Bài học

Trục căn thức ở mẫu

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em trục được căn thức ở mẫu cho hai dạng thường gặp nhất — $\dfrac{1}{\sqrt a}$ (nhân với chính căn thức đó) và $\dfrac{1}{\sqrt a\pm\sqrt b}$ (nhân với biểu thức liên hợp) — và dùng kỹ thuật này để tính giá trị một biểu thức số gồm nhiều phân thức chứa căn.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã khử mẫu cho dạng $\sqrt{a/b}$ , khi mẫu $b$ nằm BÊN TRONG dấu căn. Bài này xử lý một dạng khác: mẫu số chính nó chứa căn thức, như $\dfrac{5}{\sqrt3}$ hay $\dfrac{1}{\sqrt5-\sqrt3}$ — dấu căn đứng hẳn ở mẫu, không nằm chung trong một dấu căn với tử. Em cũng cần nhớ hằng đẳng thức hiệu hai bình phương từ lớp 8: $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$ — hằng đẳng thức này chính là chìa khoá của kỹ thuật hôm nay, vì nhân một tổng với một hiệu tương ứng sẽ triệt tiêu hoàn toàn dấu căn ở mẫu.

Bài trước đã khử mẫu cho dạng $\sqrt{a/b}$, khi mẫu $b$ nằm BÊN TRONG dấu căn. Bài này xử lý một dạng khác: mẫu số chính nó chứa căn thức, như $\dfrac{5}{\sqrt3}$ hay $\dfrac{1}{\sqrt5-\sqrt3}$ — dấu căn đứng hẳn ở mẫu, không nằm chung trong một dấu căn với tử. Em cũng cần nhớ hằng đẳng thức hiệu hai bình phương từ lớp 8: $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$ — hằng đẳng thức này chính là chìa khoá của kỹ thuật hôm nay, vì nhân một tổng với một hiệu tương ứng sẽ triệt tiêu hoàn toàn dấu căn ở mẫu.

Khởi động

Phân thức $\dfrac{1}{\sqrt5-\sqrt3}$ có mẫu chứa căn thức, lại là một hiệu hai căn thức — không thể khử mẫu bằng cách nhân với chính mẫu như $\sqrt5-\sqrt3$ (làm vậy mẫu vẫn còn căn). Nhưng nếu nhân mẫu với $\sqrt5+\sqrt3$ — đổi dấu cộng thành trừ, hay trừ thành cộng — thì hằng đẳng thức hiệu hai bình phương sẽ làm gì với hai căn thức đó?

Kiến thức trọng tâm

Với mẫu chỉ có một căn thức, dạng $\dfrac{c}{\sqrt a}$ ( $a>0$ ), ta nhân cả tử và mẫu với chính căn thức đó để mẫu trở thành một số nguyên: $\dfrac{c}{\sqrt a}=\dfrac{c\sqrt a}{\sqrt a\cdot\sqrt a}=\dfrac{c\sqrt a}{a}$ . Đây thực chất là một trường hợp riêng của quy tắc khử mẫu bài trước, chỉ khác cách nhìn: ta đang nhân với căn thức, không phải với một số nguyên.

Với mẫu chỉ có một căn thức, dạng $\dfrac{c}{\sqrt a}$ ($a>0$), ta nhân cả tử và mẫu với chính căn thức đó để mẫu trở thành một số nguyên: $\dfrac{c}{\sqrt a}=\dfrac{c\sqrt a}{\sqrt a\cdot\sqrt a}=\dfrac{c\sqrt a}{a}$. Đây thực chất là một trường hợp riêng của quy tắc khử mẫu bài trước, chỉ khác cách nhìn: ta đang nhân với căn thức, không phải với một số nguyên.

Với mẫu là một TỔNG hoặc HIỆU hai căn thức, dạng $\dfrac{c}{\sqrt a\pm\sqrt b}$ , nhân với căn thức không đủ — phải nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu: liên hợp của $\sqrt a+\sqrt b$ là $\sqrt a-\sqrt b$ , và ngược lại. Khi đó mẫu trở thành $(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)=a-b$ theo hằng đẳng thức hiệu hai bình phương — không còn dấu căn nào cả, với điều kiện $a\ne b$ để mẫu khác 0.

Với mẫu là một TỔNG hoặc HIỆU hai căn thức, dạng $\dfrac{c}{\sqrt a\pm\sqrt b}$, nhân với căn thức không đủ — phải nhân cả tử và mẫu với **biểu thức liên hợp** của mẫu: liên hợp của $\sqrt a+\sqrt b$ là $\sqrt a-\sqrt b$, và ngược lại. Khi đó mẫu trở thành $(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)=a-b$ theo hằng đẳng thức hiệu hai bình phương — không còn dấu căn nào cả, với điều kiện $a\ne b$ để mẫu khác 0.

