Bài học

Ôn tập dạng bài tổng hợp thi vào lớp 10

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải được các bài tổng hợp phối hợp hệ bất phương trình với điều kiện tham số và bài toán thực tế, đúng cấu trúc thường gặp ở câu bất phương trình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần vững toàn bộ bốn bài trước của chương này, cùng bài ôn tập kiến thức trọng tâm vừa học. Đề thi tuyển sinh 10 thường không hỏi một kỹ năng đơn lẻ, mà ghép hai hoặc ba kỹ năng vào cùng một câu — ví dụ vừa giải hệ vừa tìm nghiệm nguyên, hoặc vừa giải bất phương trình vừa biện luận theo tham số.

Khởi động

Một câu hỏi bất phương trình trong đề thi thường có hai phần: phần đầu yêu cầu giải một bất phương trình hoặc hệ bất phương trình cơ bản — đúng những gì em đã luyện thành thạo; phần sau mới thêm một điều kiện phụ, như tìm nghiệm nguyên, biện luận theo tham số, hoặc đặt vào một tình huống thực tế. Bí quyết không phải là học thêm kỹ thuật mới, mà là làm chắc phần đầu trước khi xử lý phần sau.

Nhìn lại toàn bộ chương, mỗi bài đã trang bị đúng một mảnh ghép: Chương 1 cho ba tính chất nền, Chương 2 dùng chúng để giải một bất phương trình, Chương 3 mở rộng sang hệ, Chương 4 gắn vào bài toán thực tế, và bài ôn tập trước đã luyện phối hợp chúng trong một bài toán. Bài cuối cùng này không dạy thêm mảnh ghép nào mới — nó chỉ luyện đúng dạng ghép nối mà đề thi thật sự hay hỏi.

Kiến thức trọng tâm

Cấu trúc thường gặp của một câu bất phương trình trong đề thi vào 10: phần (a) giải một bất phương trình hoặc hệ bất phương trình đúng như các bài đã học, phần (b) dùng ngay kết quả của phần (a) để trả lời một câu hỏi cụ thể hơn — đếm số nghiệm nguyên, tìm điều kiện của một tham số, hoặc gắn vào một ngữ cảnh thực tế. Khi gặp dạng bài này, luôn giải trọn vẹn phần (a) trước, trình bày rõ ràng từng bước, rồi mới dùng kết quả đó cho phần (b) — đừng cố gộp cả hai phần vào một lần biến đổi.

Với bất phương trình chứa tham số dạng $(a-b)x>c$ hay tương tự, kỹ thuật vẫn không đổi so với bài trước: xét dấu của hệ số chứa tham số trước khi chia, dựa trên điều kiện của tham số mà đề đã cho sẵn (ví dụ "biết $m>1$ "), rồi mới chia và kết luận nghiệm. Đề thi hiếm khi bắt biện luận đủ mọi trường hợp của tham số như một bài chuyên sâu — thường chỉ cho sẵn một khoảng giá trị của tham số để em xác định đúng dấu và áp dụng.

Với bất phương trình chứa tham số dạng $(a-b)x>c$ hay tương tự, kỹ thuật vẫn không đổi so với bài trước: xét dấu của hệ số chứa tham số trước khi chia, dựa trên điều kiện của tham số mà đề đã cho sẵn (ví dụ \"biết $m>1$\"), rồi mới chia và kết luận nghiệm. Đề thi hiếm khi bắt biện luận đủ mọi trường hợp của tham số như một bài chuyên sâu — thường chỉ cho sẵn một khoảng giá trị của tham số để em xác định đúng dấu và áp dụng.

Nghiệm chung của hệ, cùng bốn nghiệm nguyên nằm trong khoảng đó.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Giải hệ bất phương trình và đếm nghiệm nguyên

1
Giải hệ bất phương trình $\begin{cases}2x-3<7\\5-x\le2x+2\end{cases}$ và tìm số nghiệm nguyên của hệ.
Giải hệ bất phương trình $\begin{cases}2x-3<7\\5-x\le2x+2\end{cases}$ và tìm số nghiệm nguyên của hệ.
2
$2x-3<7 \iff 2x<10 \iff x<5$ . (1)
$2x-3<7 \iff 2x<10 \iff x<5$. (1)
3
$5-x\le2x+2 \iff 5-2\le2x+x \iff 3\le3x \iff x\ge1$ . (2)
$5-x\le2x+2 \iff 5-2\le2x+x \iff 3\le3x \iff x\ge1$. (2)
4
Kết hợp: $1\le x<5$ .
Kết hợp: $1\le x<5$.
5
Các số nguyên thoả $1\le x<5$ là 1, 2, 3, 4 — có tất cả 4 nghiệm nguyên.
Các số nguyên thoả $1\le x<5$ là 1, 2, 3, 4 — có tất cả 4 nghiệm nguyên.
6
Hệ có nghiệm $1\le x<5$ , trong đó có 4 nghiệm nguyên: 1, 2, 3 và 4.
Hệ có nghiệm $1\le x<5$, trong đó có 4 nghiệm nguyên: 1, 2, 3 và 4.

