triển lập phương của một tổng, đúng quy luật vừa thấy ở $2ab$ trong hiệu hai bình phương.

Bẫy thường gặp

Hai lỗi phổ biến nhất ở dạng bài này: quên đổi dấu khi bỏ ngoặc sau dấu trừ, viết nhầm $-(x^2-16)$ thành $-x^2-16$ thay vì $-x^2+16$ ; và nhầm lẫn hằng đẳng thức — nhầm $(x-4)(x+4)$ (hiệu hai bình phương, kết quả $x^2-16$ ) với $(x-4)^2$ (bình phương của một hiệu, kết quả $x^2-8x+16$ ). Hai biểu thức trông giống nhau nhưng kết quả khác hẳn nhau. Với biểu thức bậc ba như ví dụ vừa rồi, lỗi thêm thường gặp là quên dấu trừ khi khai triển $(x-2)^3$ — hai số hạng bậc chẵn ( $6x^2$ , hằng số) giữ dấu âm, còn hai số hạng bậc lẻ ( $12x$ và hạng tử bậc ba) mới thật sự đổi dấu so với $(x+2)^3$ .

Hai lỗi phổ biến nhất ở dạng bài này: quên đổi dấu khi bỏ ngoặc sau dấu trừ, viết nhầm $-(x^2-16)$ thành $-x^2-16$ thay vì $-x^2+16$; và nhầm lẫn hằng đẳng thức — nhầm $(x-4)(x+4)$ (hiệu hai bình phương, kết quả $x^2-16$) với $(x-4)^2$ (bình phương của một hiệu, kết quả $x^2-8x+16$). Hai biểu thức trông giống nhau nhưng kết quả khác hẳn nhau. Với biểu thức bậc ba như ví dụ vừa rồi, lỗi thêm thường gặp là quên dấu trừ khi khai triển $(x-2)^3$ — hai số hạng bậc chẵn ($6x^2$, hằng số) giữ dấu âm, còn hai số hạng bậc lẻ ($12x$ và hạng tử bậc ba) mới thật sự đổi dấu so với $(x+2)^3$.

Với biểu thức phối hợp: nhận dạng hằng đẳng thức của từng cụm trước, khai triển đúng công thức, cẩn thận đổi dấu khi bỏ ngoặc sau dấu trừ, rồi mới gộp hạng tử đồng dạng. Khi đề hỏi thêm giá trị tại một số cụ thể, luôn rút gọn xong xuôi trước khi thay số — thay vào biểu thức chưa rút gọn dễ tính sai và mất thời gian.

Bài học sau chuyển sang chiều ngược lại: thay vì khai triển tích thành tổng, em học cách nhận diện đúng lúc nào nên dùng phương pháp nào để phân tích một tổng trở lại thành tích — kỹ năng cốt lõi để giải phương trình bằng cách đưa về dạng tích bằng $0$ .