Bài học

Nhân và chia phân thức đại số

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhân và chia được hai phân thức, biết rút gọn trước khi nhân để bài làm gọn hơn, và biết chuyển phép chia thành phép nhân với phân thức nghịch đảo.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này dùng lại kỹ năng phân tích nhân tử và rút gọn của các bài trước, áp dụng theo một quy tắc mới — nhân và chia không cần quy đồng mẫu như cộng trừ.

Khởi động

Với phân số, $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{15}$ — nhân tử với tử, mẫu với mẫu, không cần mẫu số chung. Với phân thức $\dfrac{x}{x+1} \times \dfrac{x+1}{x-2}$ , quy tắc nhân có giữ nguyên như vậy không, và vì sao kết quả có thể gọn hơn nhiều so với vẻ ngoài phức tạp của đề bài?

Với phân số, $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{15}$ — nhân tử với tử, mẫu với mẫu, không cần mẫu số chung. Với phân thức $\dfrac{x}{x+1} \times \dfrac{x+1}{x-2}$, quy tắc nhân có giữ nguyên như vậy không, và vì sao kết quả có thể gọn hơn nhiều so với vẻ ngoài phức tạp của đề bài?

Quy tắc nhân và chia phân thức

Nhân hai phân thức thực hiện đúng như nhân hai phân số: nhân tử với tử, nhân mẫu với mẫu. Với $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{C}{D}$ ( $B, D$ khác 0): $\dfrac{A}{B} \times \dfrac{C}{D} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot D}$ . Trước khi nhân trực tiếp, em nên phân tích nhân tử và rút gọn các nhân tử chung giữa tử của phân thức này với mẫu của phân thức kia — làm vậy tránh phải khai triển một đa thức lớn rồi mới rút gọn.

Nhân hai phân thức thực hiện đúng như nhân hai phân số: nhân tử với tử, nhân mẫu với mẫu. Với $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{C}{D}$ ($B, D$ khác 0): $\dfrac{A}{B} \times \dfrac{C}{D} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot D}$. Trước khi nhân trực tiếp, em nên phân tích nhân tử và rút gọn các nhân tử chung giữa tử của phân thức này với mẫu của phân thức kia — làm vậy tránh phải khai triển một đa thức lớn rồi mới rút gọn.

Chia một phân thức cho một phân thức khác 0 là nhân phân thức bị chia với phân thức nghịch đảo của phân thức chia — nghịch đảo của $\dfrac{C}{D}$ là $\dfrac{D}{C}$ . Vậy $\dfrac{A}{B} \div \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \times \dfrac{D}{C} = \dfrac{A \cdot D}{B \cdot C}$ .

Chia một phân thức cho một phân thức khác 0 là nhân phân thức bị chia với phân thức nghịch đảo của phân thức chia — nghịch đảo của $\dfrac{C}{D}$ là $\dfrac{D}{C}$. Vậy $\dfrac{A}{B} \div \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \times \dfrac{D}{C} = \dfrac{A \cdot D}{B \cdot C}$.

ĐKXĐ của phép chia rộng hơn phép nhân một chút: ngoài $B \ne 0$ và $D \ne 0$ để hai phân thức ban đầu có nghĩa, phân thức chia $\dfrac{C}{D}$ còn phải khác 0 thì mới lật ngược thành $\dfrac{D}{C}$ được — tức là cần thêm điều kiện $C \ne 0$ . Bỏ sót điều kiện này là lỗi ĐKXĐ đặc trưng của riêng phép chia phân thức, không xuất hiện ở phép nhân.

ĐKXĐ của phép chia rộng hơn phép nhân một chút: ngoài $B \ne 0$ và $D \ne 0$ để hai phân thức ban đầu có nghĩa, phân thức chia $\dfrac{C}{D}$ còn phải khác 0 thì mới lật ngược thành $\dfrac{D}{C}$ được — tức là cần thêm điều kiện $C \ne 0$. Bỏ sót điều kiện này là lỗi ĐKXĐ đặc trưng của riêng phép chia phân thức, không xuất hiện ở phép nhân.

Một điều thú vị của phép chia phân thức: kết quả không phải lúc nào cũng còn là một phân thức có mẫu khác 1 — nếu tử và mẫu triệt tiêu hết cho nhau, kết quả có thể là một đa thức thuần túy. Nhắc lại từ bài đầu chương, một đa thức cũng chính là một phân thức có mẫu bằng 1, nên đây không phải trường hợp đặc biệt mà là một kết quả hoàn toàn bình thường.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Nhân hai phân thức có nhân tử chung

