Bài học

Biến đổi và tính giá trị biểu thức hữu tỉ

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em rút gọn được một biểu thức hữu tỉ phối hợp nhiều phép tính, và tính đúng giá trị của biểu thức tại một giá trị cho trước sau khi đối chiếu ĐKXĐ.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này phối hợp toàn bộ các kỹ năng đã học: tìm ĐKXĐ, rút gọn, quy đồng, cộng trừ, nhân chia phân thức. Em cũng cần nhớ thứ tự thực hiện phép tính đã học ở lớp 6 — trong ngoặc trước, rồi đến nhân chia, rồi mới cộng trừ.

Khởi động

Biểu thức $\left(\dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x+1}\right) : \dfrac{2}{x^2-1}$ trông khá cồng kềnh. Nhưng nếu biến đổi đúng thứ tự — trong ngoặc trước — kết quả có thể gọn bất ngờ. Em thử đoán xem biểu thức này có rút gọn về một dạng đơn giản hơn nhiều không?

Biến đổi biểu thức hữu tỉ

Một biểu thức hữu tỉ là một dãy các phân thức nối với nhau bởi các phép cộng, trừ, nhân, chia, có thể có ngoặc. ĐKXĐ của cả biểu thức là giao ĐKXĐ của MỌI mẫu thức xuất hiện trong toàn bộ biểu thức — kể cả những mẫu thức chỉ xuất hiện ở bước biến đổi trung gian, không riêng gì mẫu thức ở đề bài gốc.

Biến đổi biểu thức hữu tỉ theo đúng thứ tự đã quen: thực hiện phép tính trong ngoặc trước, rồi đến nhân chia, sau cùng mới cộng trừ. Mỗi bước biến đổi là một phân thức cộng, trừ, nhân, hoặc chia — dùng đúng quy tắc đã học ở ba bài trước. Sau bước cuối, luôn rút gọn kết quả nếu tử và mẫu còn nhân tử chung; nhiều biểu thức trông phức tạp lại rút gọn về một đa thức rất đơn giản, thậm chí một hằng số.

Khi đề bài yêu cầu tính giá trị biểu thức tại $x=a$ , bước đầu tiên — trước cả khi thay số — là kiểm tra $a$ có thỏa ĐKXĐ hay không. Nếu $a$ vi phạm ĐKXĐ, dù $a$ trông như một số "bình thường", biểu thức vẫn không xác định tại đó, và câu trả lời đúng là "không tính được giá trị" chứ không phải một con số. Đây là bẫy hay gặp nhất khi đề cho $x$ dưới dạng nghiệm của một phương trình đơn giản, thay vì cho trực tiếp một số.

Khi đề bài yêu cầu tính giá trị biểu thức tại $x=a$, bước đầu tiên — trước cả khi thay số — là kiểm tra $a$ có thỏa ĐKXĐ hay không. Nếu $a$ vi phạm ĐKXĐ, dù $a$ trông như một số "bình thường", biểu thức vẫn không xác định tại đó, và câu trả lời đúng là "không tính được giá trị" chứ không phải một con số. Đây là bẫy hay gặp nhất khi đề cho $x$ dưới dạng nghiệm của một phương trình đơn giản, thay vì cho trực tiếp một số.

Một điều đáng chú ý: nhiều biểu thức hữu tỉ trông cồng kềnh ở đề bài lại rút gọn về một dạng rất gọn — đôi khi chỉ còn $x$ , hoặc thậm chí một hằng số không còn chứa $x$ nào cả. Đây không phải sự trùng hợp; đề kiểm tra thường cố tình chọn số liệu để phép quy đồng, cộng trừ, nhân chia triệt tiêu gọn gàng, nên nếu tính ra một kết quả vẫn còn dài và rối, em nên kiểm tra lại từng bước thay vì mặc định đó là đáp số cuối cùng.

Một điều đáng chú ý: nhiều biểu thức hữu tỉ trông cồng kềnh ở đề bài lại rút gọn về một dạng rất gọn — đôi khi chỉ còn $x$, hoặc thậm chí một hằng số không còn chứa $x$ nào cả. Đây không phải sự trùng hợp; đề kiểm tra thường cố tình chọn số liệu để phép quy đồng, cộng trừ, nhân chia triệt tiêu gọn gàng, nên nếu tính ra một kết quả vẫn còn dài và rối, em nên kiểm tra lại từng bước thay vì mặc định đó là đáp số cuối cùng.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Rút gọn biểu thức hữu tỉ có ngoặc và phép chia