Kỹ thuật này cũng áp dụng được khi mẫu là tổng hoặc hiệu của một số nguyên với một căn thức, như $\dfrac{3}{2-\sqrt3}$ : liên hợp của $2-\sqrt3$ là $2+\sqrt3$ , và $(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)=4-3=1$ — mẫu trở thành số 1, một kết quả rất gọn hay gặp trong đề thi. Luôn kiểm tra xem mẫu sau khi nhân liên hợp có rút gọn được với tử hay không trước khi kết luận đáp số cuối cùng.

Kỹ thuật này cũng áp dụng được khi mẫu là tổng hoặc hiệu của một số nguyên với một căn thức, như $\dfrac{3}{2-\sqrt3}$: liên hợp của $2-\sqrt3$ là $2+\sqrt3$, và $(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)=4-3=1$ — mẫu trở thành số 1, một kết quả rất gọn hay gặp trong đề thi. Luôn kiểm tra xem mẫu sau khi nhân liên hợp có rút gọn được với tử hay không trước khi kết luận đáp số cuối cùng.

Một phân thức có mẫu KHÔNG chứa căn thức thì không cần trục căn gì cả — chẳng hạn $\dfrac{\sqrt5}{3}$ đã ở dạng chuẩn, vì căn thức nằm ở tử, không phải mẫu. Chỉ khi dấu căn xuất hiện ở MẪU số, việc trục căn thức mới cần thiết. Đây cũng là quy ước trình bày bắt buộc trong bài làm: một đáp số cuối cùng còn để lại dấu căn ở mẫu số bị coi là chưa hoàn chỉnh, dù giá trị tính ra có đúng đến đâu — luôn kiểm tra lại bước cuối trước khi kết luận.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Trục căn thức khi mẫu chỉ có một căn thức

1
Trục căn thức ở mẫu của $\dfrac{5}{\sqrt3}$ .
Trục căn thức ở mẫu của $\dfrac{5}{\sqrt3}$.
2
$\dfrac{5}{\sqrt3}=\dfrac{5\sqrt3}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\dfrac{5\sqrt3}{3}$ .
$\dfrac{5}{\sqrt3}=\dfrac{5\sqrt3}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\dfrac{5\sqrt3}{3}$.
3
$\dfrac{5}{\sqrt3}=\dfrac{5\sqrt3}{3}$ .
$\dfrac{5}{\sqrt3}=\dfrac{5\sqrt3}{3}$.

Ví dụ

Trục căn thức bằng biểu thức liên hợp

1
Trục căn thức ở mẫu của $\dfrac{1}{\sqrt5-\sqrt3}$ .
Trục căn thức ở mẫu của $\dfrac{1}{\sqrt5-\sqrt3}$.
2
Liên hợp của $\sqrt5-\sqrt3$ là $\sqrt5+\sqrt3$ : $\dfrac{1}{\sqrt5-\sqrt3}=\dfrac{\sqrt5+\sqrt3}{(\sqrt5-\sqrt3)(\sqrt5+\sqrt3)}$ .
Liên hợp của $\sqrt5-\sqrt3$ là $\sqrt5+\sqrt3$: $\dfrac{1}{\sqrt5-\sqrt3}=\dfrac{\sqrt5+\sqrt3}{(\sqrt5-\sqrt3)(\sqrt5+\sqrt3)}$.
3
$(\sqrt5-\sqrt3)(\sqrt5+\sqrt3)=(\sqrt5)^2-(\sqrt3)^2=5-3=2$ .
$(\sqrt5-\sqrt3)(\sqrt5+\sqrt3)=(\sqrt5)^2-(\sqrt3)^2=5-3=2$.
4
$\dfrac{1}{\sqrt5-\sqrt3}=\dfrac{\sqrt5+\sqrt3}{2}$ .
$\dfrac{1}{\sqrt5-\sqrt3}=\dfrac{\sqrt5+\sqrt3}{2}$.

Ví dụ

Trục căn thức khi mẫu là số nguyên trừ căn thức

1
Trục căn thức ở mẫu của $\dfrac{3}{2-\sqrt3}$ .
Trục căn thức ở mẫu của $\dfrac{3}{2-\sqrt3}$.
2
Liên hợp của $2-\sqrt3$ là $2+\sqrt3$ : $\dfrac{3}{2-\sqrt3}=\dfrac{3(2+\sqrt3)}{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}$ .
Liên hợp của $2-\sqrt3$ là $2+\sqrt3$: $\dfrac{3}{2-\sqrt3}=\dfrac{3(2+\sqrt3)}{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}$.
3
$(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)=2^2-(\sqrt3)^2=4-3=1$ .
$(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)=2^2-(\sqrt3)^2=4-3=1$.
4
Mẫu bằng 1 nên $\dfrac{3(2+\sqrt3)}{1}=3(2+\sqrt3)=6+3\sqrt3$ .
Mẫu bằng 1 nên $\dfrac{3(2+\sqrt3)}{1}=3(2+\sqrt3)=6+3\sqrt3$.
5
$\dfrac{3}{2-\sqrt3}=6+3\sqrt3$ .
$\dfrac{3}{2-\sqrt3}=6+3\sqrt3$.