1
Tính $\dfrac{x}{x+2} \times \dfrac{x+2}{x-1}$ .
Tính $\dfrac{x}{x+2} \times \dfrac{x+2}{x-1}$.
2
Cần $x+2 \ne 0$ và $x-1 \ne 0$ , tức $x \ne -2$ và $x \ne 1$ .
Cần $x+2 \ne 0$ và $x-1 \ne 0$, tức $x \ne -2$ và $x \ne 1$.
3
$\dfrac{x}{x+2} \times \dfrac{x+2}{x-1} = \dfrac{x(x+2)}{(x+2)(x-1)}$ , rút gọn nhân tử chung $(x+2)$ : $= \dfrac{x}{x-1}$ .
$\dfrac{x}{x+2} \times \dfrac{x+2}{x-1} = \dfrac{x(x+2)}{(x+2)(x-1)}$, rút gọn nhân tử chung $(x+2)$: $= \dfrac{x}{x-1}$.
4
Vậy $\dfrac{x}{x+2} \times \dfrac{x+2}{x-1} = \dfrac{x}{x-1}$ với $x \ne -2, x \ne 1$ .
Vậy $\dfrac{x}{x+2} \times \dfrac{x+2}{x-1} = \dfrac{x}{x-1}$ với $x \ne -2, x \ne 1$.

Ví dụ

Chia hai phân thức có mẫu chung

1
Tính $\dfrac{3x}{x-4} \div \dfrac{6x^2}{x-4}$ .
Tính $\dfrac{3x}{x-4} \div \dfrac{6x^2}{x-4}$.
2
Cần $x-4 \ne 0$ (cho cả hai mẫu) và $6x^2 \ne 0$ (tử của phân thức chia), tức $x \ne 4$ và $x \ne 0$ .
Cần $x-4 \ne 0$ (cho cả hai mẫu) và $6x^2 \ne 0$ (tử của phân thức chia), tức $x \ne 4$ và $x \ne 0$.
3
$\dfrac{3x}{x-4} \div \dfrac{6x^2}{x-4} = \dfrac{3x}{x-4} \times \dfrac{x-4}{6x^2} = \dfrac{3x(x-4)}{6x^2(x-4)}$ , rút gọn $(x-4)$ và $3x$ : $= \dfrac{1}{2x}$ .
$\dfrac{3x}{x-4} \div \dfrac{6x^2}{x-4} = \dfrac{3x}{x-4} \times \dfrac{x-4}{6x^2} = \dfrac{3x(x-4)}{6x^2(x-4)}$, rút gọn $(x-4)$ và $3x$: $= \dfrac{1}{2x}$.
4
Vậy $\dfrac{3x}{x-4} \div \dfrac{6x^2}{x-4} = \dfrac{1}{2x}$ với $x \ne 4, x \ne 0$ .
Vậy $\dfrac{3x}{x-4} \div \dfrac{6x^2}{x-4} = \dfrac{1}{2x}$ với $x \ne 4, x \ne 0$.

Ví dụ

Rút gọn tích hai phân thức rồi tính giá trị

1
Rút gọn rồi tính giá trị của $P = \dfrac{x^2-9}{x^2-4} \times \dfrac{x-2}{x+3}$ tại $x=5$ .
Rút gọn rồi tính giá trị của $P = \dfrac{x^2-9}{x^2-4} \times \dfrac{x-2}{x+3}$ tại $x=5$.
2
Phân tích $x^2-9=(x-3)(x+3)$ và $x^2-4=(x-2)(x+2)$ . Cần $x \ne 2, x \ne -2$ (từ $x^2-4$ ) và $x \ne -3$ (từ $x+3$ ).
Phân tích $x^2-9=(x-3)(x+3)$ và $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Cần $x \ne 2, x \ne -2$ (từ $x^2-4$) và $x \ne -3$ (từ $x+3$).
3
$P = \dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)} \times \dfrac{x-2}{x+3} = \dfrac{(x-3)(x+3)(x-2)}{(x-2)(x+2)(x+3)}$ , rút gọn $(x-2)$ và $(x+3)$ : $P = \dfrac{x-3}{x+2}$ .
$P = \dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)} \times \dfrac{x-2}{x+3} = \dfrac{(x-3)(x+3)(x-2)}{(x-2)(x+2)(x+3)}$, rút gọn $(x-2)$ và $(x+3)$: $P = \dfrac{x-3}{x+2}$.
4
Với $x=5$ (TMĐK vì $5 \notin \{2,-2,-3\}$ ): $P = \dfrac{5-3}{5+2} = \dfrac{2}{7}$ . Vậy $P = \dfrac{x-3}{x+2}$ , và tại $x=5$ thì $P=\dfrac{2}{7}$ .
Với $x=5$ (TMĐK vì $5 \notin \{2,-2,-3\}$): $P = \dfrac{5-3}{5+2} = \dfrac{2}{7}$. Vậy $P = \dfrac{x-3}{x+2}$, và tại $x=5$ thì $P=\dfrac{2}{7}$.

