Bài học

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em khử được mẫu của một biểu thức lấy căn dạng $\sqrt{a/b}$ — viết lại nó thành một phân thức có căn thức ở tử và mẫu là một số nguyên — rồi rút gọn kết quả, kể cả khi phải cộng nhiều biểu thức như vậy hoặc áp dụng vào một tình huống thực tế.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã biết quy tắc khai phương một thương $\sqrt{a/b}=\sqrt a/\sqrt b$ (với $a\ge0,b>0$ ) từ khoá trước — quy tắc đó áp dụng tốt khi cả $a$ và $b$ đều là số chính phương, hoặc khi thương $a/b$ tự rút gọn ra một số chính phương. Nhưng nếu mẫu số không phải số chính phương, kết quả vẫn còn căn thức nằm ở mẫu — một dạng viết không được chấp nhận là kết quả cuối cùng trong trình bày bài làm. Em cũng cần nhớ quy tắc rút gọn phân số thường: nhân cả tử và mẫu với cùng một số khác 0 thì giá trị phân số không đổi — quy tắc đó sẽ được áp dụng lại, chỉ khác là bên trong dấu căn. Điểm khác duy nhất: số nhân thêm không được chọn tuỳ ý như với phân số thường, mà luôn là chính mẫu số $b$ , vì mục tiêu là biến mẫu thành $b^2$ — một số chính phương khai căn gọn được ngay.

Em đã biết quy tắc khai phương một thương $\sqrt{a/b}=\sqrt a/\sqrt b$ (với $a\ge0,b>0$) từ khoá trước — quy tắc đó áp dụng tốt khi cả $a$ và $b$ đều là số chính phương, hoặc khi thương $a/b$ tự rút gọn ra một số chính phương. Nhưng nếu mẫu số không phải số chính phương, kết quả vẫn còn căn thức nằm ở mẫu — một dạng viết không được chấp nhận là kết quả cuối cùng trong trình bày bài làm. Em cũng cần nhớ quy tắc rút gọn phân số thường: nhân cả tử và mẫu với cùng một số khác 0 thì giá trị phân số không đổi — quy tắc đó sẽ được áp dụng lại, chỉ khác là bên trong dấu căn. Điểm khác duy nhất: số nhân thêm không được chọn tuỳ ý như với phân số thường, mà luôn là chính mẫu số $b$, vì mục tiêu là biến mẫu thành $b^2$ — một số chính phương khai căn gọn được ngay.

Khởi động

Tính $\sqrt{1/4}$ : được $\sqrt1/\sqrt4=1/2$ , gọn gàng vì 4 là số chính phương. Bây giờ thử $\sqrt{1/3}$ : $\sqrt1/\sqrt3=1/\sqrt3$ — kết quả vẫn còn dấu căn nằm ở MẪU, không gọn chút nào. Có cách nào biến đổi $1/\sqrt3$ thành một phân thức mà mẫu không còn dấu căn hay không?

Tính $\sqrt{1/4}$: được $\sqrt1/\sqrt4=1/2$, gọn gàng vì 4 là số chính phương. Bây giờ thử $\sqrt{1/3}$: $\sqrt1/\sqrt3=1/\sqrt3$ — kết quả vẫn còn dấu căn nằm ở MẪU, không gọn chút nào. Có cách nào biến đổi $1/\sqrt3$ thành một phân thức mà mẫu không còn dấu căn hay không?

Kiến thức trọng tâm

Với $a\ge0$ và $b>0$ , khử mẫu của biểu thức lấy căn $\sqrt{a/b}$ nghĩa là nhân cả tử và mẫu bên TRONG dấu căn với chính $b$ , để mẫu trở thành $b^2$ — một số chính phương khai căn được ngay: $\sqrt{\dfrac ab}=\sqrt{\dfrac{ab}{b^2}}=\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{\sqrt{ab}}{b}$ . Điều kiện $b>0$ (chứ không chỉ $b\ge0$ ) là bắt buộc, vì $b$ đứng ở mẫu — bằng 0 thì phép chia mất nghĩa.

