Bài học

Phân thức đại số và điều kiện xác định

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận biết được một biểu thức có phải là phân thức đại số hay không, và tìm đúng điều kiện xác định (ĐKXĐ) — tập hợp các giá trị của biến làm mẫu thức khác 0.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở lớp 7 em đã học đa thức: cộng, trừ, nhân đa thức, và cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ. Bài này dùng lại đúng những kỹ năng đó, chỉ khác là tử và mẫu của một phân số quen thuộc bây giờ có thể chứa chữ. Em cũng cần nhớ quy tắc chia cho 0: một phép chia chỉ có nghĩa khi số chia khác 0, và quy tắc này giữ nguyên dù mẫu là một số hay một đa thức.

Khởi động

Một lớp có $x$ bạn tham gia hội thao, ban tổ chức chia đều 60 chiếc bánh cho cả lớp, mỗi bạn nhận $\dfrac{60}{x}$ chiếc. Biểu thức này tính được với những giá trị nào của $x$ , và vì sao với $x=0$ thì câu hỏi "chia bánh cho 0 bạn" không có câu trả lời?

Một lớp có $x$ bạn tham gia hội thao, ban tổ chức chia đều 60 chiếc bánh cho cả lớp, mỗi bạn nhận $\dfrac{60}{x}$ chiếc. Biểu thức này tính được với những giá trị nào của $x$, và vì sao với $x=0$ thì câu hỏi "chia bánh cho 0 bạn" không có câu trả lời?

Khái niệm phân thức đại số

Ở tiểu học và lớp 6, em đã quen với phân số dạng $\dfrac{a}{b}$ , trong đó $a, b$ là số nguyên và $b$ khác 0. Phân thức đại số mở rộng đúng ý tưởng này: thay vì hai số, tử và mẫu bây giờ là hai đa thức $A, B$ , viết $\dfrac{A}{B}$ , với điều kiện $B$ là một đa thức khác đa thức 0. Ví dụ $\dfrac{x+1}{x-2}$ , $\dfrac{2x}{x^2-4}$ , hay chính $x$ (một đa thức cũng là một phân thức có mẫu bằng 1) đều là phân thức đại số.

Ở tiểu học và lớp 6, em đã quen với phân số dạng $\dfrac{a}{b}$, trong đó $a, b$ là số nguyên và $b$ khác 0. Phân thức đại số mở rộng đúng ý tưởng này: thay vì hai số, tử và mẫu bây giờ là hai đa thức $A, B$, viết $\dfrac{A}{B}$, với điều kiện $B$ là một đa thức khác đa thức 0. Ví dụ $\dfrac{x+1}{x-2}$, $\dfrac{2x}{x^2-4}$, hay chính $x$ (một đa thức cũng là một phân thức có mẫu bằng 1) đều là phân thức đại số.

Khác với phân số, mẫu của phân thức đại số chứa biến, nên mẫu có thể bằng 0 tại một vài giá trị cụ thể của biến, dù bản thân đa thức $B$ không phải là đa thức 0. Chẳng hạn với $B=x-2$ , đa thức này khác đa thức 0, nhưng khi thay $x=2$ thì $B=0$ . Với phân số như $\dfrac{3}{5}$ , mẫu là một số cố định nên chỉ cần kiểm tra một lần duy nhất là nó khác 0; với phân thức, mẫu thay đổi theo $x$ , nên việc "mẫu khác 0" không còn là một câu hỏi đúng/sai một lần, mà trở thành cả một tập hợp giá trị cần xác định. Vì vậy trước khi làm việc với một phân thức, em luôn phải tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): tập hợp các giá trị của biến để mẫu thức khác 0. Bỏ qua bước này là lỗi bị trừ điểm nhiều nhất khi làm bài phân thức đại số, vì mọi phép biến đổi phía sau — rút gọn, quy đồng, cộng trừ, nhân chia — chỉ có nghĩa trong đúng tập giá trị đó.

Khác với phân số, mẫu của phân thức đại số chứa biến, nên mẫu có thể bằng 0 tại một vài giá trị cụ thể của biến, dù bản thân đa thức $B$ không phải là đa thức 0. Chẳng hạn với $B=x-2$, đa thức này khác đa thức 0, nhưng khi thay $x=2$ thì $B=0$. Với phân số như $\dfrac{3}{5}$, mẫu là một số cố định nên chỉ cần kiểm tra một lần duy nhất là nó khác 0; với phân thức, mẫu thay đổi theo $x$, nên việc "mẫu khác 0" không còn là một câu hỏi đúng/sai một lần, mà trở thành cả một tập hợp giá trị cần xác định. Vì vậy trước khi làm việc với một phân thức, em luôn phải tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): tập hợp các giá trị của biến để mẫu thức khác 0. Bỏ qua bước này là lỗi bị trừ điểm nhiều nhất khi làm bài phân thức đại số, vì mọi phép biến đổi phía sau — rút gọn, quy đồng, cộng trừ, nhân chia — chỉ có nghĩa trong đúng tập giá trị đó.

