Bài học

Liên hệ giữa thứ tự với phép cộng và phép nhân

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu đúng ba tính chất liên hệ giữa thứ tự với phép cộng và phép nhân — kể cả trường hợp hay bị quên nhất là nhân với một số âm — và dùng chúng để so sánh hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức đơn giản mà không cần tính ra giá trị cụ thể.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã biết so sánh hai số hữu tỉ và biểu diễn chúng trên trục số từ lớp 6, 7: với hai số thực $a,b$ , chỉ có đúng một trong ba khả năng $a>b$ , $a=b$ , $a<b$ . Em cũng đã quen với việc cộng, trừ, nhân hai số có dấu khác nhau. Bài học hôm nay đặt câu hỏi mới trên nền kiến thức cũ đó: nếu biết trước một bất đẳng thức đúng, ta còn giữ được nó đúng sau khi cộng thêm một số, hay nhân thêm một số, vào cả hai vế hay không?

Em đã biết so sánh hai số hữu tỉ và biểu diễn chúng trên trục số từ lớp 6, 7: với hai số thực $a,b$, chỉ có đúng một trong ba khả năng $a>b$, $a=b$, $a<b$. Em cũng đã quen với việc cộng, trừ, nhân hai số có dấu khác nhau. Bài học hôm nay đặt câu hỏi mới trên nền kiến thức cũ đó: nếu biết trước một bất đẳng thức đúng, ta còn giữ được nó đúng sau khi cộng thêm một số, hay nhân thêm một số, vào cả hai vế hay không?

Khởi động

So sánh $-2$ và $5$ : rõ ràng $-2<5$ . Nhân cả hai số với $3$ , ta được $-6$ và $15$ : vẫn $-6<15$ , thứ tự giữ nguyên. Nhưng nhân cả hai số với $-3$ , ta được $6$ và $-15$ — lúc này $6>-15$ , thứ tự đã ĐẢO NGƯỢC. Vì sao nhân với một số âm lại làm điều đó, và có quy tắc nào giúp em luôn đoán đúng chiều bất đẳng thức mà không cần tính lại từ đầu mỗi lần?

So sánh $-2$ và $5$: rõ ràng $-2<5$. Nhân cả hai số với $3$, ta được $-6$ và $15$: vẫn $-6<15$, thứ tự giữ nguyên. Nhưng nhân cả hai số với $-3$, ta được $6$ và $-15$ — lúc này $6>-15$, thứ tự đã ĐẢO NGƯỢC. Vì sao nhân với một số âm lại làm điều đó, và có quy tắc nào giúp em luôn đoán đúng chiều bất đẳng thức mà không cần tính lại từ đầu mỗi lần?

Kiến thức trọng tâm

Tính chất 1 (liên hệ với phép cộng). Với mọi số thực $a,b,c$ : nếu $a>b$ thì $a+c>b+c$ , và ngược lại. Cộng (hay trừ) cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức không bao giờ làm đổi chiều của nó — dù số cộng vào là số dương, số âm hay bằng 0.

**Tính chất 1 (liên hệ với phép cộng).** Với mọi số thực $a,b,c$: nếu $a>b$ thì $a+c>b+c$, và ngược lại. Cộng (hay trừ) cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức không bao giờ làm đổi chiều của nó — dù số cộng vào là số dương, số âm hay bằng 0.

Tính chất 2 (nhân với số dương). Với $c>0$ : nếu $a>b$ thì $ac>bc$ . Nhân cả hai vế với một số dương giữ nguyên chiều bất đẳng thức — đúng như trực giác của em ở phần khởi động khi nhân với 3.

**Tính chất 2 (nhân với số dương).** Với $c>0$: nếu $a>b$ thì $ac>bc$. Nhân cả hai vế với một số dương giữ nguyên chiều bất đẳng thức — đúng như trực giác của em ở phần khởi động khi nhân với 3.