Với $a\ge0$ và $b>0$, khử mẫu của biểu thức lấy căn $\sqrt{a/b}$ nghĩa là nhân cả tử và mẫu bên TRONG dấu căn với chính $b$, để mẫu trở thành $b^2$ — một số chính phương khai căn được ngay: $\sqrt{\dfrac ab}=\sqrt{\dfrac{ab}{b^2}}=\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{\sqrt{ab}}{b}$. Điều kiện $b>0$ (chứ không chỉ $b\ge0$) là bắt buộc, vì $b$ đứng ở mẫu — bằng 0 thì phép chia mất nghĩa.

So với khai phương một thương ở bài trước, đây là một kỹ thuật khác hẳn về mục đích: khai phương một thương hợp khi $a$ và $b$ (hoặc thương của chúng) đã là số chính phương; khử mẫu hợp khi mẫu KHÔNG phải số chính phương và ta cần một cách viết không còn căn ở mẫu. Với $\sqrt{3/5}$ , không có cách nào tách $3$ và $5$ riêng thành hai số chính phương, nên phải khử mẫu: nhân tử và mẫu trong dấu căn với 5, được $\sqrt{15/25}=\sqrt{15}/5$ .

So với khai phương một thương ở bài trước, đây là một kỹ thuật khác hẳn về mục đích: khai phương một thương hợp khi $a$ và $b$ (hoặc thương của chúng) đã là số chính phương; khử mẫu hợp khi mẫu KHÔNG phải số chính phương và ta cần một cách viết không còn căn ở mẫu. Với $\sqrt{3/5}$, không có cách nào tách $3$ và $5$ riêng thành hai số chính phương, nên phải khử mẫu: nhân tử và mẫu trong dấu căn với 5, được $\sqrt{15/25}=\sqrt{15}/5$.

Khi biểu thức dưới dấu căn chưa ở dạng tối giản, luôn rút gọn phân số trước khi khử mẫu — việc này giữ các số nhỏ, dễ tính hơn nhiều. Với $\sqrt{12/75}$ , rút gọn $12/75=4/25$ trước (chia cả tử và mẫu cho 3), rồi khai căn trực tiếp: $\sqrt{4/25}=2/5$ , không cần khử mẫu nữa vì 25 đã là số chính phương.

Khi biểu thức dưới dấu căn chưa ở dạng tối giản, luôn rút gọn phân số trước khi khử mẫu — việc này giữ các số nhỏ, dễ tính hơn nhiều. Với $\sqrt{12/75}$, rút gọn $12/75=4/25$ trước (chia cả tử và mẫu cho 3), rồi khai căn trực tiếp: $\sqrt{4/25}=2/5$, không cần khử mẫu nữa vì 25 đã là số chính phương.

Vậy khi nào thật sự cần khử mẫu? Với $\sqrt{4/9}$ , mẫu 9 đã là số chính phương nên áp dụng thẳng khai phương một thương: $\sqrt{4/9}=2/3$ , không cần bước nhân thêm nào. Nhưng với $\sqrt{4/10}$ , mẫu 10 không phải số chính phương (và không rút gọn được với 4), nên bắt buộc phải khử mẫu mới đưa được kết quả về dạng không còn căn ở mẫu. Luôn kiểm tra mẫu số trước: nếu là số chính phương, dùng ngay khai phương một thương; nếu không, khử mẫu là con đường duy nhất.

Vậy khi nào thật sự cần khử mẫu? Với $\sqrt{4/9}$, mẫu 9 đã là số chính phương nên áp dụng thẳng khai phương một thương: $\sqrt{4/9}=2/3$, không cần bước nhân thêm nào. Nhưng với $\sqrt{4/10}$, mẫu 10 không phải số chính phương (và không rút gọn được với 4), nên bắt buộc phải khử mẫu mới đưa được kết quả về dạng không còn căn ở mẫu. Luôn kiểm tra mẫu số trước: nếu là số chính phương, dùng ngay khai phương một thương; nếu không, khử mẫu là con đường duy nhất.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Khử mẫu một phân số đơn giản dưới dấu căn

1
Đơn giản hoá $\sqrt{\dfrac23}$ .
Đơn giản hoá $\sqrt{\dfrac23}$.
2
$\dfrac23=\dfrac{2\times3}{3\times3}=\dfrac{6}{9}$ .
$\dfrac23=\dfrac{2\times3}{3\times3}=\dfrac{6}{9}$.
3
$\sqrt{\dfrac69}=\dfrac{\sqrt6}{\sqrt9}=\dfrac{\sqrt6}{3}$ .
$\sqrt{\dfrac69}=\dfrac{\sqrt6}{\sqrt9}=\dfrac{\sqrt6}{3}$.
4
$\sqrt{\dfrac23}=\dfrac{\sqrt6}{3}$ .
$\sqrt{\dfrac23}=\dfrac{\sqrt6}{3}$.