Ví dụ

Chia phân thức cho kết quả là một đa thức

1
Tính $\dfrac{x^2-9}{x+1} \div \dfrac{x+3}{x^2-1}$ .
Tính $\dfrac{x^2-9}{x+1} \div \dfrac{x+3}{x^2-1}$.
2
Cần $x+1 \ne 0$ , $x^2-1 \ne 0$ (tức $x \ne 1, x \ne -1$ ), và $x+3 \ne 0$ (tử của phân thức chia). Vậy $x \ne -1, x \ne 1, x \ne -3$ .
Cần $x+1 \ne 0$, $x^2-1 \ne 0$ (tức $x \ne 1, x \ne -1$), và $x+3 \ne 0$ (tử của phân thức chia). Vậy $x \ne -1, x \ne 1, x \ne -3$.
3
$\dfrac{x^2-9}{x+1} \div \dfrac{x+3}{x^2-1} = \dfrac{x^2-9}{x+1} \times \dfrac{x^2-1}{x+3}$ . Phân tích: $x^2-9=(x-3)(x+3)$ , $x^2-1=(x-1)(x+1)$ .
$\dfrac{x^2-9}{x+1} \div \dfrac{x+3}{x^2-1} = \dfrac{x^2-9}{x+1} \times \dfrac{x^2-1}{x+3}$. Phân tích: $x^2-9=(x-3)(x+3)$, $x^2-1=(x-1)(x+1)$.
4
$\dfrac{(x-3)(x+3)(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+3)}$ , rút gọn $(x+3)$ và $(x+1)$ : $= (x-3)(x-1)$ .
$\dfrac{(x-3)(x+3)(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+3)}$, rút gọn $(x+3)$ và $(x+1)$: $= (x-3)(x-1)$.
5
Vậy $\dfrac{x^2-9}{x+1} \div \dfrac{x+3}{x^2-1} = (x-3)(x-1) = x^2-4x+3$ , với $x \ne -1, x \ne 1, x \ne -3$ — kết quả là một đa thức, không còn mẫu thức nào.
Vậy $\dfrac{x^2-9}{x+1} \div \dfrac{x+3}{x^2-1} = (x-3)(x-1) = x^2-4x+3$, với $x \ne -1, x \ne 1, x \ne -3$ — kết quả là một đa thức, không còn mẫu thức nào.

Mẹo tự kiểm tra

Muốn kiểm tra kết quả phép chia, em nhân kết quả vừa tìm được với phân thức chia — phải ra đúng phân thức bị chia ban đầu. Ở ví dụ 2, kết quả $\dfrac{1}{2x}$ nhân với phân thức chia $\dfrac{6x^2}{x-4}$ được $\dfrac{6x^2}{2x(x-4)} = \dfrac{3x}{x-4}$ — đúng bằng phân thức bị chia $\dfrac{3x}{x-4}$ lúc đầu, nên kết quả đáng tin.

Sai lầm thường gặp

Lỗi thường gặp nhất là quên thêm điều kiện tử của phân thức CHIA khác 0 — chỉ xét mẫu của cả hai phân thức mà bỏ sót $C \ne 0$ khi chia cho $\dfrac{C}{D}$ . Lỗi thứ hai là nhân trực tiếp tử với tử, mẫu với mẫu trước rồi mới rút gọn, khiến đa thức phình to không cần thiết — nên phân tích nhân tử và rút gọn ngay trước khi nhân, như các ví dụ trên. Lỗi thứ ba là khi kết quả rút gọn thành một đa thức như ví dụ trên, nhiều bạn quên mất ĐKXĐ vẫn phải giữ nguyên — $x^2-4x+3$ trông như xác định với mọi $x$ , nhưng ba giá trị $x=-1, x=1, x=-3$ vẫn bị cấm vì chúng đến từ các mẫu thức gốc trước khi rút gọn.

Lỗi thường gặp nhất là quên thêm điều kiện tử của phân thức CHIA khác 0 — chỉ xét mẫu của cả hai phân thức mà bỏ sót $C \ne 0$ khi chia cho $\dfrac{C}{D}$. Lỗi thứ hai là nhân trực tiếp tử với tử, mẫu với mẫu trước rồi mới rút gọn, khiến đa thức phình to không cần thiết — nên phân tích nhân tử và rút gọn ngay trước khi nhân, như các ví dụ trên. Lỗi thứ ba là khi kết quả rút gọn thành một đa thức như ví dụ trên, nhiều bạn quên mất ĐKXĐ vẫn phải giữ nguyên — $x^2-4x+3$ trông như xác định với mọi $x$, nhưng ba giá trị $x=-1, x=1, x=-3$ vẫn bị cấm vì chúng đến từ các mẫu thức gốc trước khi rút gọn.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Nhân phân thức: nhân tử với tử, mẫu với mẫu, rút gọn trước cho gọn. Chia phân thức: nhân với phân thức nghịch đảo, nhớ thêm điều kiện tử của phân thức chia khác 0.

So với cộng trừ, nhân chia phân thức thường cho bài làm ngắn gọn hơn hẳn nếu em rút gọn sớm — đây là lý do phần lớn đề thi đặt câu nhân chia sau câu cộng trừ, xem như một cách kiểm tra riêng kỹ năng phân tích nhân tử của học sinh.

Bài tiếp theo phối hợp cả bốn phép tính trong một biểu thức hữu tỉ nhiều bước, và luyện tính giá trị biểu thức đó tại một giá trị cho trước.