Bài học

Ôn tập tổng hợp: Phân thức đại số

Mục tiêu bài học

Bài ôn tập này không có kiến thức mới — em vận dụng phối hợp mọi kỹ năng đã học về phân thức đại số để giải các bài toán tổng hợp, đúng dạng một đề kiểm tra.

Kiến thức nền cần nhớ

Sáu bài trước đã trang bị cho em đủ bộ công cụ: tìm ĐKXĐ (Chương 1), rút gọn bằng tính chất cơ bản (Chương 2), quy đồng mẫu thức (Chương 3), cộng trừ (Chương 4), nhân chia (Chương 5), và biến đổi biểu thức hữu tỉ nhiều bước (Chương 6). Một đề kiểm tra chương phân thức đại số thường yêu cầu phối hợp ít nhất ba trong sáu kỹ năng này trong cùng một câu hỏi.

Khởi động

Một đề kiểm tra giữa kì thường cho một biểu thức nhìn có vẻ dài, gồm hai hoặc ba phân thức cộng trừ với nhau, rồi hỏi: tìm ĐKXĐ, rút gọn, và tính giá trị tại một số cho trước. Ba yêu cầu đó chính là ba bài học đầu tiên của chương này, ghép lại thành một câu hỏi duy nhất.

Quy trình giải một bài toán tổng hợp

Khi gặp một biểu thức tổng hợp, em làm theo đúng trình tự đã luyện suốt chương: liệt kê mọi mẫu thức xuất hiện để tìm ĐKXĐ chung, biến đổi biểu thức theo thứ tự trong ngoặc trước — dùng quy đồng khi cộng trừ khác mẫu, dùng nhân với nghịch đảo khi gặp phép chia — rồi rút gọn kết quả bằng cách phân tích nhân tử. Cuối cùng, nếu đề yêu cầu tính giá trị, luôn đối chiếu với ĐKXĐ trước khi thay số.

Ba ví dụ dưới đây được chọn để ôn đủ ba dạng bài hay gặp nhất trên đề kiểm tra chương: một bài phối hợp quy đồng và cộng trừ (dùng lại Chương 3, 4), một bài phối hợp nhân và rút gọn (dùng lại Chương 2, 5), và một bài phối hợp chia với bối cảnh thực tế — không có kỹ thuật nào mới, chỉ là cách sáu chương trước được kết hợp lại trong một câu hỏi duy nhất.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Bài toán tổng hợp: quy đồng, cộng trừ rồi rút gọn

1
Rút gọn rồi tính giá trị của $B = \dfrac{2}{x-2} + \dfrac{2}{x+2} - \dfrac{8}{x^2-4}$ tại $x=6$ .
Rút gọn rồi tính giá trị của $B = \dfrac{2}{x-2} + \dfrac{2}{x+2} - \dfrac{8}{x^2-4}$ tại $x=6$.
2
Mẫu thức $x-2$ , $x+2$ , $x^2-4=(x-2)(x+2)$ khác 0 khi $x \ne 2, x \ne -2$ .
Mẫu thức $x-2$, $x+2$, $x^2-4=(x-2)(x+2)$ khác 0 khi $x \ne 2, x \ne -2$.
3
MTC $=(x-2)(x+2)=x^2-4$ . Quy đồng: $\dfrac{2}{x-2}=\dfrac{2x+4}{x^2-4}$ , $\dfrac{2}{x+2}=\dfrac{2x-4}{x^2-4}$ . Cộng rồi trừ: $\dfrac{(2x+4)+(2x-4)-8}{x^2-4} = \dfrac{4x-8}{x^2-4}$ .
MTC $=(x-2)(x+2)=x^2-4$. Quy đồng: $\dfrac{2}{x-2}=\dfrac{2x+4}{x^2-4}$, $\dfrac{2}{x+2}=\dfrac{2x-4}{x^2-4}$. Cộng rồi trừ: $\dfrac{(2x+4)+(2x-4)-8}{x^2-4} = \dfrac{4x-8}{x^2-4}$.
4
Vì $4x-8=4(x-2)$ và $x^2-4=(x-2)(x+2)$ , ta rút gọn $\dfrac{4(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{4}{x+2}$ .
Vì $4x-8=4(x-2)$ và $x^2-4=(x-2)(x+2)$, ta rút gọn $\dfrac{4(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{4}{x+2}$.
5
Vậy $B=\dfrac{4}{x+2}$ với $x \ne 2, x \ne -2$ . Với $x=6$ (TMĐK): $B=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$ .
Vậy $B=\dfrac{4}{x+2}$ với $x \ne 2, x \ne -2$. Với $x=6$ (TMĐK): $B=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$.

