Bài học

Ứng dụng bất phương trình vào bài toán thực tế

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em lập được một bất phương trình từ một tình huống thực tế — chọn ẩn, đặt điều kiện, dịch điều kiện đề bài thành bất đẳng thức — rồi giải và đối chiếu nghiệm với điều kiện thực tế để trả lời đúng câu hỏi đặt ra.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần thành thạo cách giải bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ở hai bài trước. Em cũng cần nhớ kỹ năng lập phương trình từ bài toán thực tế đã học ở lớp 8: chọn ẩn, đặt điều kiện cho ẩn, biểu diễn các đại lượng còn lại theo ẩn. Bài này dùng lại đúng quy trình đó, chỉ khác ở bước cuối — thay vì lập một đẳng thức, ta lập một bất đẳng thức, vì đề bài chỉ đưa ra một điều kiện dạng "không vượt quá", "ít nhất", "nhỏ hơn" chứ không cho một giá trị chính xác.

Khởi động

Nhà mạng A không thu phí thuê bao, tính cước 1.000 đồng mỗi phút gọi. Nhà mạng B thu phí thuê bao 40.000 đồng mỗi tháng, cộng thêm 500 đồng mỗi phút gọi. Gọi càng nhiều phút, nhà mạng nào rẻ hơn? Chắc chắn có một mốc số phút mà trước mốc đó nhà mạng A rẻ hơn, còn sau mốc đó nhà mạng B lại rẻ hơn — làm sao tìm ra chính xác mốc đó bằng bất phương trình, thay vì thử từng số phút một?

Kiến thức trọng tâm

Lập bất phương trình từ bài toán thực tế theo năm bước. Chọn một ẩn (thường ký hiệu x) đại diện cho đại lượng đề bài đang hỏi, và đặt điều kiện cho ẩn đó — ví dụ số phút gọi phải không âm, số sản phẩm phải là số nguyên dương. Biểu diễn các đại lượng còn lại trong đề (chi phí, doanh thu, số tiền tích luỹ...) theo x. Dịch đúng điều kiện bằng lời của đề bài thành một bất đẳng thức — các cụm từ như "rẻ hơn", "ít nhất", "không vượt quá", "có lãi" mỗi cụm ứng với đúng một dấu bất đẳng thức, không được đoán tuỳ tiện. Giải bất phương trình vừa lập được. Cuối cùng — bước dễ bị bỏ quên nhất — đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện thực tế đã đặt ra cho x ở bước một, rồi kết luận bằng lời, có đầy đủ đơn vị.

Bước đối chiếu cuối cùng quan trọng vì nghiệm của một bất phương trình thuần tuý toán học là cả một khoảng số thực, nhưng đại lượng thực tế thường bị giới hạn thêm — số sản phẩm không thể là số âm hay số thập phân, số tháng không thể là số âm. Khi đó, nghiệm cuối cùng của bài toán là phần giao giữa tập nghiệm toán học và điều kiện thực tế của x, và câu trả lời phải chọn đúng giá trị nguyên (nhỏ nhất hoặc lớn nhất, tuỳ đề hỏi) trong phần giao đó.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Chọn gói cước điện thoại rẻ hơn theo số phút gọi

1
Nhà mạng A: không thuê bao, cước 1.000 đồng/phút. Nhà mạng B: thuê bao 40.000 đồng/tháng, cước 500 đồng/phút. Gọi x (phút, $x\ge0$ ) là số phút gọi trong tháng. Hỏi gọi từ bao nhiêu phút trở lên thì chọn nhà mạng B sẽ tiết kiệm hơn nhà mạng A?
Nhà mạng A: không thuê bao, cước 1.000 đồng/phút. Nhà mạng B: thuê bao 40.000 đồng/tháng, cước 500 đồng/phút. Gọi x (phút, $x\ge0$) là số phút gọi trong tháng. Hỏi gọi từ bao nhiêu phút trở lên thì chọn nhà mạng B sẽ tiết kiệm hơn nhà mạng A?
2
Chi phí mạng A: $1000x$ (đồng). Chi phí mạng B: $40000+500x$ (đồng).
Chi phí mạng A: $1000x$ (đồng). Chi phí mạng B: $40000+500x$ (đồng).
3
Mạng B tiết kiệm hơn khi chi phí mạng B nhỏ hơn chi phí mạng A: $40000+500x<1000x$ .
Mạng B tiết kiệm hơn khi chi phí mạng B nhỏ hơn chi phí mạng A: $40000+500x<1000x$.
4
$40000<1000x-500x=500x \iff x>80$ .
$40000<1000x-500x=500x \iff x>80$.
5
Điều kiện $x\ge0$ vẫn thoả mãn với $x>80$ , không cần điều chỉnh thêm.
Điều kiện $x\ge0$ vẫn thoả mãn với $x>80$, không cần điều chỉnh thêm.
6
Gọi trên 80 phút mỗi tháng thì chọn mạng B sẽ tiết kiệm hơn mạng A.