Ví dụ

Khử mẫu khi kết quả còn rút gọn được thêm

1
Đơn giản hoá $\sqrt{\dfrac58}$ .
Đơn giản hoá $\sqrt{\dfrac58}$.
2
$\dfrac58=\dfrac{5\times8}{8\times8}=\dfrac{40}{64}$ .
$\dfrac58=\dfrac{5\times8}{8\times8}=\dfrac{40}{64}$.
3
$\sqrt{\dfrac{40}{64}}=\dfrac{\sqrt{40}}{8}$ .
$\sqrt{\dfrac{40}{64}}=\dfrac{\sqrt{40}}{8}$.
4
$\sqrt{40}=\sqrt{4\times10}=2\sqrt{10}$ , nên $\dfrac{\sqrt{40}}{8}=\dfrac{2\sqrt{10}}{8}=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$ .
$\sqrt{40}=\sqrt{4\times10}=2\sqrt{10}$, nên $\dfrac{\sqrt{40}}{8}=\dfrac{2\sqrt{10}}{8}=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$.
5
$\sqrt{\dfrac58}=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$ .
$\sqrt{\dfrac58}=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$.

Ví dụ

Cộng hai biểu thức lấy căn sau khi khử mẫu

1
Rút gọn $D=\sqrt{\dfrac12}+\sqrt{\dfrac18}$ .
Rút gọn $D=\sqrt{\dfrac12}+\sqrt{\dfrac18}$.
2
$\sqrt{\dfrac12}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ ; $\sqrt{\dfrac18}=\dfrac{\sqrt8}{8}=\dfrac{2\sqrt2}{8}=\dfrac{\sqrt2}{4}$ .
$\sqrt{\dfrac12}=\dfrac{\sqrt2}{2}$; $\sqrt{\dfrac18}=\dfrac{\sqrt8}{8}=\dfrac{2\sqrt2}{8}=\dfrac{\sqrt2}{4}$.
3
$D=\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt2}{4}=\dfrac{2\sqrt2}{4}+\dfrac{\sqrt2}{4}=\dfrac{3\sqrt2}{4}$ .
$D=\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt2}{4}=\dfrac{2\sqrt2}{4}+\dfrac{\sqrt2}{4}=\dfrac{3\sqrt2}{4}$.
4
$D=\dfrac{3\sqrt2}{4}$ .
$D=\dfrac{3\sqrt2}{4}$.

Ví dụ

Áp dụng vào bài toán thực tế: cạnh hình vuông biết diện tích

1
Một mảnh sân hình vuông có diện tích $\dfrac56$ m². Tính độ dài cạnh của mảnh sân (kết quả không còn căn thức ở mẫu).
Một mảnh sân hình vuông có diện tích $\dfrac56$ m². Tính độ dài cạnh của mảnh sân (kết quả không còn căn thức ở mẫu).
2
Cạnh của hình vuông diện tích $S$ là $\sqrt S$ , nên cạnh cần tìm là $\sqrt{\dfrac56}$ .
Cạnh của hình vuông diện tích $S$ là $\sqrt S$, nên cạnh cần tìm là $\sqrt{\dfrac56}$.
3
$\dfrac56=\dfrac{5\times6}{36}=\dfrac{30}{36}$ , nên $\sqrt{\dfrac56}=\sqrt{\dfrac{30}{36}}=\dfrac{\sqrt{30}}{6}$ .
$\dfrac56=\dfrac{5\times6}{36}=\dfrac{30}{36}$, nên $\sqrt{\dfrac56}=\sqrt{\dfrac{30}{36}}=\dfrac{\sqrt{30}}{6}$.
4
Vậy cạnh của mảnh sân dài $\dfrac{\sqrt{30}}{6}$ m.
Vậy cạnh của mảnh sân dài $\dfrac{\sqrt{30}}{6}$ m.

