Bài học

Xác suất thực nghiệm và mối liên hệ với xác suất lí thuyết

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được xác suất thực nghiệm từ số liệu một loạt phép thử, và giải thích được vì sao xác suất thực nghiệm có xu hướng tiến gần xác suất lí thuyết khi số lần thử càng lớn.

Kiến thức nền cần nhớ

Em vừa học xác suất lí thuyết: một con số cố định tính từ cấu tạo phép thử, không cần thử nghiệm. Trước đó, ở lớp 6, lớp 7, em cũng đã học một cách tính xác suất khác — xác suất thực nghiệm — bằng tỉ số giữa số lần biến cố xảy ra và tổng số lần thử thật. Hai con số này, tính theo hai cách hoàn toàn khác nhau, có nhất thiết phải bằng nhau không?

Long tung một đồng xu 10 lần, được 7 lần mặt sấp. Cậu kết luận: "xác suất ra mặt sấp là 70%, cao hơn hẳn 50% mà sách nói". Long tung thêm 90 lần nữa, gộp đủ 100 lần, và lần này đếm được 52 lần sấp. Kết luận nào của Long đáng tin hơn — kết luận sau 10 lần, hay kết luận sau 100 lần?

Kiến thức trọng tâm

Xác suất thực nghiệm của một biến cố $A$ sau $n$ lần thử là tỉ số giữa số lần $A$ thực sự xảy ra và $n$ : $P_{\text{thực nghiệm}}(A)=\dfrac{\text{số lần }A\text{ xảy ra}}{n}$ . Khác với xác suất lí thuyết $P(A)$ — một con số cố định không đổi — xác suất thực nghiệm phụ thuộc vào chính loạt thử nghiệm đã làm, nên mỗi lần lặp lại thí nghiệm có thể cho một kết quả hơi khác nhau.

Xác suất thực nghiệm của một biến cố $A$ sau $n$ lần thử là tỉ số giữa số lần $A$ thực sự xảy ra và $n$: $P_{\text{thực nghiệm}}(A)=\dfrac{\text{số lần }A\text{ xảy ra}}{n}$. Khác với xác suất lí thuyết $P(A)$ — một con số cố định không đổi — xác suất thực nghiệm phụ thuộc vào chính loạt thử nghiệm đã làm, nên mỗi lần lặp lại thí nghiệm có thể cho một kết quả hơi khác nhau.

Khi số lần thử $n$ còn nhỏ, xác suất thực nghiệm có thể lệch khá xa xác suất lí thuyết, đơn giản vì may rủi của một số ít lần thử chưa đủ để "trung hoà" lẫn nhau — 10 lần tung đồng xu ra 7 lần sấp không có gì lạ. Nhưng khi $n$ càng lớn, những lần may rủi ngẫu nhiên đó có xu hướng bù trừ cho nhau, và xác suất thực nghiệm càng tiến gần xác suất lí thuyết. Đây chính là mối liên hệ quan trọng nhất giữa hai loại xác suất: chúng không phải hai con số tách biệt, mà xác suất thực nghiệm là một ước lượng, càng nhiều dữ liệu càng đáng tin, và càng tiến gần con số lí thuyết cố định.

Mối liên hệ này giải thích vì sao trong thực tế, những nơi không thể tính trực tiếp xác suất lí thuyết — nhà máy sản xuất kiểm tra tỉ lệ sản phẩm lỗi, công ty bảo hiểm ước lượng khả năng xảy ra tai nạn — đều dựa vào xác suất thực nghiệm từ rất nhiều lần quan sát thay vì từ vài chục lần. Số lần quan sát càng lớn, con số ước lượng càng gần với xác suất thật của hiện tượng.

Xác suất thực nghiệm tiến gần xác suất lí thuyết 0,5 khi số lần tung tăng dần

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính xác suất thực nghiệm từ bảng tần số gieo xúc xắc

1
Gieo một con xúc xắc 60 lần, kết quả ghi lại: mặt 1 ra 8 lần, mặt 2 ra 11 lần, mặt 3 ra 9 lần, mặt 4 ra 12 lần, mặt 5 ra 10 lần, mặt 6 ra 10 lần. Tính xác suất thực nghiệm của biến cố "xuất hiện mặt 6 chấm", và so sánh với xác suất lí thuyết.
2
Tổng số lần: $8+11+9+12+10+10=60$ , đúng bằng số lần gieo.
Tổng số lần: $8+11+9+12+10+10=60$, đúng bằng số lần gieo.
3
Mặt 6 chấm xuất hiện 10 lần trong 60 lần gieo, nên $P_{\text{thực nghiệm}}(\text{mặt 6})=\dfrac{10}{60}=\dfrac{1}{6}$ .
Mặt 6 chấm xuất hiện 10 lần trong 60 lần gieo, nên $P_{\text{thực nghiệm}}(\text{mặt 6})=\dfrac{10}{60}=\dfrac{1}{6}$.
4
Xác suất lí thuyết của mặt 6 chấm là $\dfrac{1}{6}$ (đã học ở bài trước), đúng bằng xác suất thực nghiệm vừa tính được.
Xác suất lí thuyết của mặt 6 chấm là $\dfrac{1}{6}$ (đã học ở bài trước), đúng bằng xác suất thực nghiệm vừa tính được.
5
Vậy sau 60 lần gieo, xác suất thực nghiệm của mặt 6 chấm khớp với xác suất lí thuyết, cho thấy con xúc xắc này khá cân đối.