Ví dụ

Bài toán tổng hợp: nhân, rút gọn rồi tính giá trị

1
Rút gọn rồi tính giá trị của $C = \dfrac{x^2-1}{x^2-6x+9} \times \dfrac{x-3}{x+1}$ tại $x=5$ .
Rút gọn rồi tính giá trị của $C = \dfrac{x^2-1}{x^2-6x+9} \times \dfrac{x-3}{x+1}$ tại $x=5$.
2
Phân tích $x^2-1=(x-1)(x+1)$ và $x^2-6x+9=(x-3)^2$ (hằng đẳng thức bình phương một hiệu). Cần $x \ne 3$ (từ $(x-3)^2$ ) và $x \ne -1$ (từ $x+1$ ).
Phân tích $x^2-1=(x-1)(x+1)$ và $x^2-6x+9=(x-3)^2$ (hằng đẳng thức bình phương một hiệu). Cần $x \ne 3$ (từ $(x-3)^2$) và $x \ne -1$ (từ $x+1$).
3
$C = \dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-3)^2} \times \dfrac{x-3}{x+1} = \dfrac{(x-1)(x+1)(x-3)}{(x-3)^2(x+1)}$ , rút gọn $(x+1)$ và một thừa số $(x-3)$ : $C = \dfrac{x-1}{x-3}$ .
$C = \dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-3)^2} \times \dfrac{x-3}{x+1} = \dfrac{(x-1)(x+1)(x-3)}{(x-3)^2(x+1)}$, rút gọn $(x+1)$ và một thừa số $(x-3)$: $C = \dfrac{x-1}{x-3}$.
4
Với $x=5$ (TMĐK vì $5 \ne 3, 5 \ne -1$ ): $C = \dfrac{5-1}{5-3} = \dfrac{4}{2}=2$ . Vậy $C=\dfrac{x-1}{x-3}$ , và tại $x=5$ thì $C=2$ .
Với $x=5$ (TMĐK vì $5 \ne 3, 5 \ne -1$): $C = \dfrac{5-1}{5-3} = \dfrac{4}{2}=2$. Vậy $C=\dfrac{x-1}{x-3}$, và tại $x=5$ thì $C=2$.

Ví dụ

Bài toán tổng hợp có bối cảnh thực tế

1
Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích $(x^2-9)$ m² và chiều rộng $(x-3)$ m, nên chiều dài là $D=\dfrac{x^2-9}{x-3}$ . Mảnh đất thứ hai dài hơn mảnh đất này thêm $\dfrac{6}{x-3}$ mét. Tính chiều dài mảnh đất thứ hai khi $x=8$ .
Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích $(x^2-9)$ m² và chiều rộng $(x-3)$ m, nên chiều dài là $D=\dfrac{x^2-9}{x-3}$. Mảnh đất thứ hai dài hơn mảnh đất này thêm $\dfrac{6}{x-3}$ mét. Tính chiều dài mảnh đất thứ hai khi $x=8$.
2
Mẫu thức $x-3$ khác 0 khi $x \ne 3$ . Vì $x^2-9=(x-3)(x+3)$ , ta có $D = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3$ .
Mẫu thức $x-3$ khác 0 khi $x \ne 3$. Vì $x^2-9=(x-3)(x+3)$, ta có $D = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3$.
3
Chiều dài mảnh đất thứ hai là $E = D + \dfrac{6}{x-3} = (x+3) + \dfrac{6}{x-3}$ , với cùng ĐKXĐ $x \ne 3$ .
Chiều dài mảnh đất thứ hai là $E = D + \dfrac{6}{x-3} = (x+3) + \dfrac{6}{x-3}$, với cùng ĐKXĐ $x \ne 3$.
4
Với $x=8$ (TMĐK vì $8 \ne 3$ ): $E = (8+3) + \dfrac{6}{8-3} = 11 + \dfrac{6}{5}$ .
Với $x=8$ (TMĐK vì $8 \ne 3$): $E = (8+3) + \dfrac{6}{8-3} = 11 + \dfrac{6}{5}$.
5
Vậy $E = 11 + 1{,}2 = 12{,}2$ (mét).
Vậy $E = 11 + 1{,}2 = 12{,}2$ (mét).