Ví dụ

Tính giá trị một biểu thức số gồm hai phân thức đã trục căn

1
Tính giá trị $E=\dfrac{1}{\sqrt2+1}-\dfrac{1}{\sqrt2-1}$ .
Tính giá trị $E=\dfrac{1}{\sqrt2+1}-\dfrac{1}{\sqrt2-1}$.
2
$\dfrac{1}{\sqrt2+1}=\dfrac{\sqrt2-1}{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}=\dfrac{\sqrt2-1}{2-1}=\sqrt2-1$ . (1)
$\dfrac{1}{\sqrt2+1}=\dfrac{\sqrt2-1}{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}=\dfrac{\sqrt2-1}{2-1}=\sqrt2-1$. (1)
3
$\dfrac{1}{\sqrt2-1}=\dfrac{\sqrt2+1}{(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}=\dfrac{\sqrt2+1}{2-1}=\sqrt2+1$ . (2)
$\dfrac{1}{\sqrt2-1}=\dfrac{\sqrt2+1}{(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}=\dfrac{\sqrt2+1}{2-1}=\sqrt2+1$. (2)
4
$E=(\sqrt2-1)-(\sqrt2+1)=\sqrt2-1-\sqrt2-1=-2$ .
$E=(\sqrt2-1)-(\sqrt2+1)=\sqrt2-1-\sqrt2-1=-2$.
5
$E=-2$ .
$E=-2$.

Ví dụ

Trục căn thức khi mẫu có hệ số đứng trước căn thức

1
Trục căn thức ở mẫu của $\dfrac{1}{2\sqrt3-\sqrt2}$ .
Trục căn thức ở mẫu của $\dfrac{1}{2\sqrt3-\sqrt2}$.
2
Liên hợp của $2\sqrt3-\sqrt2$ là $2\sqrt3+\sqrt2$ : $\dfrac{1}{2\sqrt3-\sqrt2}=\dfrac{2\sqrt3+\sqrt2}{(2\sqrt3-\sqrt2)(2\sqrt3+\sqrt2)}$ .
Liên hợp của $2\sqrt3-\sqrt2$ là $2\sqrt3+\sqrt2$: $\dfrac{1}{2\sqrt3-\sqrt2}=\dfrac{2\sqrt3+\sqrt2}{(2\sqrt3-\sqrt2)(2\sqrt3+\sqrt2)}$.
3
$(2\sqrt3)^2-(\sqrt2)^2=4\times3-2=12-2=10$ .
$(2\sqrt3)^2-(\sqrt2)^2=4\times3-2=12-2=10$.
4
$\dfrac{1}{2\sqrt3-\sqrt2}=\dfrac{2\sqrt3+\sqrt2}{10}$ .
$\dfrac{1}{2\sqrt3-\sqrt2}=\dfrac{2\sqrt3+\sqrt2}{10}$.

Năm ví dụ trên đi từ trục căn thức với mẫu một căn thức đơn giản, đến trục căn thức bằng liên hợp, đến một trường hợp mẫu rút gọn đẹp về số 1, đến phối hợp hai lần trục căn thức trong một biểu thức số hoàn chỉnh, và cuối cùng một mẫu số có hệ số đứng trước căn thức — nhắc em rằng $(k\sqrt a)^2=k^2a$ khi khai triển bình phương, không phải $ka$ .

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Rất nhiều bạn nhân mẫu $\sqrt a-\sqrt b$ với chính nó thay vì với biểu thức liên hợp — kết quả $(\sqrt a-\sqrt b)^2=a+b-2\sqrt{ab}$ VẪN còn dấu căn, không giải quyết được gì. Phải nhân với đúng biểu thức liên hợp (đổi dấu ở giữa) để hằng đẳng thức hiệu hai bình phương triệt tiêu hoàn toàn dấu căn. Một lỗi khác: quên nhân CẢ tử số với biểu thức liên hợp, chỉ nhân riêng mẫu số — làm vậy giá trị của cả phân thức đã bị thay đổi, không còn bằng biểu thức ban đầu nữa.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Mẫu một căn thức: nhân với chính căn thức đó. Mẫu là tổng/hiệu hai căn thức (hoặc một số với một căn thức): nhân với biểu thức liên hợp để dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương. Luôn nhân CẢ tử và mẫu với cùng một biểu thức, và kiểm tra xem kết quả có rút gọn được nữa hay không.

Bốn bài vừa qua trang bị cho em bốn công cụ biến đổi căn thức. Bài sau bắt đầu ghép chúng lại: một biểu thức chứa ẩn có ĐKXĐ, có mẫu chứa căn thức, cần rút gọn về một phân thức duy nhất — đúng dạng câu 1 quen thuộc của đề tuyển sinh vào lớp 10.