Tính chất 3 (nhân với số âm). Với $c<0$ : nếu $a>b$ thì $ac<bc$ . Đây là điểm khác biệt quan trọng nhất của cả bài: nhân cả hai vế với một số âm ĐỔI CHIỀU bất đẳng thức. Vì sao lại như vậy? Nghĩ trên trục số: nhân với một số âm giống như lấy đối xứng qua điểm 0, điểm nào ở bên phải sẽ chuyển sang bên trái và ngược lại, nên thứ tự bị lật lại. Ba tính chất trên vẫn đúng khi thay dấu $>$ bằng $\ge$ , hoặc $<$ bằng $\le$ .

**Tính chất 3 (nhân với số âm).** Với $c<0$: nếu $a>b$ thì $ac<bc$. Đây là điểm khác biệt quan trọng nhất của cả bài: nhân cả hai vế với một số âm ĐỔI CHIỀU bất đẳng thức. Vì sao lại như vậy? Nghĩ trên trục số: nhân với một số âm giống như lấy đối xứng qua điểm 0, điểm nào ở bên phải sẽ chuyển sang bên trái và ngược lại, nên thứ tự bị lật lại. Ba tính chất trên vẫn đúng khi thay dấu $>$ bằng $\ge$, hoặc $<$ bằng $\le$.

Ba tính chất này không phải ba điều rời rạc để học thuộc riêng lẻ — chúng chính là hai thao tác duy nhất em được phép làm trên một bất đẳng thức (cộng một số, nhân một số), chỉ khác nhau ở việc thao tác nhân có thêm một điều kiện bắt buộc phải kiểm tra: dấu của số nhân vào. Quên kiểm tra dấu đó là nguồn sai sót lớn nhất khi giải bất phương trình ở các bài sau.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

So sánh hai biểu thức bằng tính chất cộng

1
Biết $x>y$ . Không tính giá trị cụ thể, so sánh $x+9$ và $y+9$ .
Biết $x>y$. Không tính giá trị cụ thể, so sánh $x+9$ và $y+9$.
2
Theo Tính chất 1, cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức không làm đổi chiều: từ $x>y$ , cộng $9$ vào hai vế được $x+9>y+9$ .
Theo Tính chất 1, cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức không làm đổi chiều: từ $x>y$, cộng $9$ vào hai vế được $x+9>y+9$.
3
$x+9>y+9$ .
$x+9>y+9$.

Ví dụ

So sánh hai tích khi nhân với một số âm

1
Biết $-2<5$ . So sánh $(-3)\cdot(-2)$ và $(-3)\cdot5$ .
Biết $-2<5$. So sánh $(-3)\cdot(-2)$ và $(-3)\cdot5$.
2
Ta có $-2<5$ . Nhân cả hai vế với $-3$ — một số ÂM — nên theo Tính chất 3, bất đẳng thức ĐỔI CHIỀU: $(-3)\cdot(-2)>(-3)\cdot5$ .
Ta có $-2<5$. Nhân cả hai vế với $-3$ — một số ÂM — nên theo Tính chất 3, bất đẳng thức ĐỔI CHIỀU: $(-3)\cdot(-2)>(-3)\cdot5$.
3
$(-3)\cdot(-2)=6$ và $(-3)\cdot5=-15$ . Quả thật $6>-15$ , khớp với kết luận vừa suy ra bằng tính chất, không cần tính toán mới đoán được chiều.
$(-3)\cdot(-2)=6$ và $(-3)\cdot5=-15$. Quả thật $6>-15$, khớp với kết luận vừa suy ra bằng tính chất, không cần tính toán mới đoán được chiều.
4
$(-3)\cdot(-2)>(-3)\cdot5$ .
$(-3)\cdot(-2)>(-3)\cdot5$.