Muốn tìm ĐKXĐ của phân thức $\dfrac{A}{B}$ , em cho mẫu thức $B$ bằng 0 rồi giải để tìm các giá trị bị cấm. Nếu $B$ là một đa thức bậc nhất như $x-2$ , phương trình $B=0$ giải trực tiếp. Nếu $B$ là một đa thức bậc cao hơn, như $x^2-4$ , em cần phân tích $B$ thành nhân tử trước — đúng kỹ năng đã học ở lớp 7 — rồi cho từng nhân tử bằng 0. ĐKXĐ cuối cùng là: $x$ khác tất cả các giá trị vừa tìm được.

Muốn tìm ĐKXĐ của phân thức $\dfrac{A}{B}$, em cho mẫu thức $B$ bằng 0 rồi giải để tìm các giá trị bị cấm. Nếu $B$ là một đa thức bậc nhất như $x-2$, phương trình $B=0$ giải trực tiếp. Nếu $B$ là một đa thức bậc cao hơn, như $x^2-4$, em cần phân tích $B$ thành nhân tử trước — đúng kỹ năng đã học ở lớp 7 — rồi cho từng nhân tử bằng 0. ĐKXĐ cuối cùng là: $x$ khác tất cả các giá trị vừa tìm được.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tìm ĐKXĐ của một phân thức có mẫu bậc nhất

1
Tìm điều kiện xác định của phân thức $\dfrac{x+1}{x-2}$ .
Tìm điều kiện xác định của phân thức $\dfrac{x+1}{x-2}$.
2
Mẫu thức là $x-2$ . Phân thức xác định khi $x-2 \ne 0$ .
Mẫu thức là $x-2$. Phân thức xác định khi $x-2 \ne 0$.
3
Ta có $x-2 \ne 0 \iff x \ne 2$ .
Ta có $x-2 \ne 0 \iff x \ne 2$.
4
Vậy ĐKXĐ của phân thức là $x \ne 2$ .
Vậy ĐKXĐ của phân thức là $x \ne 2$.

Ví dụ

Tìm ĐKXĐ khi mẫu phải phân tích thành nhân tử

1
Tìm ĐKXĐ của phân thức $\dfrac{2x}{x^2-4}$ .
Tìm ĐKXĐ của phân thức $\dfrac{2x}{x^2-4}$.
2
Mẫu thức $x^2-4$ chưa cho biết ngay giá trị bị cấm. Theo hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, $x^2-4=(x-2)(x+2)$ .
Mẫu thức $x^2-4$ chưa cho biết ngay giá trị bị cấm. Theo hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, $x^2-4=(x-2)(x+2)$.
3
Phân thức xác định khi $(x-2)(x+2) \ne 0$ , tức là $x-2 \ne 0$ và $x+2 \ne 0$ , suy ra $x \ne 2$ và $x \ne -2$ .
Phân thức xác định khi $(x-2)(x+2) \ne 0$, tức là $x-2 \ne 0$ và $x+2 \ne 0$, suy ra $x \ne 2$ và $x \ne -2$.
4
Vậy ĐKXĐ của phân thức là $x \ne 2$ và $x \ne -2$ .
Vậy ĐKXĐ của phân thức là $x \ne 2$ và $x \ne -2$.

Ví dụ

ĐKXĐ trong một bài toán có bối cảnh thực tế

1
Một xưởng may cần $(x^2-x-6)$ mét vải để may đồng phục, chia đều cho $(x-3)$ lớp học. Số vải mỗi lớp nhận được là phân thức $\dfrac{x^2-x-6}{x-3}$ . Tìm ĐKXĐ của phân thức này.
Một xưởng may cần $(x^2-x-6)$ mét vải để may đồng phục, chia đều cho $(x-3)$ lớp học. Số vải mỗi lớp nhận được là phân thức $\dfrac{x^2-x-6}{x-3}$. Tìm ĐKXĐ của phân thức này.
2
Mẫu thức ở đây là $x-3$ , đã ở dạng bậc nhất nên không cần phân tích thêm.
Mẫu thức ở đây là $x-3$, đã ở dạng bậc nhất nên không cần phân tích thêm.
3
Phân thức xác định khi $x-3 \ne 0$ , tức là $x \ne 3$ .
Phân thức xác định khi $x-3 \ne 0$, tức là $x \ne 3$.
4
Vậy ĐKXĐ là $x \ne 3$ . Ràng buộc này chỉ là điều kiện toán học của riêng phân thức; trên thực tế $x$ còn phải là số lớp học nguyên dương, một ràng buộc khác của đề bài.
Vậy ĐKXĐ là $x \ne 3$. Ràng buộc này chỉ là điều kiện toán học của riêng phân thức; trên thực tế $x$ còn phải là số lớp học nguyên dương, một ràng buộc khác của đề bài.