Ví dụ

Tìm số lượng sản phẩm tối thiểu để có lãi

1
Một cửa hàng bỏ vốn 5.000.000 đồng nhập một lô áo, cộng thêm chi phí vận chuyển 20.000 đồng cho mỗi áo. Mỗi áo bán ra với giá 70.000 đồng. Gọi x (áo, x nguyên dương) là số áo bán được. Hỏi cửa hàng cần bán ít nhất bao nhiêu áo để có lãi (doanh thu lớn hơn tổng chi phí)?
2
Tổng chi phí: $5000000+20000x$ (đồng). Doanh thu: $70000x$ (đồng).
Tổng chi phí: $5000000+20000x$ (đồng). Doanh thu: $70000x$ (đồng).
3
Có lãi khi doanh thu lớn hơn chi phí: $70000x>5000000+20000x$ .
Có lãi khi doanh thu lớn hơn chi phí: $70000x>5000000+20000x$.
4
$70000x-20000x>5000000 \iff 50000x>5000000 \iff x>100$ .
$70000x-20000x>5000000 \iff 50000x>5000000 \iff x>100$.
5
x phải là số nguyên dương. Số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn $x>100$ là $x=101$ .
x phải là số nguyên dương. Số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn $x>100$ là $x=101$.
6
Cửa hàng cần bán ít nhất 101 áo để có lãi.

Ví dụ

Tìm thời gian tối thiểu để đạt một mục tiêu tiết kiệm

1
Bạn Lan hiện có 500.000 đồng và mỗi tuần để dành thêm 150.000 đồng (không tính lãi). Gọi x (tuần, x nguyên không âm) là số tuần đã để dành. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tuần thì số tiền của Lan đạt từ 2.000.000 đồng trở lên?
2
Sau x tuần, tổng số tiền của Lan là $500000+150000x$ (đồng).
Sau x tuần, tổng số tiền của Lan là $500000+150000x$ (đồng).
3
$500000+150000x\ge2000000$ .
$500000+150000x\ge2000000$.
4
$150000x\ge1500000 \iff x\ge10$ .
$150000x\ge1500000 \iff x\ge10$.
5
Nghiệm nguyên không âm nhỏ nhất thoả mãn là x = 10, đã là số nguyên nên không cần làm tròn thêm.
6
Sau ít nhất 10 tuần, số tiền của Lan đạt từ 2.000.000 đồng trở lên.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất ở dạng bài này không nằm ở việc giải bất phương trình — mà ở bước cuối. Rất nhiều bạn tìm đúng x>100 rồi dừng lại, quên mất số áo phải là số NGUYÊN nên đáp số đúng là 101 chứ không phải chính 100. Một lỗi khác: nhầm "có lãi" (bất đẳng thức chặt $>$ ) với "không lỗ" hay "hoà vốn trở lên" (bất đẳng thức không chặt $\ge$ ) — hai cụm này khác nhau đúng một điểm mấu chốt, và đề bài luôn dùng từ ngữ chính xác để phân biệt chúng.

Sai lầm phổ biến nhất ở dạng bài này không nằm ở việc giải bất phương trình — mà ở bước cuối. Rất nhiều bạn tìm đúng x>100 rồi dừng lại, quên mất số áo phải là số NGUYÊN nên đáp số đúng là 101 chứ không phải chính 100. Một lỗi khác: nhầm \"có lãi\" (bất đẳng thức chặt $>$) với \"không lỗ\" hay \"hoà vốn trở lên\" (bất đẳng thức không chặt $\ge$) — hai cụm này khác nhau đúng một điểm mấu chốt, và đề bài luôn dùng từ ngữ chính xác để phân biệt chúng.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Năm bước: chọn ẩn và đặt điều kiện, biểu diễn các đại lượng theo ẩn, dịch đúng điều kiện đề bài thành bất đẳng thức, giải, rồi đối chiếu nghiệm với điều kiện thực tế trước khi kết luận bằng lời có đơn vị. Đọc kỹ từng cụm từ của đề — "ít nhất", "không vượt quá", "rẻ hơn" — vì mỗi cụm quyết định đúng một dấu bất đẳng thức.

Chương ôn tập tiếp theo hệ thống lại toàn bộ công cụ về bất đẳng thức và bất phương trình bậc nhất một ẩn đã học, rồi luyện các dạng bài tổng hợp hay gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10.