Ví dụ

Giải bất phương trình chứa tham số với điều kiện tham số cho trước

1
Cho bất phương trình $(m-1)x>m-1$ với $m$ là tham số, biết $m>1$ . Giải bất phương trình theo $m$ .
Cho bất phương trình $(m-1)x>m-1$ với $m$ là tham số, biết $m>1$. Giải bất phương trình theo $m$.
2
Vì $m>1$ nên $m-1>0$ — hệ số của x là một số DƯƠNG.
Vì $m>1$ nên $m-1>0$ — hệ số của x là một số DƯƠNG.
3
Chia hai vế của $(m-1)x>m-1$ cho $(m-1)>0$ (giữ chiều): $x>\dfrac{m-1}{m-1}=1$ .
Chia hai vế của $(m-1)x>m-1$ cho $(m-1)>0$ (giữ chiều): $x>\dfrac{m-1}{m-1}=1$.
4
Với $m>1$ , bất phương trình có nghiệm $x>1$ — không phụ thuộc vào giá trị cụ thể của m, chỉ cần biết m>1.
Với $m>1$, bất phương trình có nghiệm $x>1$ — không phụ thuộc vào giá trị cụ thể của m, chỉ cần biết m>1.

Ví dụ

Bài toán thực tế kết hợp chi phí cố định và chi phí theo bước

1
Một bãi giữ xe thu phí 5.000 đồng cho giờ đầu tiên và 3.000 đồng cho mỗi giờ tiếp theo (tính tròn giờ). Bạn Hoà mang theo 20.000 đồng để gửi xe. Hỏi bạn Hoà có thể gửi xe tối đa bao nhiêu giờ mà không vượt quá số tiền mang theo?
2
Gọi x (giờ, x nguyên dương) là số giờ gửi xe. Giờ đầu tốn 5.000 đồng, $(x-1)$ giờ tiếp theo mỗi giờ 3.000 đồng, nên tổng chi phí là $5000+3000(x-1)$ (đồng).
Gọi x (giờ, x nguyên dương) là số giờ gửi xe. Giờ đầu tốn 5.000 đồng, $(x-1)$ giờ tiếp theo mỗi giờ 3.000 đồng, nên tổng chi phí là $5000+3000(x-1)$ (đồng).
3
Không vượt quá 20.000 đồng: $5000+3000(x-1)\le20000$ .
Không vượt quá 20.000 đồng: $5000+3000(x-1)\le20000$.
4
$5000+3000x-3000\le20000 \iff 3000x+2000\le20000 \iff 3000x\le18000 \iff x\le6$ .
$5000+3000x-3000\le20000 \iff 3000x+2000\le20000 \iff 3000x\le18000 \iff x\le6$.
5
x là số giờ nguyên dương, nghiệm lớn nhất thoả mãn là x = 6, đã là số nguyên nên không cần điều chỉnh thêm.
6
Bạn Hoà có thể gửi xe tối đa 6 giờ.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Ở bài toán bãi giữ xe, một lỗi rất hay gặp là nhân thẳng số giờ x với giá của "mỗi giờ tiếp theo", quên mất giờ ĐẦU TIÊN tính giá riêng — viết nhầm chi phí thành $3000x$ thay vì $5000+3000(x-1)$ đúng. Khi đề bài tách hai mức giá khác nhau cho giờ đầu và các giờ sau, luôn viết rõ $(x-1)$ cho phần "các giờ tiếp theo", không được gộp x giờ vào cùng một mức giá.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Câu bất phương trình trong đề thi vào 10 hầu như luôn là sự phối hợp của các kỹ năng đã học riêng lẻ trong chương này: giải hệ, đếm nghiệm nguyên, biện luận theo tham số đã cho sẵn dấu, hoặc lập bất phương trình từ tình huống thực tế. Làm chắc từng kỹ năng gốc, phần phối hợp sẽ tự nhiên trở nên vừa sức.

Khoá học tiếp theo chuyển sang nghiên cứu hàm số y = ax² và đồ thị của nó — nền tảng cần thiết trước khi bước vào phương trình bậc hai một ẩn ở khoá sau.