Bài học

Tính giá trị, so sánh và tìm x thoả điều kiện sau khi rút gọn

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em dùng được kết quả đã rút gọn của một biểu thức chứa căn để tính giá trị tại một điểm cụ thể, giải bất phương trình tìm miền giá trị của x thoả một điều kiện, và giải phương trình tìm x sao cho biểu thức bằng một giá trị cho trước — luôn đối chiếu lại với ĐKXĐ trước khi kết luận.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã rút gọn $A=\dfrac{x-\sqrt x+2}{x-1}$ với ĐKXĐ $x\ge0,x\ne1$ . Bài này dùng đúng biểu thức $A$ đó cho ba câu hỏi phụ khác nhau. Em cần nhớ lại kỹ năng đặt ẩn phụ: khi biểu thức chỉ chứa $\sqrt x$ (không có $x$ đứng riêng dưới dạng khác), đặt $t=\sqrt x$ ( $t\ge0$ ) biến bài toán căn thức thành bài toán đại số quen thuộc — phương trình bậc hai hoặc bất phương trình theo t — rồi mới suy ngược lại $x=t^2$ . Em cũng cần nhớ hằng đẳng thức $(a-b)^2\ge0$ để lý luận một tam thức bậc hai luôn dương.

Bài trước đã rút gọn $A=\dfrac{x-\sqrt x+2}{x-1}$ với ĐKXĐ $x\ge0,x\ne1$. Bài này dùng đúng biểu thức $A$ đó cho ba câu hỏi phụ khác nhau. Em cần nhớ lại kỹ năng đặt ẩn phụ: khi biểu thức chỉ chứa $\sqrt x$ (không có $x$ đứng riêng dưới dạng khác), đặt $t=\sqrt x$ ($t\ge0$) biến bài toán căn thức thành bài toán đại số quen thuộc — phương trình bậc hai hoặc bất phương trình theo t — rồi mới suy ngược lại $x=t^2$. Em cũng cần nhớ hằng đẳng thức $(a-b)^2\ge0$ để lý luận một tam thức bậc hai luôn dương.

Khởi động

Với $A=\dfrac{x-\sqrt x+2}{x-1}$ , thử $x=9$ : $A=\dfrac{9-3+2}{9-1}=\dfrac{8}{8}=1$ . Thử $x=0$ : $A=\dfrac{0-0+2}{0-1}=-2$ . Cùng một biểu thức mà cho ra hai giá trị khác hẳn nhau tuỳ x — vậy nếu đề hỏi "tìm x để A nhỏ hơn một nửa", làm sao trả lời mà không phải thử từng giá trị x một cách vô tận?

Với $A=\dfrac{x-\sqrt x+2}{x-1}$, thử $x=9$: $A=\dfrac{9-3+2}{9-1}=\dfrac{8}{8}=1$. Thử $x=0$: $A=\dfrac{0-0+2}{0-1}=-2$. Cùng một biểu thức mà cho ra hai giá trị khác hẳn nhau tuỳ x — vậy nếu đề hỏi "tìm x để A nhỏ hơn một nửa", làm sao trả lời mà không phải thử từng giá trị x một cách vô tận?

Kiến thức trọng tâm

Câu hỏi "tính giá trị tại một điểm cụ thể" là dễ nhất: thay trực tiếp x vào biểu thức ĐÃ RÚT GỌN (không cần quay lại biểu thức gốc cồng kềnh), miễn là điểm đó thoả ĐKXĐ. Đây chính là lý do bước rút gọn ở bài trước quan trọng — nó biến một phép tính nhiều phân thức thành một phép thay số đơn giản.

Câu hỏi "tìm x để biểu thức thoả một bất đẳng thức" khó hơn: đặt $t=\sqrt x$ , đưa bất đẳng thức về dạng so sánh với 0, quy đồng mẫu chung rồi xét dấu tử số và mẫu số riêng biệt. Một mẹo hay dùng: nếu tử số sau khi quy đồng viết được dưới dạng một bình phương cộng một số dương (như $(t-1)^2+4$ ), tử số đó LUÔN dương với mọi t — khi đó dấu của cả phân thức chỉ phụ thuộc dấu mẫu số, bài toán rút gọn còn một bước duy nhất.

Câu hỏi \"tìm x để biểu thức thoả một bất đẳng thức\" khó hơn: đặt $t=\sqrt x$, đưa bất đẳng thức về dạng so sánh với 0, quy đồng mẫu chung rồi xét dấu tử số và mẫu số riêng biệt. Một mẹo hay dùng: nếu tử số sau khi quy đồng viết được dưới dạng một bình phương cộng một số dương (như $(t-1)^2+4$), tử số đó LUÔN dương với mọi t — khi đó dấu của cả phân thức chỉ phụ thuộc dấu mẫu số, bài toán rút gọn còn một bước duy nhất.