1
Rút gọn rồi tính giá trị của $Q = \left(\dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x+1}\right) : \dfrac{2}{x^2-1}$ tại $x=3$ .
Rút gọn rồi tính giá trị của $Q = \left(\dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x+1}\right) : \dfrac{2}{x^2-1}$ tại $x=3$.
2
Các mẫu thức xuất hiện là $x-1$ , $x+1$ , $x^2-1=(x-1)(x+1)$ , và tử $2$ của phân thức chia (luôn khác 0). ĐKXĐ: $x \ne 1, x \ne -1$ .
Các mẫu thức xuất hiện là $x-1$, $x+1$, $x^2-1=(x-1)(x+1)$, và tử $2$ của phân thức chia (luôn khác 0). ĐKXĐ: $x \ne 1, x \ne -1$.
3
Quy đồng: $\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x+1} = \dfrac{(x+1)+(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{2x}{x^2-1}$ .
Quy đồng: $\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x+1} = \dfrac{(x+1)+(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{2x}{x^2-1}$.
4
$Q = \dfrac{2x}{x^2-1} : \dfrac{2}{x^2-1} = \dfrac{2x}{x^2-1} \times \dfrac{x^2-1}{2} = \dfrac{2x(x^2-1)}{2(x^2-1)} = x$ .
$Q = \dfrac{2x}{x^2-1} : \dfrac{2}{x^2-1} = \dfrac{2x}{x^2-1} \times \dfrac{x^2-1}{2} = \dfrac{2x(x^2-1)}{2(x^2-1)} = x$.
5
Vậy $Q=x$ với $x \ne 1, x \ne -1$ . Với $x=3$ (TMĐK): $Q=3$ .
Vậy $Q=x$ với $x \ne 1, x \ne -1$. Với $x=3$ (TMĐK): $Q=3$.

Ví dụ

Biểu thức phối hợp trừ và nhân

1
Rút gọn rồi tính giá trị của $R = \left(\dfrac{x}{x-2} - \dfrac{4}{x^2-4}\right) \cdot (x+2)$ tại $x=0$ .
Rút gọn rồi tính giá trị của $R = \left(\dfrac{x}{x-2} - \dfrac{4}{x^2-4}\right) \cdot (x+2)$ tại $x=0$.
2
Mẫu thức $x-2$ và $x^2-4=(x-2)(x+2)$ khác 0 khi $x \ne 2, x \ne -2$ .
Mẫu thức $x-2$ và $x^2-4=(x-2)(x+2)$ khác 0 khi $x \ne 2, x \ne -2$.
3
Quy đồng: $\dfrac{x}{x-2} - \dfrac{4}{x^2-4} = \dfrac{x(x+2)}{x^2-4} - \dfrac{4}{x^2-4} = \dfrac{x^2+2x-4}{x^2-4}$ .
Quy đồng: $\dfrac{x}{x-2} - \dfrac{4}{x^2-4} = \dfrac{x(x+2)}{x^2-4} - \dfrac{4}{x^2-4} = \dfrac{x^2+2x-4}{x^2-4}$.
4
$R = \dfrac{x^2+2x-4}{(x-2)(x+2)} \times (x+2) = \dfrac{(x^2+2x-4)(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{x^2+2x-4}{x-2}$ .
$R = \dfrac{x^2+2x-4}{(x-2)(x+2)} \times (x+2) = \dfrac{(x^2+2x-4)(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{x^2+2x-4}{x-2}$.
5
Với $x=0$ (TMĐK): $R = \dfrac{0+0-4}{0-2} = \dfrac{-4}{-2}=2$ . Vậy tại $x=0$ , giá trị của biểu thức là $R=2$ .
Với $x=0$ (TMĐK): $R = \dfrac{0+0-4}{0-2} = \dfrac{-4}{-2}=2$. Vậy tại $x=0$, giá trị của biểu thức là $R=2$.

Ví dụ

Bẫy khi giá trị cho trước vi phạm ĐKXĐ

1
Cho biểu thức $S = \dfrac{x+1}{x-3}$ . Tính giá trị của $S$ biết $x$ thỏa mãn $2x-6=0$ .
Cho biểu thức $S = \dfrac{x+1}{x-3}$. Tính giá trị của $S$ biết $x$ thỏa mãn $2x-6=0$.
2
Mẫu thức $x-3$ khác 0 khi $x \ne 3$ .
Mẫu thức $x-3$ khác 0 khi $x \ne 3$.
3
Từ $2x-6=0$ , ta có $2x=6$ , suy ra $x=3$ .
Từ $2x-6=0$, ta có $2x=6$, suy ra $x=3$.
4
Giá trị $x=3$ vừa tìm được lại chính là giá trị bị cấm trong ĐKXĐ ( $x \ne 3$ ).
Giá trị $x=3$ vừa tìm được lại chính là giá trị bị cấm trong ĐKXĐ ($x \ne 3$).
5
Vậy không thay $x=3$ vào $S$ được — biểu thức $S$ không xác định tại giá trị này. Đây là lý do phải luôn đối chiếu ĐKXĐ trước khi thay số, kể cả khi $x$ được cho gián tiếp qua một phương trình.
Vậy không thay $x=3$ vào $S$ được — biểu thức $S$ không xác định tại giá trị này. Đây là lý do phải luôn đối chiếu ĐKXĐ trước khi thay số, kể cả khi $x$ được cho gián tiếp qua một phương trình.