Ví dụ

Khử mẫu một biểu thức chứa ẩn

1
Rút gọn $\sqrt{\dfrac x5}$ với $x\ge0$ .
Rút gọn $\sqrt{\dfrac x5}$ với $x\ge0$.
2
Cần $x\ge0$ (đã cho) để tử không âm; mẫu $5>0$ nên biểu thức $\dfrac x5$ không âm, $\sqrt{\dfrac x5}$ luôn có nghĩa.
Cần $x\ge0$ (đã cho) để tử không âm; mẫu $5>0$ nên biểu thức $\dfrac x5$ không âm, $\sqrt{\dfrac x5}$ luôn có nghĩa.
3
$\dfrac x5=\dfrac{5x}{25}$ , nên $\sqrt{\dfrac x5}=\sqrt{\dfrac{5x}{25}}=\dfrac{\sqrt{5x}}{5}$ .
$\dfrac x5=\dfrac{5x}{25}$, nên $\sqrt{\dfrac x5}=\sqrt{\dfrac{5x}{25}}=\dfrac{\sqrt{5x}}{5}$.
4
Vậy với $x\ge0$ , ta có $\sqrt{\dfrac x5}=\dfrac{\sqrt{5x}}{5}$ .
Vậy với $x\ge0$, ta có $\sqrt{\dfrac x5}=\dfrac{\sqrt{5x}}{5}$.

Năm ví dụ trên đi từ khử mẫu cơ bản, đến khử mẫu rồi còn phải rút gọn thêm tử số, đến cộng hai biểu thức đã khử mẫu, đến áp dụng cả kỹ thuật vào một bài toán đo đạc thực tế, và cuối cùng là khử mẫu cho một biểu thức chứa ẩn — kỹ thuật không đổi, chỉ khác ở chỗ tử số không còn là một số cụ thể.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn chỉ khai căn tử số rồi để nguyên mẫu số còn dấu căn, ví dụ viết $\sqrt{2/3}=\sqrt2/3$ — SAI, vì mẫu vẫn phải là $\sqrt3$ chứ không tự nhiên biến mất; kết quả đúng là $\sqrt6/3$ . Một lỗi khác: quên rút gọn phân số bên trong dấu căn trước khi khử mẫu, khiến các số trở nên cồng kềnh không cần thiết — luôn kiểm tra xem tử và mẫu có ước chung hay không trước khi nhân thêm.

Nhiều bạn chỉ khai căn tử số rồi để nguyên mẫu số còn dấu căn, ví dụ viết $\sqrt{2/3}=\sqrt2/3$ — SAI, vì mẫu vẫn phải là $\sqrt3$ chứ không tự nhiên biến mất; kết quả đúng là $\sqrt6/3$. Một lỗi khác: quên rút gọn phân số bên trong dấu căn trước khi khử mẫu, khiến các số trở nên cồng kềnh không cần thiết — luôn kiểm tra xem tử và mẫu có ước chung hay không trước khi nhân thêm.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

$\sqrt{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt{ab}}{b}$ với $a\ge0,b>0$ . Luôn rút gọn phân số dưới dấu căn trước khi khử mẫu; kết quả cuối cùng của một bài trình bày không bao giờ được để lại dấu căn ở mẫu số.

$\sqrt{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt{ab}}{b}$ với $a\ge0,b>0$. Luôn rút gọn phân số dưới dấu căn trước khi khử mẫu; kết quả cuối cùng của một bài trình bày không bao giờ được để lại dấu căn ở mẫu số.

Bài này khử mẫu cho dạng $\sqrt{a/b}$ — mẫu số nằm BÊN TRONG dấu căn. Bài sau xử lý một dạng khác thường gặp hơn trong bài rút gọn: mẫu số chứa căn thức nhưng lại đứng NGOÀI, như trong phân thức $1/\sqrt a$ hay $1/(\sqrt a+\sqrt b)$ .