Câu hỏi "tìm x để biểu thức bằng một giá trị cho trước" biến thành một phương trình theo $t=\sqrt x$ : quy đồng, đưa về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai theo t, giải t rồi kiểm tra t có thoả điều kiện $t\ge0$ và ĐKXĐ hay không trước khi suy ra $x=t^2$ . Bước đối chiếu cuối cùng này không được bỏ qua — một giá trị t âm, hoặc trùng đúng giá trị bị loại trừ trong ĐKXĐ, phải bị loại dù phương trình đại số có cho ra nghiệm đó.

Câu hỏi \"tìm x để biểu thức bằng một giá trị cho trước\" biến thành một phương trình theo $t=\sqrt x$: quy đồng, đưa về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai theo t, giải t rồi kiểm tra t có thoả điều kiện $t\ge0$ và ĐKXĐ hay không trước khi suy ra $x=t^2$. Bước đối chiếu cuối cùng này không được bỏ qua — một giá trị t âm, hoặc trùng đúng giá trị bị loại trừ trong ĐKXĐ, phải bị loại dù phương trình đại số có cho ra nghiệm đó.

Đoạn được đánh dấu là toàn bộ giá trị x thoả điều kiện bài toán, không chỉ một điểm.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính giá trị biểu thức đã rút gọn tại một điểm cho trước

1
Với $A=\dfrac{x-\sqrt x+2}{x-1}$ (ĐKXĐ $x\ge0,x\ne1$ ), tính $A$ tại $x=9$ .
Với $A=\dfrac{x-\sqrt x+2}{x-1}$ (ĐKXĐ $x\ge0,x\ne1$), tính $A$ tại $x=9$.
2
$9\ge0$ và $9\ne1$ : TMĐK.
$9\ge0$ và $9\ne1$: TMĐK.
3
$\sqrt9=3$ , nên $A=\dfrac{9-3+2}{9-1}=\dfrac{8}{8}=1$ .
$\sqrt9=3$, nên $A=\dfrac{9-3+2}{9-1}=\dfrac{8}{8}=1$.
4
Vậy $A(9)=1$ .
Vậy $A(9)=1$.

Ví dụ

Tìm x để biểu thức nhỏ hơn một giá trị cho trước

1
Với $A=\dfrac{x-\sqrt x+2}{x-1}$ (ĐKXĐ $x\ge0,x\ne1$ ), tìm x để $A<\dfrac12$ .
Với $A=\dfrac{x-\sqrt x+2}{x-1}$ (ĐKXĐ $x\ge0,x\ne1$), tìm x để $A<\dfrac12$.
2
Đặt $t=\sqrt x$ ( $t\ge0,t\ne1$ ). $A-\dfrac12<0 \iff \dfrac{2(t^2-t+2)-(t^2-1)}{2(t^2-1)}<0 \iff \dfrac{t^2-2t+5}{2(t^2-1)}<0$ .
Đặt $t=\sqrt x$ ($t\ge0,t\ne1$). $A-\dfrac12<0 \iff \dfrac{2(t^2-t+2)-(t^2-1)}{2(t^2-1)}<0 \iff \dfrac{t^2-2t+5}{2(t^2-1)}<0$.
3
$t^2-2t+5=(t-1)^2+4\ge4>0$ với mọi t. (1)
$t^2-2t+5=(t-1)^2+4\ge4>0$ với mọi t. (1)
4
Từ (1), phân thức âm khi và chỉ khi mẫu số âm: $2(t^2-1)<0 \iff t^2<1 \iff -1<t<1$ . Vì $t\ge0$ , suy ra $0\le t<1$ , tức $0\le x<1$ .
Từ (1), phân thức âm khi và chỉ khi mẫu số âm: $2(t^2-1)<0 \iff t^2<1 \iff -1<t<1$. Vì $t\ge0$, suy ra $0\le t<1$, tức $0\le x<1$.
5
Vậy $A<\dfrac12$ khi và chỉ khi $0\le x<1$ .
Vậy $A<\dfrac12$ khi và chỉ khi $0\le x<1$.

Ví dụ

Tìm x để biểu thức bằng một giá trị cho trước

1
Với $A=\dfrac{x-\sqrt x+2}{x-1}$ (ĐKXĐ $x\ge0,x\ne1$ ), tìm x để $A=\dfrac43$ .
Với $A=\dfrac{x-\sqrt x+2}{x-1}$ (ĐKXĐ $x\ge0,x\ne1$), tìm x để $A=\dfrac43$.
2
Đặt $t=\sqrt x$ ( $t\ge0,t\ne1$ ). $\dfrac{t^2-t+2}{t^2-1}=\dfrac43 \iff 3(t^2-t+2)=4(t^2-1)$ .
Đặt $t=\sqrt x$ ($t\ge0,t\ne1$). $\dfrac{t^2-t+2}{t^2-1}=\dfrac43 \iff 3(t^2-t+2)=4(t^2-1)$.
3
$3t^2-3t+6=4t^2-4 \iff t^2+3t-10=0$ .
$3t^2-3t+6=4t^2-4 \iff t^2+3t-10=0$.
4
$\Delta=3^2-4\times(-10)=9+40=49$ , $\sqrt\Delta=7$ . $t=\dfrac{-3+7}{2}=2$ hoặc $t=\dfrac{-3-7}{2}=-5$ .
$\Delta=3^2-4\times(-10)=9+40=49$, $\sqrt\Delta=7$. $t=\dfrac{-3+7}{2}=2$ hoặc $t=\dfrac{-3-7}{2}=-5$.
5
Loại $t=-5$ (âm). Nhận $t=2$ (TMĐK $t\ge0,t\ne1$ ), suy ra $x=t^2=4$ .
Loại $t=-5$ (âm). Nhận $t=2$ (TMĐK $t\ge0,t\ne1$), suy ra $x=t^2=4$.
6
Vậy $A=\dfrac43$ khi và chỉ khi $x=4$ .
Vậy $A=\dfrac43$ khi và chỉ khi $x=4$.