Ví dụ

Chứng minh một bất đẳng thức bằng biến đổi tương đương

1
Cho $a>b$ . Chứng minh $5-2a<5-2b$ .
Cho $a>b$. Chứng minh $5-2a<5-2b$.
2
Từ $a>b$ , nhân cả hai vế với $-2$ (số âm), theo Tính chất 3 bất đẳng thức đổi chiều: $-2a<-2b$ . (1)
Từ $a>b$, nhân cả hai vế với $-2$ (số âm), theo Tính chất 3 bất đẳng thức đổi chiều: $-2a<-2b$. (1)
3
Cộng $5$ vào hai vế của (1) (theo Tính chất 1, không đổi chiều): $-2a+5<-2b+5$ , tức $5-2a<5-2b$ .
Cộng $5$ vào hai vế của (1) (theo Tính chất 1, không đổi chiều): $-2a+5<-2b+5$, tức $5-2a<5-2b$.
4
Với $a>b$ , ta luôn có $5-2a<5-2b$ — điều cần chứng minh.
Với $a>b$, ta luôn có $5-2a<5-2b$ — điều cần chứng minh.

Ví dụ

Biện luận dấu của tham số để bất đẳng thức đúng theo chiều cho trước

1
Biết $x<y$ . Tìm điều kiện của tham số $m$ để $mx>my$ .
Biết $x<y$. Tìm điều kiện của tham số $m$ để $mx>my$.
2
$mx>my \iff mx-my>0 \iff m(x-y)>0$ .
$mx>my \iff mx-my>0 \iff m(x-y)>0$.
3
Vì $x<y$ nên $x-y<0$ . (1)
Vì $x<y$ nên $x-y<0$. (1)
4
Từ (1), tích $m(x-y)>0$ mà $(x-y)<0$ chỉ dương khi nhân tử còn lại cũng âm, tức $m<0$ .
Từ (1), tích $m(x-y)>0$ mà $(x-y)<0$ chỉ dương khi nhân tử còn lại cũng âm, tức $m<0$.
5
$mx>my$ khi và chỉ khi $m<0$ — đúng với logic ở ví dụ trước: nhân hai vế của $x<y$ với một số âm mới làm bất đẳng thức đổi chiều thành $mx>my$ .
$mx>my$ khi và chỉ khi $m<0$ — đúng với logic ở ví dụ trước: nhân hai vế của $x<y$ với một số âm mới làm bất đẳng thức đổi chiều thành $mx>my$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Rất nhiều bạn nhớ máy móc "nhân thì đổi chiều", kể cả khi nhân với một số DƯƠNG — ví dụ từ $a>b$ lại viết nhầm $3a<3b$ . Chiều bất đẳng thức chỉ đổi khi số nhân vào là số ÂM; nhân với số dương luôn giữ nguyên chiều. Một lỗi khác cũng phổ biến không kém: quên hẳn việc kiểm tra dấu, coi phép nhân giống hệt phép cộng. Trước khi viết bất đẳng thức mới, luôn tự hỏi: "số vừa nhân vào là dương hay âm?" rồi mới quyết định giữ hay đổi chiều.

Rất nhiều bạn nhớ máy móc "nhân thì đổi chiều", kể cả khi nhân với một số DƯƠNG — ví dụ từ $a>b$ lại viết nhầm $3a<3b$. Chiều bất đẳng thức chỉ đổi khi số nhân vào là số ÂM; nhân với số dương luôn giữ nguyên chiều. Một lỗi khác cũng phổ biến không kém: quên hẳn việc kiểm tra dấu, coi phép nhân giống hệt phép cộng. Trước khi viết bất đẳng thức mới, luôn tự hỏi: "số vừa nhân vào là dương hay âm?" rồi mới quyết định giữ hay đổi chiều.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Cộng cùng một số vào hai vế không bao giờ đổi chiều bất đẳng thức. Nhân hai vế với một số dương giữ chiều; nhân với một số âm đổi chiều. Trước mỗi phép nhân hoặc chia, luôn xét dấu của số đó trước khi quyết định giữ hay đổi chiều.

Ba tính chất hôm nay chính là công cụ duy nhất để giải một bất phương trình: mọi bước biến đổi bất phương trình, từ chuyển vế đến chia cho hệ số của ẩn, đều là một trong ba thao tác vừa học. Bài sau dùng lại đúng chúng, đóng gói thành hai quy tắc giải bất phương trình bậc nhất một ẩn.