Bài học

Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải được một bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng $ax+b>0$ (hoặc $<,\ge,\le$ ) bằng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân/chia — nhớ đổi chiều khi nhân hoặc chia với một số âm — rồi biểu diễn đúng tập nghiệm trên trục số.

Sau bài này, em giải được một bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng $ax+b>0$ (hoặc $<,\ge,\le$) bằng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân/chia — nhớ đổi chiều khi nhân hoặc chia với một số âm — rồi biểu diễn đúng tập nghiệm trên trục số.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần vững ba tính chất liên hệ giữa thứ tự với phép cộng và phép nhân vừa học ở bài trước — bài này chỉ đóng gói lại chúng thành hai quy tắc thao tác cụ thể. Em cũng cần nhớ cách giải phương trình bậc nhất một ẩn $ax+b=0$ từ lớp 8: quy tắc chuyển vế ở đó vẫn dùng được y hệt, chỉ khác một điểm duy nhất — bất phương trình còn phải xét thêm dấu khi chia cho hệ số của ẩn.

Khởi động

Giải phương trình $2x-5=3$ cho đúng một nghiệm $x=4$ . Còn bất phương trình $2x-5<3$ thì sao? Thử $x=0$ : $2\cdot0-5=-5<3$ , đúng. Thử $x=3$ : $2\cdot3-5=1<3$ , vẫn đúng. Thử $x=5$ : $2\cdot5-5=5<3$ , sai. Có vẻ rất nhiều số x cùng thoả mãn — làm sao tìm được TẤT CẢ chúng một lúc, thay vì thử từng số đến bao giờ mới hết?

Giải phương trình $2x-5=3$ cho đúng một nghiệm $x=4$. Còn bất phương trình $2x-5<3$ thì sao? Thử $x=0$: $2\cdot0-5=-5<3$, đúng. Thử $x=3$: $2\cdot3-5=1<3$, vẫn đúng. Thử $x=5$: $2\cdot5-5=5<3$, sai. Có vẻ rất nhiều số x cùng thoả mãn — làm sao tìm được TẤT CẢ chúng một lúc, thay vì thử từng số đến bao giờ mới hết?

Kiến thức trọng tâm

Quy tắc chuyển vế. Muốn chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của bất phương trình, ta đổi dấu hạng tử đó — đúng như khi giải phương trình, vì bản chất đây chính là Tính chất 1 (cộng cùng một số đối vào hai vế) của bài trước.

Quy tắc nhân (hoặc chia). Muốn nhân hoặc chia cả hai vế của bất phương trình cho cùng một số khác 0: nếu số đó DƯƠNG, giữ nguyên chiều bất phương trình; nếu số đó ÂM, ĐỔI CHIỀU bất phương trình. Đây chính là Tính chất 2 và Tính chất 3 của bài trước, áp dụng trực tiếp vào việc giải.

Giải một bất phương trình bậc nhất một ẩn, nói gọn, là dùng hai quy tắc trên để đưa nó về dạng đơn giản nhất có thể: ẩn nằm một mình ở một vế, hằng số ở vế kia. Khác với phương trình chỉ cho ra một số nghiệm, tập nghiệm của một bất phương trình bậc nhất luôn là CẢ MỘT KHOẢNG số thực — một nửa đường thẳng bắt đầu từ một điểm và kéo dài về một phía.

Tập nghiệm đó được biểu diễn trên trục số bằng một tia: dùng ngoặc tròn (hoặc vòng tròn rỗng) tại đầu mút nếu bất đẳng thức chặt — dấu $<$ hay $>$ , điểm đó KHÔNG thuộc tập nghiệm; dùng ngoặc vuông (hoặc chấm đặc) nếu bất đẳng thức không chặt — dấu $\le$ hay $\ge$ , điểm đó thuộc tập nghiệm. Đọc đúng loại ngoặc trên hình vẽ cũng quan trọng không kém việc giải đúng bất phương trình.