Ví dụ

So sánh giá trị biểu thức tại một điểm cụ thể với 1

1
Với $A=\dfrac{x-\sqrt x+2}{x-1}$ (ĐKXĐ $x\ge0,x\ne1$ ), so sánh $A$ với 1 tại $x=16$ .
Với $A=\dfrac{x-\sqrt x+2}{x-1}$ (ĐKXĐ $x\ge0,x\ne1$), so sánh $A$ với 1 tại $x=16$.
2
$16\ge0$ và $16\ne1$ : TMĐK.
$16\ge0$ và $16\ne1$: TMĐK.
3
$\sqrt{16}=4$ , nên $A=\dfrac{16-4+2}{16-1}=\dfrac{14}{15}$ .
$\sqrt{16}=4$, nên $A=\dfrac{16-4+2}{16-1}=\dfrac{14}{15}$.
4
$\dfrac{14}{15}<1$ (vì $14<15$ ), nên $A<1$ tại $x=16$ .
$\dfrac{14}{15}<1$ (vì $14<15$), nên $A<1$ tại $x=16$.
5
Vậy tại $x=16$ , ta có $A<1$ .
Vậy tại $x=16$, ta có $A<1$.

Bốn ví dụ trên là bốn câu hỏi phụ đại diện cho gần như mọi đề tuyển sinh 10: tính giá trị (thay số trực tiếp), giải bất phương trình (đặt ẩn phụ, xét dấu), giải phương trình (đặt ẩn phụ, giải bậc hai, đối chiếu điều kiện), và so sánh tại một điểm cụ thể (thay số rồi so sánh phân số). Cả bốn đều dùng LẠI đúng biểu thức đã rút gọn ở bài trước — không ai bắt em tính lại từ đầu bằng biểu thức gốc cồng kềnh.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Giải xong phương trình hoặc bất phương trình theo $t$ , nhiều bạn quên đối chiếu lại với điều kiện $t\ge0$ và ĐKXĐ ban đầu — nhận luôn cả nghiệm âm hoặc nghiệm trùng giá trị bị loại trừ. Một lỗi khác: khi xét dấu một phân thức, chỉ nhìn dấu tử số mà quên xét dấu mẫu số, hoặc ngược lại — dấu của cả phân thức phụ thuộc dấu CẢ HAI, không phải chỉ một bên.

Giải xong phương trình hoặc bất phương trình theo $t$, nhiều bạn quên đối chiếu lại với điều kiện $t\ge0$ và ĐKXĐ ban đầu — nhận luôn cả nghiệm âm hoặc nghiệm trùng giá trị bị loại trừ. Một lỗi khác: khi xét dấu một phân thức, chỉ nhìn dấu tử số mà quên xét dấu mẫu số, hoặc ngược lại — dấu của cả phân thức phụ thuộc dấu CẢ HAI, không phải chỉ một bên.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Tính giá trị: thay x trực tiếp vào biểu thức ĐÃ rút gọn, sau khi kiểm tra x thoả ĐKXĐ. Giải bất phương trình/phương trình theo biểu thức rút gọn: đặt $t=\sqrt x$ ( $t\ge0$ ), đưa về bài toán đại số quen thuộc, giải xong luôn đối chiếu lại điều kiện của t và ĐKXĐ trước khi kết luận x.

Tính giá trị: thay x trực tiếp vào biểu thức ĐÃ rút gọn, sau khi kiểm tra x thoả ĐKXĐ. Giải bất phương trình/phương trình theo biểu thức rút gọn: đặt $t=\sqrt x$ ($t\ge0$), đưa về bài toán đại số quen thuộc, giải xong luôn đối chiếu lại điều kiện của t và ĐKXĐ trước khi kết luận x.

Sáu bài học vừa qua trang bị đủ bốn công cụ biến đổi và cả quy trình rút gọn kèm câu hỏi phụ. Bài ôn tập sau hệ thống lại toàn bộ, rồi mô phỏng đúng cấu trúc câu 1 hoàn chỉnh của một đề tuyển sinh vào lớp 10 thật sự.