Ví dụ

So sánh xác suất thực nghiệm qua các mốc số lần thử (dạng thi)

1
Tung một đồng xu cân đối nhiều lần, ghi lại theo từng mốc: sau 10 lần được 7 lần sấp; sau 50 lần được 27 lần sấp; sau 200 lần được 104 lần sấp. Tính xác suất thực nghiệm ở mỗi mốc, và giải thích vì sao mốc 10 lần lệch xa xác suất lí thuyết hơn mốc 200 lần.
2
Mốc 10 lần: $P_{10}=\dfrac{7}{10}=0{,}7$ . Mốc 50 lần: $P_{50}=\dfrac{27}{50}=0{,}54$ . Mốc 200 lần: $P_{200}=\dfrac{104}{200}=0{,}52$ .
Mốc 10 lần: $P_{10}=\dfrac{7}{10}=0{,}7$. Mốc 50 lần: $P_{50}=\dfrac{27}{50}=0{,}54$. Mốc 200 lần: $P_{200}=\dfrac{104}{200}=0{,}52$.
3
Xác suất lí thuyết là $0{,}5$ . Độ lệch: mốc 10 lần lệch $0{,}2$ ; mốc 50 lần lệch $0{,}04$ ; mốc 200 lần lệch $0{,}02$ . Độ lệch giảm dần khi $n$ tăng.
Xác suất lí thuyết là $0{,}5$. Độ lệch: mốc 10 lần lệch $0{,}2$; mốc 50 lần lệch $0{,}04$; mốc 200 lần lệch $0{,}02$. Độ lệch giảm dần khi $n$ tăng.
4
Với 10 lần tung, chỉ cần lệch 2 lần sấp so với mức "đúng 5 lần" đã làm tỉ số lệch hẳn 0,2. Với 200 lần, một vài lần may rủi chỉ làm lệch một phần rất nhỏ trong tổng số, nên tỉ số ổn định gần 0,5 hơn nhiều.
5
Vậy xác suất thực nghiệm ở ba mốc lần lượt là 0,7; 0,54; 0,52 — càng về sau càng tiến gần xác suất lí thuyết 0,5, đúng như mối liên hệ đã nêu ở phần kiến thức trọng tâm.

Ví dụ

Ứng dụng xác suất thực nghiệm để ước lượng thực tế (dạng thi)

1
Nhà máy kiểm tra ngẫu nhiên 500 bóng đèn trong một lô sản xuất, phát hiện 15 bóng bị lỗi. Tính xác suất thực nghiệm một bóng đèn bị lỗi, rồi ước lượng số bóng lỗi nếu nhà máy sản xuất 20 000 bóng cùng loại.
2
$P_{\text{thực nghiệm}}(\text{lỗi})=\dfrac{15}{500}=0{,}03$ .
$P_{\text{thực nghiệm}}(\text{lỗi})=\dfrac{15}{500}=0{,}03$.
3
Áp dụng tỉ lệ này cho 20 000 bóng: số bóng lỗi ước lượng $\approx 0{,}03\times 20\,000=600$ bóng.
Áp dụng tỉ lệ này cho 20 000 bóng: số bóng lỗi ước lượng $\approx 0{,}03\times 20\,000=600$ bóng.
4
Vậy trong lô 20 000 bóng đèn, ước lượng có khoảng 600 bóng bị lỗi. Đây chỉ là một ước lượng dựa trên mẫu 500 bóng đã kiểm tra, không phải con số chắc chắn tuyệt đối — mẫu kiểm tra càng lớn, ước lượng càng đáng tin cậy.

Ba ví dụ trên đi từ so sánh một xác suất thực nghiệm với xác suất lí thuyết đã biết, đến quan sát xu hướng hội tụ qua ba mốc số lần thử tăng dần, rồi dùng chính xác suất thực nghiệm để ước lượng cho một quy mô lớn hơn nhiều so với mẫu đã kiểm tra. Đây là ứng dụng thực tế quan trọng nhất của mối liên hệ giữa hai loại xác suất.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Bẫy thi cử kinh điển của bài này: nghĩ rằng gieo xúc xắc đúng 6 lần thì mỗi mặt "phải" xuất hiện đúng 1 lần, vì xác suất lí thuyết của mỗi mặt là $\dfrac{1}{6}$ . Xác suất lí thuyết chỉ là xu hướng trung bình khi số lần thử rất lớn, không phải một quy tắc bắt buộc cho một số ít lần cụ thể — 6 lần gieo hoàn toàn có thể ra hai mặt 3 chấm và không lần nào ra mặt 1.

Bẫy thi cử kinh điển của bài này: nghĩ rằng gieo xúc xắc đúng 6 lần thì mỗi mặt "phải" xuất hiện đúng 1 lần, vì xác suất lí thuyết của mỗi mặt là $\dfrac{1}{6}$. Xác suất lí thuyết chỉ là xu hướng trung bình khi số lần thử rất lớn, không phải một quy tắc bắt buộc cho một số ít lần cụ thể — 6 lần gieo hoàn toàn có thể ra hai mặt 3 chấm và không lần nào ra mặt 1.

Kiểm tra nhanh

Xác suất lí thuyết là con số cố định tính từ cấu tạo phép thử; xác suất thực nghiệm là một ước lượng từ dữ liệu thật, và ước lượng đó càng đáng tin khi số lần thử càng lớn. Đây là hai công cụ bổ sung cho nhau, không phải hai đáp số cạnh tranh nhau — bài kiểm tra thường hỏi đúng vào việc phân biệt khi nào dùng công thức nào, và vì sao một kết quả thực nghiệm ít lần thử không đủ để bác bỏ một xác suất lí thuyết đã biết.

Bài ôn tập cuối cùng sẽ ghép cả bốn kĩ năng đã học trong khóa — thu thập dữ liệu, đọc biểu đồ, phát hiện số liệu sai, và tính xác suất — vào những bài toán tổng hợp đúng phong cách đề kiểm tra cuối kì.