Ví dụ

Tìm ĐKXĐ khi mẫu là tích của ba nhân tử

1
Tìm ĐKXĐ của phân thức $\dfrac{3}{x^3-x}$ .
Tìm ĐKXĐ của phân thức $\dfrac{3}{x^3-x}$.
2
Mẫu thức $x^3-x$ trước hết đặt nhân tử chung $x$ : $x^3-x = x(x^2-1)$ . Sau đó $x^2-1$ tiếp tục phân tích theo hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $x^2-1=(x-1)(x+1)$ . Vậy $x^3-x = x(x-1)(x+1)$ — một mẫu thức có thể cần phân tích qua nhiều bước, không chỉ một lần.
Mẫu thức $x^3-x$ trước hết đặt nhân tử chung $x$: $x^3-x = x(x^2-1)$. Sau đó $x^2-1$ tiếp tục phân tích theo hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Vậy $x^3-x = x(x-1)(x+1)$ — một mẫu thức có thể cần phân tích qua nhiều bước, không chỉ một lần.
3
Phân thức xác định khi $x(x-1)(x+1) \ne 0$ , tức là cả ba nhân tử đều khác 0: $x \ne 0$ , $x \ne 1$ , $x \ne -1$ .
Phân thức xác định khi $x(x-1)(x+1) \ne 0$, tức là cả ba nhân tử đều khác 0: $x \ne 0$, $x \ne 1$, $x \ne -1$.
4
Vậy ĐKXĐ của phân thức là $x \ne 0$ , $x \ne 1$ và $x \ne -1$ .
Vậy ĐKXĐ của phân thức là $x \ne 0$, $x \ne 1$ và $x \ne -1$.

Sai lầm thường gặp

Một lỗi phổ biến là chỉ nhìn tử thức mà quên xét mẫu thức, hoặc cho cả biểu thức bằng 0 thay vì chỉ riêng mẫu thức bằng 0. Lỗi thứ hai gặp nhiều hơn ở phân thức có mẫu bậc cao: học sinh cho $x^2-4=0$ rồi kết luận vội $x \ne 4$ , quên phải phân tích $x^2-4=(x-2)(x+2)$ trước khi tìm đủ cả hai giá trị bị cấm là $x=2$ và $x=-2$ . ĐKXĐ luôn phải liệt kê đầy đủ mọi nghiệm của mẫu thức, không được bỏ sót nghiệm nào. Lỗi thứ ba, như ở ví dụ $x^3-x$ trên, là dừng phân tích quá sớm — đặt được nhân tử chung $x$ rồi quên nhìn lại phần còn lại $x^2-1$ vẫn còn phân tích được tiếp, bỏ sót mất một giá trị bị cấm.

Một lỗi phổ biến là chỉ nhìn tử thức mà quên xét mẫu thức, hoặc cho cả biểu thức bằng 0 thay vì chỉ riêng mẫu thức bằng 0. Lỗi thứ hai gặp nhiều hơn ở phân thức có mẫu bậc cao: học sinh cho $x^2-4=0$ rồi kết luận vội $x \ne 4$, quên phải phân tích $x^2-4=(x-2)(x+2)$ trước khi tìm đủ cả hai giá trị bị cấm là $x=2$ và $x=-2$. ĐKXĐ luôn phải liệt kê đầy đủ mọi nghiệm của mẫu thức, không được bỏ sót nghiệm nào. Lỗi thứ ba, như ở ví dụ $x^3-x$ trên, là dừng phân tích quá sớm — đặt được nhân tử chung $x$ rồi quên nhìn lại phần còn lại $x^2-1$ vẫn còn phân tích được tiếp, bỏ sót mất một giá trị bị cấm.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Phân thức đại số là $\dfrac{A}{B}$ với $A, B$ là đa thức và $B$ khác đa thức 0. ĐKXĐ là tập giá trị của biến làm mẫu thức khác 0, tìm bằng cách cho mẫu bằng 0, phân tích nhân tử nếu cần, rồi loại các nghiệm đó ra khỏi tập giá trị của biến.

Bài tiếp theo dùng đúng ĐKXĐ vừa tìm được để rút gọn phân thức — và ĐKXĐ đó phải luôn đi kèm với kết quả rút gọn.