Ví dụ

Bài toán tổng hợp: chia rồi rút gọn

1
Rút gọn rồi tính giá trị của $G = \dfrac{x^2-1}{x^2-4} \div \dfrac{x+1}{x-2}$ tại $x=7$ .
Rút gọn rồi tính giá trị của $G = \dfrac{x^2-1}{x^2-4} \div \dfrac{x+1}{x-2}$ tại $x=7$.
2
Phân tích $x^2-1=(x-1)(x+1)$ , $x^2-4=(x-2)(x+2)$ . Cần $x \ne 2, x \ne -2$ (từ $x^2-4$ ) và $x \ne -1$ (tử của phân thức chia).
Phân tích $x^2-1=(x-1)(x+1)$, $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Cần $x \ne 2, x \ne -2$ (từ $x^2-4$) và $x \ne -1$ (tử của phân thức chia).
3
$G = \dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)} \times \dfrac{x-2}{x+1} = \dfrac{(x-1)(x+1)(x-2)}{(x-2)(x+2)(x+1)}$ , rút gọn $(x+1)$ và $(x-2)$ : $G = \dfrac{x-1}{x+2}$ .
$G = \dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)} \times \dfrac{x-2}{x+1} = \dfrac{(x-1)(x+1)(x-2)}{(x-2)(x+2)(x+1)}$, rút gọn $(x+1)$ và $(x-2)$: $G = \dfrac{x-1}{x+2}$.
4
Với $x=7$ (TMĐK vì $7 \notin \{2,-2,-1\}$ ): $G = \dfrac{7-1}{7+2} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ . Vậy $G=\dfrac{x-1}{x+2}$ , và tại $x=7$ thì $G=\dfrac{2}{3}$ .
Với $x=7$ (TMĐK vì $7 \notin \{2,-2,-1\}$): $G = \dfrac{7-1}{7+2} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$. Vậy $G=\dfrac{x-1}{x+2}$, và tại $x=7$ thì $G=\dfrac{2}{3}$.

Mẹo tự kiểm tra khi làm đề

Với bài toán tổng hợp nhiều bước, em nên tự kiểm tra bằng cách thay một giá trị số cụ thể (thỏa ĐKXĐ, khác giá trị đề yêu cầu) vào cả biểu thức gốc lẫn kết quả đã rút gọn — hai bên phải cho cùng một số, như đã luyện ở Chương 4. Cách này không thay thế được việc trình bày từng bước, nhưng giúp em tự phát hiện lỗi tính toán trước khi nộp bài, đặc biệt với những biểu thức phối hợp ba, bốn phép tính như trong chương này.

Sai lầm thường gặp

Trong đề kiểm tra tổng hợp, sai lầm phổ biến nhất vẫn là quên nêu ĐKXĐ ngay từ câu đầu tiên, dẫn đến các câu sau — rút gọn, tính giá trị — đều thiếu căn cứ để loại nghiệm. Sai lầm thứ hai là làm tắt nhiều bước biến đổi liền một lúc, dễ nhầm dấu hoặc bỏ sót nhân tử — nên trình bày từng bước rõ ràng như trong SGK, dù bài có gấp đến đâu. Sai lầm thứ ba, đặc trưng của bài toán phối hợp phép chia như ví dụ trên, là quên điều kiện riêng của phép chia — tử của phân thức chia cũng phải khác 0 — nên bỏ sót mất giá trị $x=-1$ trong ĐKXĐ.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Ôn tập chương phân thức đại số là luyện lại đúng bốn kỹ năng: tìm ĐKXĐ, rút gọn, quy đồng để cộng trừ, và nhân chia — phối hợp trong một bài toán, luôn đối chiếu ĐKXĐ ở bước cuối cùng trước khi kết luận.

Ba ví dụ tổng hợp ở trên không phải bài mẫu để học thuộc, mà là khuôn dạng: đề kiểm tra thật chỉ đổi số liệu, còn cấu trúc bài — tìm ĐKXĐ, biến đổi, rút gọn, tính giá trị có kiểm tra ĐKXĐ — giữ nguyên như bốn bước trong sơ đồ ở trên.

Kỹ năng ĐKXĐ và biến đổi phân thức ở chương này sẽ quay lại ngay trong chương phương trình chứa ẩn ở mẫu — nơi ĐKXĐ quyết định nghiệm nào của phương trình được chấp nhận.