Bài học

Ôn tập kiến thức trọng tâm

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tự hệ thống lại được ba tính chất thứ tự, hai quy tắc giải bất phương trình, và cách giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn, rồi vận dụng phối hợp cả ba để giải các bài toán kết hợp nhiều bước biến đổi trong một đề.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này ôn lại toàn bộ bốn bài trước: ba tính chất liên hệ giữa thứ tự với phép cộng và phép nhân, quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân/chia khi giải một bất phương trình, cách lấy giao nghiệm khi giải một hệ, và kỹ năng lập bất phương trình từ bài toán thực tế. Không có kiến thức mới nào ở đây — chỉ có việc luyện phối hợp nhiều kỹ năng cũ trong cùng một bài.

Khởi động

Trước khi vào phần ôn tập, hãy tự trả lời chắc chắn ba câu hỏi: cộng một số vào hai vế có làm đổi chiều bất đẳng thức không? Nhân với một số dương thì sao? Còn nhân với một số âm? Nếu em trả lời đúng cả ba mà không cần lật lại bài cũ, em đã sẵn sàng cho các bài tổng hợp dưới đây — nơi một bài toán có thể đòi hỏi dùng cả ba tính chất chỉ trong vài dòng.

Kiến thức trọng tâm

Nhắc lại nhanh: cộng cùng một số vào hai vế không bao giờ đổi chiều bất đẳng thức. Nhân hoặc chia cả hai vế cho cùng một số dương giữ chiều; cho cùng một số âm thì đổi chiều. Giải một bất phương trình bậc nhất là dùng liên tiếp hai thao tác đó — chuyển vế rồi chia cho hệ số của ẩn — để đưa nó về dạng đơn giản nhất. Giải một hệ bất phương trình là giải riêng từng bất phương trình rồi lấy giao các tập nghiệm trên cùng một trục số.

Một bài toán tổng hợp thường ghép nhiều thao tác vào cùng một biểu thức: khai triển dấu ngoặc, chuyển vế nhiều lần, rồi mới chia cho hệ số cuối cùng. Điểm mấu chốt để không sai là làm TỪNG BƯỚC MỘT theo đúng thứ tự — khai triển trước, gộp các hạng tử cùng loại, rồi mới chuyển vế và chia — chứ không cố gộp nhiều bước lại để làm nhanh, vì đó chính là lúc dễ bỏ sót một dấu trừ hay quên đổi chiều nhất.

Một thói quen tốt khi ôn tập là tự hỏi TRƯỚC khi làm: bài này là một bất phương trình đơn hay một hệ? Có dấu ngoặc cần khai triển không? Hệ số của ẩn cuối cùng mang dấu gì? Trả lời được ba câu hỏi đó trước khi đặt bút, em đã hình dung trước gần hết các bước cần làm, thay vì vừa làm vừa dò từng bước một cách bị động. Đây cũng là cách các bạn học khá thường làm để tránh sai sót ở những bài nhiều bước.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Giải một bất phương trình có dấu ngoặc

1
Giải bất phương trình $5(x-2)-3x\le x+4$ .
Giải bất phương trình $5(x-2)-3x\le x+4$.
2
$5(x-2)-3x=5x-10-3x=2x-10$ , nên bất phương trình trở thành $2x-10\le x+4$ .
$5(x-2)-3x=5x-10-3x=2x-10$, nên bất phương trình trở thành $2x-10\le x+4$.
3
$2x-x\le4+10 \iff x\le14$ .
$2x-x\le4+10 \iff x\le14$.
4
Tập nghiệm $S=\{x\mid x\le14\}$ .
Tập nghiệm $S=\{x\mid x\le14\}$.