Tập nghiệm đó được biểu diễn trên trục số bằng một tia: dùng ngoặc tròn (hoặc vòng tròn rỗng) tại đầu mút nếu bất đẳng thức chặt — dấu $<$ hay $>$, điểm đó KHÔNG thuộc tập nghiệm; dùng ngoặc vuông (hoặc chấm đặc) nếu bất đẳng thức không chặt — dấu $\le$ hay $\ge$, điểm đó thuộc tập nghiệm. Đọc đúng loại ngoặc trên hình vẽ cũng quan trọng không kém việc giải đúng bất phương trình.

Một cách tự kiểm tra kết quả rất hữu ích: sau khi giải xong, thử lại bằng một giá trị bất kỳ nằm trong tập nghiệm vừa tìm được. Với kết quả $x<4$ chẳng hạn, thử $x=0$ vào bất phương trình gốc $2x-5<3$ : $2\cdot0-5=-5<3$ , đúng — vậy nghiệm hợp lý. Nếu thay một giá trị trong khoảng vừa tìm mà bất phương trình gốc lại sai, chắc chắn đã có một bước đổi chiều bị bỏ sót ở đâu đó, và em nên rà lại từ đầu thay vì sửa vội đáp số cuối cùng.

Một cách tự kiểm tra kết quả rất hữu ích: sau khi giải xong, thử lại bằng một giá trị bất kỳ nằm trong tập nghiệm vừa tìm được. Với kết quả $x<4$ chẳng hạn, thử $x=0$ vào bất phương trình gốc $2x-5<3$: $2\cdot0-5=-5<3$, đúng — vậy nghiệm hợp lý. Nếu thay một giá trị trong khoảng vừa tìm mà bất phương trình gốc lại sai, chắc chắn đã có một bước đổi chiều bị bỏ sót ở đâu đó, và em nên rà lại từ đầu thay vì sửa vội đáp số cuối cùng.

Nghiệm

x<4

— ngoặc tròn (rỗng) tại điểm 4 vì bất đẳng thức chặt.Nghiệm $x<4$ — ngoặc tròn (rỗng) tại điểm 4 vì bất đẳng thức chặt.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Giải một bất phương trình cơ bản

1
Giải bất phương trình $2x-5<3$ và biểu diễn nghiệm trên trục số.
Giải bất phương trình $2x-5<3$ và biểu diễn nghiệm trên trục số.
2
Chuyển $-5$ sang vế phải, đổi dấu: $2x<3+5=8$ .
Chuyển $-5$ sang vế phải, đổi dấu: $2x<3+5=8$.
3
Chia hai vế cho $2$ — số DƯƠNG, giữ nguyên chiều: $x<4$ .
Chia hai vế cho $2$ — số DƯƠNG, giữ nguyên chiều: $x<4$.
4
Tập nghiệm $S=\{x\mid x<4\}$ , biểu diễn bằng tia từ 4 về bên trái, ngoặc tròn tại 4.
Tập nghiệm $S=\{x\mid x<4\}$, biểu diễn bằng tia từ 4 về bên trái, ngoặc tròn tại 4.

Ví dụ

Giải bất phương trình có hệ số âm

1
Giải bất phương trình $-3x+6\ge0$ .
Giải bất phương trình $-3x+6\ge0$.
2
Chuyển $6$ sang vế phải, đổi dấu: $-3x\ge-6$ .
Chuyển $6$ sang vế phải, đổi dấu: $-3x\ge-6$.
3
Chia hai vế cho $-3$ — số ÂM, nên ĐỔI CHIỀU bất phương trình: $x\le\dfrac{-6}{-3}=2$ .
Chia hai vế cho $-3$ — số ÂM, nên ĐỔI CHIỀU bất phương trình: $x\le\dfrac{-6}{-3}=2$.
4
Tập nghiệm $S=\{x\mid x\le2\}$ .
Tập nghiệm $S=\{x\mid x\le2\}$.