Ví dụ

Biểu thức phối hợp trừ và nhân, rút gọn về một hằng số

1
Rút gọn biểu thức $V = \left(\dfrac{2}{x-3} - \dfrac{2}{x+3}\right) \times \dfrac{x^2-9}{12}$ .
Rút gọn biểu thức $V = \left(\dfrac{2}{x-3} - \dfrac{2}{x+3}\right) \times \dfrac{x^2-9}{12}$.
2
Mẫu thức $x-3$ và $x+3$ khác 0 khi $x \ne 3, x \ne -3$ .
Mẫu thức $x-3$ và $x+3$ khác 0 khi $x \ne 3, x \ne -3$.
3
Quy đồng: $\dfrac{2}{x-3} - \dfrac{2}{x+3} = \dfrac{2(x+3)-2(x-3)}{x^2-9} = \dfrac{12}{x^2-9}$ .
Quy đồng: $\dfrac{2}{x-3} - \dfrac{2}{x+3} = \dfrac{2(x+3)-2(x-3)}{x^2-9} = \dfrac{12}{x^2-9}$.
4
$V = \dfrac{12}{x^2-9} \times \dfrac{x^2-9}{12} = \dfrac{12(x^2-9)}{12(x^2-9)} = 1$ .
$V = \dfrac{12}{x^2-9} \times \dfrac{x^2-9}{12} = \dfrac{12(x^2-9)}{12(x^2-9)} = 1$.
5
Vậy $V=1$ với mọi $x \ne 3, x \ne -3$ — biểu thức rút gọn về một hằng số, không còn phụ thuộc vào $x$ nữa.
Vậy $V=1$ với mọi $x \ne 3, x \ne -3$ — biểu thức rút gọn về một hằng số, không còn phụ thuộc vào $x$ nữa.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm nặng nhất ở bài này là thay số ngay khi vừa giải xong phương trình tìm $x$ , không đối chiếu lại ĐKXĐ — như ở ví dụ 3, nếu vội thay $x=3$ vào $S=\dfrac{x+1}{x-3}$ sẽ ra mẫu bằng 0, một phép chia vô nghĩa nhưng không phải ai cũng nhận ra ngay. Sai lầm thứ hai là thực hiện phép tính sai thứ tự — nhân trước khi tính xong trong ngoặc — khiến biểu thức bị biến đổi sai ngay từ bước đầu. Sai lầm thứ ba, khi kết quả rút gọn thành một hằng số như ví dụ $V=1$ trên, có bạn nghi ngờ và cố tính lại theo cách khác rồi làm sai thêm — một hằng số là kết quả hoàn toàn hợp lệ, không phải dấu hiệu làm sai.

Sai lầm nặng nhất ở bài này là thay số ngay khi vừa giải xong phương trình tìm $x$, không đối chiếu lại ĐKXĐ — như ở ví dụ 3, nếu vội thay $x=3$ vào $S=\dfrac{x+1}{x-3}$ sẽ ra mẫu bằng 0, một phép chia vô nghĩa nhưng không phải ai cũng nhận ra ngay. Sai lầm thứ hai là thực hiện phép tính sai thứ tự — nhân trước khi tính xong trong ngoặc — khiến biểu thức bị biến đổi sai ngay từ bước đầu. Sai lầm thứ ba, khi kết quả rút gọn thành một hằng số như ví dụ $V=1$ trên, có bạn nghi ngờ và cố tính lại theo cách khác rồi làm sai thêm — một hằng số là kết quả hoàn toàn hợp lệ, không phải dấu hiệu làm sai.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Biểu thức hữu tỉ biến đổi theo đúng thứ tự trong ngoặc trước, nhân chia rồi cộng trừ, dùng đúng các quy tắc đã học. ĐKXĐ của cả biểu thức là giao ĐKXĐ mọi mẫu thức xuất hiện, và luôn phải đối chiếu trước khi thay số, kể cả khi giá trị đó đến từ một phương trình khác.

Bài ôn tập cuối cùng gom lại cả năm bài — ĐKXĐ, rút gọn, quy đồng, cộng trừ, nhân chia — trong những bài toán tổng hợp giống đề kiểm tra thật.