Ví dụ

Giải một hệ bất phương trình có mẫu số

1
Giải hệ bất phương trình $\begin{cases}\dfrac{x+1}{2}>x-2\\3x-1\le2x+5\end{cases}$ .
Giải hệ bất phương trình $\begin{cases}\dfrac{x+1}{2}>x-2\\3x-1\le2x+5\end{cases}$.
2
Nhân hai vế với 2 (dương, giữ chiều): $x+1>2x-4$ . Chuyển vế: $1+4>2x-x \iff x<5$ . (1)
Nhân hai vế với 2 (dương, giữ chiều): $x+1>2x-4$. Chuyển vế: $1+4>2x-x \iff x<5$. (1)
3
$3x-1\le2x+5 \iff x\le6$ . (2)
$3x-1\le2x+5 \iff x\le6$. (2)
4
Kết hợp $x<5$ và $x\le6$ : vì $x<5$ là điều kiện chặt hơn, nghiệm chung là $x<5$ .
Kết hợp $x<5$ và $x\le6$: vì $x<5$ là điều kiện chặt hơn, nghiệm chung là $x<5$.
5
Tập nghiệm $S=\{x\mid x<5\}$ .
Tập nghiệm $S=\{x\mid x<5\}$.

Ví dụ

Tìm nghiệm nguyên lớn nhất của một bất phương trình

1
Tìm nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình $4-3x\ge2x-11$ .
Tìm nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình $4-3x\ge2x-11$.
2
$4-3x\ge2x-11 \iff 4+11\ge2x+3x \iff 15\ge5x$ .
$4-3x\ge2x-11 \iff 4+11\ge2x+3x \iff 15\ge5x$.
3
Chia cho $5$ (dương, giữ chiều): $x\le3$ .
Chia cho $5$ (dương, giữ chiều): $x\le3$.
4
Trong tập nghiệm $x\le3$ , số nguyên lớn nhất thoả mãn là $3$ .
Trong tập nghiệm $x\le3$, số nguyên lớn nhất thoả mãn là $3$.
5
Nghiệm nguyên lớn nhất là x = 3.

Ba ví dụ trên lần lượt luyện: khai triển ngoặc trước khi chuyển vế, giải một hệ có chứa mẫu số, và chọn đúng nghiệm nguyên biên theo yêu cầu "lớn nhất" của đề. Ba kỹ năng này không tách rời nhau trong một đề thi thật — một câu hỏi có thể yêu cầu cả ba cùng lúc, nên hãy luyện chúng riêng lẻ ở đây trước khi gặp chúng trộn lẫn ở bài ôn tập tiếp theo.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Khi khai triển $5(x-2)-3x$ , một lỗi rất hay gặp là quên nhân số $5$ vào CẢ hai hạng tử trong ngoặc, viết nhầm thành $5x-2-3x$ thay vì $5x-10-3x$ đúng. Luôn kiểm tra lại: số đứng trước ngoặc phải nhân với TỪNG hạng tử bên trong, không chỉ hạng tử đầu tiên.

Khi khai triển $5(x-2)-3x$, một lỗi rất hay gặp là quên nhân số $5$ vào CẢ hai hạng tử trong ngoặc, viết nhầm thành $5x-2-3x$ thay vì $5x-10-3x$ đúng. Luôn kiểm tra lại: số đứng trước ngoặc phải nhân với TỪNG hạng tử bên trong, không chỉ hạng tử đầu tiên.

Kiểm tra nhanh

Nếu em vừa trả lời đúng cả năm câu luyện tập ở trên, ba tính chất và hai quy tắc của cả chương giờ đã trở thành phản xạ chứ không còn là điều phải nhớ lại từng bước nữa. Đó chính là mục tiêu của một buổi ôn tập: không học thêm gì mới, mà biến cái cũ thành thứ dùng được ngay không cần suy nghĩ, kể cả khi đề bài đổi số liệu hay ghép thêm một điều kiện lạ.

Ghi nhớ

Bài toán tổng hợp chỉ là sự kết hợp của những bước đã học riêng lẻ: khai triển đúng, chuyển vế đúng dấu, chia đúng chiều theo dấu hệ số, và lấy giao nếu là hệ. Làm từng bước, viết rõ từng bước, thay vì cố nhẩm tắt nhiều thao tác cùng lúc.

Bài ôn tập cuối cùng của khoá luyện đúng dạng bài tổng hợp thường xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 — nơi bất phương trình còn đi kèm tham số hoặc một tình huống thực tế cụ thể.