Ví dụ

Giải bất phương trình chứa mẫu số và dấu ngoặc

1
Giải bất phương trình $\dfrac{2x-1}{3}-x<1$ .
Giải bất phương trình $\dfrac{2x-1}{3}-x<1$.
2
Nhân hai vế với $3$ — số dương, giữ chiều: $2x-1-3x<3$ .
Nhân hai vế với $3$ — số dương, giữ chiều: $2x-1-3x<3$.
3
$2x-1-3x=-x-1$ , nên $-x-1<3 \iff -x<4$ .
$2x-1-3x=-x-1$, nên $-x-1<3 \iff -x<4$.
4
Chia hai vế cho $-1$ — số âm, đổi chiều: $x>-4$ .
Chia hai vế cho $-1$ — số âm, đổi chiều: $x>-4$.
5
Tập nghiệm $S=\{x\mid x>-4\}$ .
Tập nghiệm $S=\{x\mid x>-4\}$.

Ví dụ

Biện luận theo tham số để chiều bất phương trình không đổi

1
Cho bất phương trình $(2-m)x>4$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để khi giải, ta được $x>\dfrac{4}{2-m}$ (tức chiều bất đẳng thức KHÔNG bị đổi).
Cho bất phương trình $(2-m)x>4$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để khi giải, ta được $x>\dfrac{4}{2-m}$ (tức chiều bất đẳng thức KHÔNG bị đổi).
2
Muốn chia hai vế của $(2-m)x>4$ cho hệ số $(2-m)$ mà giữ chiều $>$ , theo quy tắc nhân/chia, hệ số đó phải DƯƠNG: $2-m>0$ .
Muốn chia hai vế của $(2-m)x>4$ cho hệ số $(2-m)$ mà giữ chiều $>$, theo quy tắc nhân/chia, hệ số đó phải DƯƠNG: $2-m>0$.
3
$2-m>0 \iff m<2$ .
$2-m>0 \iff m<2$.
4
Với $m<2$ , chia hai vế cho $(2-m)>0$ (giữ chiều): $x>\dfrac{4}{2-m}$ , đúng như đề yêu cầu.
Với $m<2$, chia hai vế cho $(2-m)>0$ (giữ chiều): $x>\dfrac{4}{2-m}$, đúng như đề yêu cầu.
5
Điều kiện cần tìm là $m<2$ .
Điều kiện cần tìm là $m<2$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Với $-3x+6\ge0$ , rất nhiều bạn chuyển vế đúng thành $-3x\ge-6$ nhưng rồi chia cho $-3$ mà QUÊN đổi chiều, viết nhầm kết quả thành $x\ge2$ thay vì $x\le2$ đúng. Luôn tự nhắc: vừa chia (hay nhân) xong, số đó có âm không? Nếu có, chiều bất đẳng thức phải đổi ngay lúc đó, không phải đổi ở bước sau.

Với $-3x+6\ge0$, rất nhiều bạn chuyển vế đúng thành $-3x\ge-6$ nhưng rồi chia cho $-3$ mà QUÊN đổi chiều, viết nhầm kết quả thành $x\ge2$ thay vì $x\le2$ đúng. Luôn tự nhắc: vừa chia (hay nhân) xong, số đó có âm không? Nếu có, chiều bất đẳng thức phải đổi ngay lúc đó, không phải đổi ở bước sau.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Chuyển vế thì đổi dấu hạng tử, không đổi chiều bất phương trình. Nhân hay chia cho một số dương thì giữ chiều; cho một số âm thì đổi chiều. Tập nghiệm luôn là một tia trên trục số — ngoặc tròn cho bất đẳng thức chặt, ngoặc vuông (chấm đặc) cho bất đẳng thức không chặt.

Bài sau xét điều gì xảy ra khi một bài toán đặt ra HAI điều kiện cùng lúc trên cùng một ẩn — hai bất phương trình phải cùng đúng. Khi nào một hệ như vậy có nghiệm, và khi nào nó vô nghiệm?